Rate-Funktion

Sei ${\displaystyle X}$ ein topologischer Raum, der Hausdorff ist mit borelscher σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$. Eine Funktion ${\displaystyle I:X\to [0,\infty ]}$ heißt Rate-Funktion (auch Cramér-Funktion genannt) falls Folgendes gilt:

1. ${\displaystyle I}$ ist unterhalbstetig, d. h. es gilt ${\displaystyle K_{l}=\{x\in X:I(x)\leq l\}}$ ist geschlossen für jedes ${\displaystyle l<\infty }$.

Man spricht von einer guten Rate-Funktion, falls zusätzlich gilt:

2. ${\displaystyle K_{l}}$ sind kompakt.

Prinzip der großen Abweichungen

Sei ${\displaystyle (\mu _{\varepsilon })}$ eine Familie von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf ${\displaystyle X}$. Weiter sei ${\displaystyle \lambda (\varepsilon ):(0,\infty )\to \mathbb {R} }$ so dass ${\displaystyle \lim \limits _{\varepsilon \to 0}\lambda (\varepsilon )=\infty }$. Dann gilt für ${\displaystyle (\mu _{\varepsilon })}$ das Prinzip der großen Abweichungen, falls eine Rate-Funktion ${\displaystyle I}$ auf ${\displaystyle X}$ existiert mit Rate ${\displaystyle \lambda (\varepsilon )}$, so dass Folgendes gilt:

1. Für alle offenen ${\displaystyle O\subset X}$ gilt

   ${\displaystyle \liminf _{\varepsilon \to 0}{\frac {1}{\lambda (\varepsilon )}}\log \mu _{\varepsilon }(O)\geq -\inf \limits _{x\in O}I(x)}$.

2. Für alle abgeschlossenen ${\displaystyle C\subset X}$ gilt

   ${\displaystyle \limsup _{\varepsilon \to 0}{\frac {1}{\lambda (\varepsilon )}}\log \mu _{\varepsilon }(C)\leq -\inf \limits _{x\in C}I(x)}$.