Abbildungen

Wenn ${\displaystyle P}$ und ${\displaystyle Q}$ projektive Räume der Dimension ${\displaystyle n}$ bzw. ${\displaystyle m}$ über einem festen Körper ${\displaystyle K}$ sind, dann gilt:

• Jede projektive Abbildung ${\displaystyle \pi }$ von ${\displaystyle P}$ nach ${\displaystyle Q}$ besitzt bezüglich fest gewählter projektiver Punktbasen in ${\displaystyle P}$ und ${\displaystyle Q}$ eine Darstellung ${\displaystyle \pi \colon \left[x_{0},\ldots ,x_{n}\right]^{T}\rightarrow \left[(A\cdot (x_{0},\ldots ,x_{n})^{T})\right]^{T}}$. Die Abbildungsmatrix ${\displaystyle A}$ hat ${\displaystyle n+1}$ Zeilen und ${\displaystyle m+1}$ Spalten und ist bis auf einen skalaren Faktor ${\displaystyle r\in K\setminus \lbrace {0}\rbrace }$ eindeutig bestimmt.
• Wählt man zu jedem Punkt ${\displaystyle B_{j}(0\leq j\leq n+1)}$ einer projektiven Punktbasis von ${\displaystyle P}$ oder gleichwertig zu ${\displaystyle n+2}$ Punkten in allgemeiner Lage, jeweils einen beliebigen Bildpunkt ${\displaystyle C_{j}\in Q}$, dann lässt sich dies eindeutig zu einer projektiven Abbildung ${\displaystyle \pi \colon P\rightarrow Q}$ fortsetzen, bei der also ${\displaystyle \pi (B_{j})=C_{j}}$ für jeden Basispunkt gilt.
• Jede Projektivität ${\displaystyle \pi }$ auf ${\displaystyle P}$ besitzt bezüglich einer fest gewählten projektiven Punktbasis in ${\displaystyle P}$ eine Darstellung ${\displaystyle \pi \colon \left[x_{0},\ldots ,x_{n}\right]^{T}\rightarrow \left[(A\cdot (x_{0},\ldots ,x_{n})^{T})\right]^{T}}$. Die quadratische, reguläre ${\displaystyle (n+1)\times (n+1)}$ Abbildungsmatrix ${\displaystyle A}$ ist bis auf einen skalaren Faktor ${\displaystyle r\in K\setminus \lbrace {0}\rbrace }$ eindeutig bestimmt.
• Zu ${\displaystyle n+2}$ Urbildpunkten ${\displaystyle B_{j}(0\leq j\leq n+1)}$ in allgemeiner Lage und ${\displaystyle n+2}$ Bildpunkten ${\displaystyle C_{j}(0\leq j\leq n+1)}$ in allgemeiner Lage gibt es genau eine Projektivität ${\displaystyle \pi }$ auf ${\displaystyle P}$, bei der ${\displaystyle \pi (B_{j})=C_{j},(0\leq j\leq n+1)}$ ist. Man sagt daher auch, die projektive lineare Gruppe ${\displaystyle \operatorname {PGL} (n+1,K)}$ operiert scharf einfach transitiv auf der Menge der ${\displaystyle n+2}$-Tupel von Punkten in allgemeiner Lage.
• Ist die Dimension ${\displaystyle n\geq 2}$, dann lässt sich jede Kollineation ${\displaystyle \kappa }$ auf ${\displaystyle P}$ bezüglich einer fest gewählten projektiven Basis in ${\displaystyle P}$ als Komposition ${\displaystyle \kappa =\pi \circ \sigma }$ mit einer Projektivität ${\displaystyle \pi }$ und einem Automorphismus ${\displaystyle \sigma }$ des Körpers ${\displaystyle K}$ darstellen.

Doppelverhältnis

Das Doppelverhältnis von vier kollinearen Punkten ${\displaystyle P,Q,R,S}$ in einem projektiven Raum ist das einfache Verhältnis der projektiven Koordinaten, die der Punkt ${\displaystyle P}$ hat, wenn die übrigen drei Punkte als Punktbasis der gemeinsamen Geraden gewählt werden. Dabei sind ${\displaystyle B_{0}=R,\,B_{1}=S}$ die Basispunkte und ${\displaystyle E=B_{2}=Q}$ der Einheitspunkt des Koordinatensystems. Hat nun ${\displaystyle P}$ bezüglich dieses Systems die Koordinatendarstellung ${\displaystyle P=\left[p_{0};p_{1}\right]}$, dann gilt für das Doppelverhältnis: ${\displaystyle t=\operatorname {DV} (PQRS)={\tfrac {p_{1}}{p_{0}}}}$. Dieser Zusammenhang ist einer der Gründe dafür, dass das Doppelverhältnis ${\displaystyle t\in K\cup \lbrace \infty \rbrace }$ auch gelegentlich als inhomogene projektive Koordinate von ${\displaystyle P}$ (bezüglich der anderen Punkte im Doppelverhältnis) bezeichnet wird.

Parametergleichungen

• Die Verbindungsgerade von zwei verschiedenen Punkten ${\displaystyle A=\left[a_{0};a_{1};\ldots a_{n}\right]}$ und ${\displaystyle B=\left[b_{0};b_{1};\ldots b_{n}\right]}$ hat die homogene Parameterdarstellung

${\displaystyle \langle A,B\rangle$ :\;{\vec {x}}=\alpha \cdot {\begin{pmatrix}a_{0}\\a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}+\beta \cdot {\begin{pmatrix}b_{0}\\b_{1}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}}

Dabei sind dann ${\displaystyle {\vec {x}}}$ für ${\displaystyle (\alpha$ ;\beta )\in K^{2}\setminus \lbrace 0\rbrace } die projektiven Koordinaten eines Geradenpunktes ${\displaystyle X=\left[{\vec {x}}^{\,T}\right]}$

• Allgemeiner ist der Verbindungsraum von ${\displaystyle k}$ Punkten ${\displaystyle A_{j}=\left[{{\vec {a}}_{j}}^{T}\right];\;1\leq j\leq k}$, deren Koordinatenvektoren linear unabhängig sind, ein ${\displaystyle k-1}$-dimensionaler Unterraum des projektiven Raumes mit der Parameterdarstellung

${\displaystyle \langle A_{1},A_{2},\ldots A_{k}\rangle$ :{\vec {x}}=\sum _{j=1}^{k}\alpha _{j}{\vec {a}}_{j};\quad (\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots \alpha _{k})\in K^{k}\setminus \lbrace 0\rbrace .}

Koordinatengleichungen und Hyperebenenkoordinaten

Nach der Wahl einer projektiven Punktbasis ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{p}}$ in einem ${\displaystyle n}$-dimensionalen projektiven Raum ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ kann man jedem Punkt ${\displaystyle P=\left[p_{0};p_{1};\ldots p_{n}\right]}$ eindeutig die Koordinatengleichung ${\displaystyle p_{0}\cdot x_{0}+p_{1}\cdot x_{1}+\cdots +p_{n}\cdot x_{n}=0\;}$ zuordnen, deren Lösungsmenge, als Punktkoordinaten aufgefasst, einen ${\displaystyle n-1}$-dimensionalen Unterraum von ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$, also eine Hyperebene beschreibt. Da die Gleichung homogen ist, ändert sich ihre Lösungsmenge nicht, wenn man jede Koordinate mit dem gleichen Skalar ${\displaystyle r\in K^{*}}$ multipliziert, die Hyperebene hängt also nur vom Punkt ${\displaystyle P}$ und dem gewählten projektiven Koordinatensystem ab. Man bezeichnet den Koordinatenvektor ${\displaystyle P^{D}=\left[p_{0};p_{1};\ldots p_{n}\right]^{D}}$ als Hyperebenenkoordinaten dieser Hyperebene. Jedem Punkt des Raumes wird so durch Dualisierung ${\displaystyle P\rightarrow P^{D}}$ eineindeutig eine Hyperebene zugeordnet.

Dualität in projektiven Räumen

Die duale Zuordnung von Punkten zu Hyperebenen kann zu einer Dualität im Verband der projektiven Teilräume eines projektiven Raumes ausgebaut werden. Dabei gelten folgende Zuordnungen:

Begriff	Dualer Begriff
Punkt	Hyperebene
Gesamtraum	Leere Menge als ${\displaystyle -1}$-dimensionaler Teilraum
${\displaystyle k}$-dimensionaler Teilraum	${\displaystyle n-1-k}$-dimensionaler Teilraum
Schnitt ${\displaystyle S\cap T}$ von zwei Teilräumen	Verbindungsraum ${\displaystyle S^{D}\vee T^{D}}$ von zwei Teilräumen
Doppelverhältnis von vier kollinearen Punkten	Doppelverhältnis von vier Hyperebenen, die sich in einem ${\displaystyle n-2}$-dimensionalen Teilraum schneiden

Die Zuordnung ist auch umgekehrt zu verstehen, da die Dualisierung involutorisch ist: Einer Hyperebene entspricht dual ein Punkt. Während die konkrete Dualisierung vom gewählten Koordinatensystem abhängt, sind allgemeine Sätze davon nicht betroffen.

Das Dualitätsprinzip der projektiven Geometrie beruht auf dem algebraischen Dualraum des endlichdimensionalen Koordinatenvektorraums ${\displaystyle K^{n+1}}$, siehe dazu den Hauptartikel „Dualraum“. Anwendungsbeispiele in der ebenen Geometrie finden sich in „Dualität (Mathematik)“ im Abschnitt „Dualitätsprinzip der projektiven Geometrie und in Inzidenzstrukturen“.