Erzwungene reguläre Präzession symmetrischer Kreisel

Ein symmetrischer Kreisel soll mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ${\displaystyle \mu$ :={\dot {\psi }}} um die lotrechte raumfeste Präzessionsachse ê_z und mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ν := ${\displaystyle {\dot {\varphi }}}$ um die körperfeste Figurenachse ê₃ drehen, die dabei den gleichbleibenden Neigungswinkel ϑ mit ê_z einschließt (Bezeichnungen siehe Kreiseltheorie#Bezugssysteme und Euler-Winkel.) Bei einem Kreisel mit axialem Trägheitsmoment C und äquatorialem A wird dementsprechend

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {\omega }}=&\mu {\hat {e}}_{z}+\nu {\hat {e}}_{3}=\mu ({\hat {e}}_{z}-u{\hat {e}}_{3})+(\mu u+\nu ){\hat {e}}_{3}\\{\vec {L}}=&A\mu ({\hat {e}}_{z}-u{\hat {e}}_{3})+C(\mu u+\nu ){\hat {e}}_{3}=L_{\textsf {v}}{\hat {e}}_{z}+L_{f}{\hat {e}}_{3}\\L_{\textsf {v}}=&A\mu \\L_{f}=&(C-A)\mu u+C\nu \end{aligned}}}$

mit u := cos(ϑ) = ê_z ‧ ê₃ vorgegeben. Wie bei der Nutation eines kräftefreien Euler-Kreisels liegen die Winkelgeschwindigkeit, der Drehimpuls, die Präzessionsachse und die Figurenachse in einer Ebene, der Präzessionsebene, nur fallen bei der erzwungenen Präzession Drehimpuls und Präzessionsachse nicht zusammen.

Bedingung an den Drehimpuls

Aus der Drehung des Drehimpulses resultiert eine Kreiselwirkung, die nur unter Auflagen vom Drehmoment der Gewichtskraft dynamisch ausgeglichen werden kann.

Die Kreiselwirkung ist unmittelbar aus der erzwungenen regulären Präzession eines Kugelkreisels mit A = C und identischem Drehimpuls ersichtlich. Da die Drehimpulse übereinstimmen, nicht so aber die Trägheitsmomente, präzediert der Kugelkreisel mit anderen Winkelgeschwindigkeiten μ_k, ν_k:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {L}}=&A\mu _{k}{\hat {e}}_{z}+[(A-A)\mu _{k}u+A\nu _{k}]{\hat {e}}_{3}\\=&A\mu _{k}{\hat {e}}_{z}+A\nu _{k}{\hat {e}}_{3}\;{\stackrel {!}{=}}\;L_{\textsf {v}}{\hat {e}}_{z}+L_{f}{\hat {e}}_{3}\end{aligned}}}$

Hieraus ist Aμ_k = Aμ = L_v und Aν_k = L_f ablesbar. Die Kreiselwirkung ist umgekehrt gleich der Geschwindigkeit des Drehimpulses, die gleich der des axialen Drehimpulses L_f ist, der beim Kugelkreisel mit μ_k = μ um ê_z kreist:

${\displaystyle {\vec {K}}=-{\dot {\vec {L}}}=-(\mu {\hat {e}}_{z})\times (L_{f}{\hat {e}}_{3})=-\mu L_{f}{\hat {e}}_{z}\times {\hat {e}}_{3}}$

Das ist analog zu ${\displaystyle {\vec {v}}={\vec {\omega }}\times {\vec {r}}}$, wo sich die Geschwindigkeit ${\displaystyle {\vec {v}}}$ bei einer reinen Rotation mit Winkelgeschwindigkeit ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$ aus dem Kreuzprodukt „ד mit dem Abstand ${\displaystyle {\vec {r}}}$ zu einem Fixpunkt auf der Drehachse ergibt. Die Kreiselwirkung hängt nur vom Drehimpuls und seiner Zeitableitung ab und ist daher beim symmetrischen Kreisel mit A ≠ C gleich der beim Kugelkreisel.

Die Gewichtskraft F_g und die entgegengesetzt gleich große Aufstandskraft bilden, wie in Abb. 2 dargestellt, ein Kräftepaar, das dem Schweremoment ${\displaystyle {\vec {M}}:={\vec {s}}\times (-F_{g}{\hat {e}}_{z})}$ entspricht. Es ist nur dann parallel zur Kreiselwirkung, wenn der Massenmittelpunkt gemäß ${\displaystyle {\vec {s}}=\rho {\hat {e}}_{z}+s{\hat {e}}_{3}}$ in der Präzessionsebene liegt, aber die erste Komponente ρê_z keine Eigendrehung um die Figurenachse mitmacht, was beim Spielkreisel in Abb. 3 und bei den #Staude-Drehungen symmetrischer Kreisel der Fall ist. Das Schweremoment lautet dann:

${\displaystyle {\vec {M}}:=(\rho {\hat {e}}_{z}+s{\hat {e}}_{3})\times (-F_{g}{\hat {e}}_{z})=F_{g}s{\hat {e}}_{z}\times {\hat {e}}_{3}}$

Dem Drallsatz zufolge vermag dieses Moment eine reguläre Präzession zu unterhalten, wenn sich Moment und Kreiselwirkung im dynamischen Gleichgewicht ${\displaystyle {\vec {M}}+{\vec {K}}={\vec {0}}}$ befinden, das bei

${\displaystyle F_{g}s=\mu L_{f}}$

eintritt. Dieses Ergebnis betrifft

Lagrange-Kreisel

Hier ist der Stützpunkt der Bezugspunkt für das Gewichtsmoment, die Massenträgheitsmomente und den Drehimpuls. Falls die untere Kreiselspitze mit beachtlichem Radius ρ kugelförmig ist, liegt der Bezugspunkt im Mittelpunkt K der Kugel, siehe Abb. 3.

Symmetrische Spielkreisel

Das Stützmoment F_gs ist dasselbe wie beim Lagrange-Kreisel, nur ist hier der Massenmittelpunkt der Bezugspunkt. Unter Einfluss von Gleitreibung nimmt der Kreisel mit der Zeit eine lotrechte Position ein oder verfällt in eine reguläre Präzession, bei der die runde untere Kreiselspitze ohne Schlupf auf dem Untergrund abrollt.

Symmetrische Euler-Kreisel

Hier ist der Drehimpuls konstant und es tritt weder eine Gewichtskraft noch eine Kreiselwirkung auf. Entsprechend ist F_gs = L_f = 0 und der konstante Drehimpuls weist in Richtung der Präzessionsachse ê_z, was weniger eine Einschränkung für den Drehimpuls darstellt, als vielmehr die Voraussetzung dafür ist, dass der kräftefreie Kreisel hier als Spezialfall auftritt. Die Komponente L_v ist gleich dem Betrag L des Drehimpulses, der die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist und der axiale Drehimpuls L₃ = L cos(ϑ) bildet in dem Dreieck die Ankathete zum Neigungswinkel ϑ der Figurenachse.

Konstanten der Bewegung

Im Drehimpuls und der Winkelgeschwindigkeit ist nur die Figurenachse ê₃ zeitabhängig: Die Figurenachse rotiert mit gleichbleibender Neigung um die Präzessionsachse ê_z. Unveränderlich sind dabei neben den vorgegebenen μ und ν die Winkelgeschwindigkeiten

${\displaystyle {\begin{aligned}r:=&{\vec {\omega }}\cdot {\hat {e}}_{3}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&=&\mu u+\nu \\\omega _{z}:=&{\vec {\omega }}\cdot {\hat {e}}_{z}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&=&\mu +\nu u\\\omega$ :=&|{\vec {\omega }}|\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&=&{\sqrt {\mu ^{2}+2\mu \nu u+\nu ^{2}}}\end{aligned}}}

die schon oben angegebenen Drehimpulse

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{\textsf {v}}=&A\mu \\L_{f}=&C(\mu u+\nu )-A\mu u\end{aligned}}}$

sowie

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{3}:=&{\vec {L}}\cdot {\hat {e}}_{3}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&=&L_{\textsf {v}}u+L_{f}=C(\mu u+\nu )\\L_{z}:=&{\vec {L}}\cdot {\hat {e}}_{z}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&=&L_{\textsf {v}}+L_{f}u=A\mu (1-u^{2})+L_{3}u\\L:=&|{\vec {L}}|\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&=&{\sqrt {L_{\textsf {v}}^{2}+2L_{\textsf {v}}L_{f}u+L_{f}^{2}}}\end{aligned}}}$

und die Rotations-, Lage- und Gesamtenergie

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{rot}}:=&{\frac {1}{2}}{\vec {\omega }}\cdot {\vec {L}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&=&{\frac {1}{2}}{\big (}A\mu ^{2}(1-u^{2})+C(\mu u+\nu )^{2}{\big )}\\E_{\text{pot}}:=&(\rho {\hat {e}}_{z}+s{\hat {e}}_{3})\cdot (F_{g}{\hat {e}}_{z})\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&=&(\rho +su)F_{g}\\E_{\text{ges}}:=&E_{\text{rot}}+E_{\text{pot}}\!\!\!\!\end{aligned}}}$

denn sie lassen sich mit angesetzten Konstanten μ, ν sowie u = cos(ϑ) ausdrücken. Die Lageenergie ist gleich der Arbeit der Gewichtskraft F_g entlang des lotrechten Weges ρ + su, und „·“ bildet das Skalarprodukt.

Mechanische Interpretation

Beim schweren Kreisel erscheint paradox, dass er der Gewichtskraft nicht nachgibt und den Neigungswinkel ϑ vergrößert, wie er es im Ruhezustand täte, sondern senkrecht zur Kraft ausweicht. Das erklärt sich aus der Regel vom gleichsinnigen Parallelismus, nach der der Kreisel versucht, seinen Drehimpuls dem Drehsinn des Moments gleichsinnig parallel auszurichten. Das Moment wirkt aber waagerecht, was dieses Paradoxon aufklärt. Die Figurenachse beginnt sich eher gegen die Knotenachse ê_z × ê₃ zu neigen und kommt ihr nur deshalb nicht näher, weil sich das Schweremoment im gleichen Sinn weiterdreht.

Dieses Verhalten ähnelt der von einer Zentripetalkraft unterhaltenen Kreisbewegung eines Massenpunkts um ein Zentrum:

• Ebenso wenig, wie die Figurenachse des Kreisels der Knotenachse näher kommt, die gleich der Richtung des Schweremoments ist, kommt der umlaufende Massenpunkt dem Kraftzentrum näher.
• Die Zentripetalkraft muss, so wie das Schweremoment beim Kreisel, eine auf die Geschwindigkeit abgestimmte Größe haben.
• Sowenig wie die Zentripetalkraft Arbeit leistet und die Energie des Massenpunkts erhöht, so leistet auch das Schweremoment beim Kreisel keine Arbeit und bleibt der Energiegehalt des Kreisels erhalten.
• Die Zentripetalkraft allein vermag die Kreisbewegung nicht einzuleiten; dazu bedarf es eines dem Abstand vom Zentrum entsprechenden tangentialen Stoßes auf den ruhenden Massenpunkt. Ebenso muss der um seine Figurenachse gleichförmig rotierende Kreisel einen zur Figurenachse senkrechten wohldosierten Drehstoß erhalten, damit eine reguläre Präzession einsetzt.

Präzessionsgeschwindigkeiten

Weil L_f = (C - A)μu + Cν von μ abhängt, resultiert aus der #Bedingung an den Drehimpuls μL_f  = F_gs eine quadratische Gleichung

${\displaystyle (C-A)u\mu ^{2}+C\nu \mu -F_{g}s=0}$

mit den Lösungen:

${\displaystyle {\begin{aligned}(C-A)u=0:&\quad \mu ={\frac {F_{g}s}{C\nu }}\\(C-A)u\neq 0:&\quad \mu _{1,2}={\frac {-C\nu }{2(C-A)u}}\left(1\pm {\sqrt {1+{\frac {4(C-A)F_{g}su}{C^{2}\nu ^{2}}}}}\right)\end{aligned}}}$

Staude-Drehungen symmetrischer Kreisel

Wenn der Massenmittelpunkt nicht auf der Figurenachse ist, kann der symmetrische Kreisel dann eine reguläre Präzession ausführen, wenn der Massenmittelpunkt immer noch in der Präzessionsebene liegt. Das ist bei den Karussell-Bewegungen des Kowalewskaja-Kreisels wie in Abb. 7 der Fall. Der Kreisel rotiert gleichförmig um eine vertikale, raum- und körperfeste Achse, was als Staude-Drehung bezeichnet wird.

Stabilität

Die Stabilität der Präzessionsbewegungen ist von vielen Faktoren abhängig. Allgemein lässt sich sagen, dass beim Lagrange-Kreisel die reguläre Präzession immer stabil ist. Beim Spielzeugkreisel ist die Stabilität vom Drehimpuls, von der Geometrie der unteren Kreiselspitze und dem Verhältnis der Hauptträgheitsmomente A und C abhängig. Die Stabilität der Nutation des symmetrischen Euler-Kreisels und der Staude-Drehungen ist nicht einfach zu charakterisieren und in den Artikeln nachzuschlagen.

Erzwungene reguläre Präzession unsymmetrischer Kreisel

Ein unsymmetrischer ansonsten kräftefreier Kreisel kann wie der symmetrische durch passende Drehmomente zu jeder regulären Präzession gezwungen werden. Von besonderem Interesse ist der Fall, wo die körperfeste Drehachse eine Hauptachse, beispielsweise die 3-Achse, ist. Die Benennungen vom symmetrischen Fall sollen der Einfachheit halber hier übernommen werden: Die z-Achse stellt die Präzessionsachse, die 3-Achse wird als Figurenachse und die Drehung um sie als Eigendrehung bezeichnet. Die beiden Achsen spannen die Präzessionsebene auf, zu der die Knotenachse senkrecht ist. Dann ist

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {\omega }}=&\mu {\hat {e}}_{z}+\nu {\hat {e}}_{3}\\{\dot {\vec {\omega }}}=&{\dot {\nu }}{\hat {e}}_{3}+\nu {\dot {\hat {e}}}_{3}={\dot {\nu }}{\hat {e}}_{3}+\nu {\vec {\omega }}\times {\hat {e}}_{3}\\=&\mu \nu \sin(\vartheta )\cos(\varphi ){\hat {e}}_{1}-\mu \nu \sin(\vartheta )\sin(\varphi ){\hat {e}}_{2}+{\dot {\nu }}{\hat {e}}_{3}\end{aligned}}}$

vorgegeben, wo eine Veränderlichkeit der Eigendrehung ν zugelassen wurde. Hier wurde ausgenutzt, dass die körperfeste 3-Achse ê₃ keine Zeitableitung relativ zum Kreisel besitzt. Einsetzen dieser Winkelgeschwindigkeiten und -beschleunigungen in die Eulerʹschen Kreiselgleichungen liefert die Kreiselwirkung

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {K}}=&-K_{a}{\hat {e}}_{N}-K_{b}{\hat {e}}_{N}\cos(2\varphi )+(K_{c}{\hat {e}}_{3}-K_{b}{\hat {e}}_{q})\sin(2\varphi )-C{\dot {\nu }}{\hat {e}}_{3}\\K_{a}=&\left[C\nu +\left(C-{\frac {A+B}{2}}\right)\mu \cos(\vartheta )\right]\mu \sin(\vartheta )\\K_{b}=&{\frac {A-B}{2}}[\mu \cos(\vartheta )+2\nu ]\mu \sin(\vartheta )\\K_{c}=&{\frac {A-B}{2}}\mu ^{2}\sin ^{2}(\vartheta )\end{aligned}}}$

Die Vektoren

${\displaystyle {\hat {e}}_{N}:={\frac {{\hat {e}}_{z}\times {\hat {e}}_{3}}{\sin(\vartheta )}}}$ und ${\displaystyle {\hat {e}}_{q}:={\hat {e}}_{3}\times {\hat {e}}_{N}}$

bilden mit der 3-Achse eine Orthonormalbasis.

Bei konstantem ν${\displaystyle$ :={\dot {\varphi }}} läuft die Kreiselwirkung demnach mit der doppelten Eigendrehgeschwindigkeit 2ν auf einer Ellipse um, deren Ebene die Knotenachse ê_N enthält, und das Zentrum dieser Ellipse ist entlang dieser Achse um -K_a verschoben. Beim schnellen Kreisel mit konstantem ν ≫ μ kann K_c gegenüber den anderen Kreiselwirkungen K_a,b vernachlässigt werden, wonach die Kreiselwirkung in der Äquatorebene kreisförmig mit Radius K_b um -K_aê_N rotiert.

Wenn keine Eigendrehung festgelegt wird, ν also variabel ist, dann ergibt sich in 3-Richtung aus ${\displaystyle K_{c}\sin(2\varphi )-C{\dot {\nu }}=0}$ die Schwingungsgleichung

${\displaystyle {\ddot {\alpha }}+{\frac {g}{l}}\sin(\alpha )=0}$

mit ${\displaystyle \alpha =2\varphi ,\;{\ddot {\alpha }}=2{\dot {\nu }}}$  und  ${\displaystyle l={\tfrac {Cg}{(B-A)\mu ^{2}\sin ^{2}(\vartheta )}}}$, wo ohne Einschränkung B > A voraus gesetzt werden darf und g die Schwerebeschleunigung ist.

Ist die Eigendrehung anfänglich groß genug vorgegeben, dann gehen die Schwingungen in ganze Drehungen über, entsprechend einem sich überschlagenden Pendel. Die schnellste Eigendrehung tritt bei sin(α) = 0 auf, wenn die 1-Achse mit dem kleineren Trägheitsmoment A die Knotenachse passiert, und sie ist am langsamsten, wenn sin(α) = ±1 und die 2-Achse mit dem größeren Trägheitsmoment B das tut.

Bei unterdrückter Eigendrehung (ν = 0) wird der Kreisel zu einer Drehung um eine beliebige Körperfeste Achse gezwungen. Angenommen C > B > A. Dann ist die in Knotenrichtung liegende Kreiselwirkung bei spitzem Neigungswinkel ϑ negativ und bei stumpfem positiv. Jedenfalls versucht die Kreiselwirkung die Figurenachse, also die Achse mit dem größten Trägheitsmoment, in die Drehachse hinein zu ziehen.

Staude-Drehungen unsymmetrischer Kreisel

Die Staude-Drehungen sind allen Kreiseln mögliche, reguläre Präzessionen in Form permanenter Drehungen um eine lotrechte und körperfeste Präzessionsachse. Die Schwereachse vom Aufstandspunkt zum Massenmittelpunkt, die Winkelgeschwindigkeit und der Drehimpuls liegen mit konstanten Komponenten in der Präzessionsebene, die gleichmäßig mit dem Kreisel um die Präzessionsachse umläuft, die auf dem Staude-Kegel des Kreisels liegt. In Abb. 7 ist die Staude-Drehung eines symmetrischen Kreisels zu sehen.

Griolische Präzession

Die Grioliʹsche Präzession ist die einzige, dynamisch mögliche, reguläre Präzession schwerer unsymmetrischer Kreisel. Bei ihnen ist die Präzessionsachse nicht vertikal, siehe Abb. 8. Die Komponenten des Drehimpulses in der Präzessionsebene sind nicht konstant und der Drehimpuls liegt zumeist auch nicht in ihr, sondern passiert sie periodisch. Die Grioliʹsche Präzession können Kreisel ausführen, bei denen eine Kreisschnittebene ihres Trägheitsellipsoids senkrecht zur Schwereachse vom Aufstandspunkt zum Massenmittelpunkt gelegen ist.