Koordinatenkonstruktion

Zu einem Punkt ${\displaystyle P\in A}$ ist

1. ${\displaystyle x_{1}}$: Die Parallele zu ${\displaystyle OE_{2}}$ durch ${\displaystyle P}$ schneidet die erste Koordinatenachse ${\displaystyle OE_{1}}$ in ${\displaystyle x_{1}}$.
2. ${\displaystyle x_{2}}$: Die Parallele zu ${\displaystyle OE_{1}}$ durch ${\displaystyle P}$ schneidet die zweite Koordinatenachse ${\displaystyle OE_{2}}$ in ${\displaystyle P_{2}}$. Die Parallele zu ${\displaystyle E_{1}E_{2}}$ durch ${\displaystyle P_{2}}$ schneidet die erste Koordinatenachse in ${\displaystyle x_{2}}$.

Das Punktepaar ${\displaystyle (x_{1},x_{2})\in K^{2}=(OE_{1})^{2}}$ heißt Koordinatenpaar des Punktes ${\displaystyle P}$, es ist dann üblich, wenn das Koordinatensystem ${\displaystyle (O,E_{1},E_{2})}$ klar ist, ${\displaystyle P(x_{1}|x_{2})}$ für den Punkt zu schreiben. Diese Konstruktion lässt sich umkehren: Zu einem Koordinatenpaar ${\displaystyle (x_{1},x_{2})\in K^{2}}$ ist

1. ${\displaystyle P_{2}}$: Die Parallele zu ${\displaystyle E_{1}E_{2}}$ durch ${\displaystyle x_{2}}$ schneidet die zweite Koordinatenachse ${\displaystyle OE_{2}}$ in ${\displaystyle P_{2}}$.
2. ${\displaystyle P}$: Die Parallele zu ${\displaystyle OE_{1}}$ durch ${\displaystyle P_{2}}$ schneidet die Parallele zu ${\displaystyle OE_{2}}$ durch ${\displaystyle x_{1}}$ in ${\displaystyle P}$.

Dadurch wird jedem Koordinatenpaar umkehrbar eindeutig ein Punkt der affinen Ebene ${\displaystyle A}$ zugeordnet.

Die Abbildung rechts zeigt die Schritte beider Konstruktionen, der Koordinatenkonstruktion und ihrer Umkehrung. Beide Konstruktionen können so für alle Koordinatenbereiche vom Ternärkörper bis zum Körper in beide Richtungen angewendet werden.

Ternärkonstruktion

Zu drei Koordinaten ${\displaystyle a,x_{1},x_{2}\in K}$, also Punkten auf der Achse ${\displaystyle K=OE_{1}}$, wird zunächst durch umgekehrte Koordinatenkonstruktion der Punkt ${\displaystyle P}$ mit den Koordinaten ${\displaystyle (x_{1}|x_{2})}$ in der affinen Ebene konstruiert. Dann schneidet die Parallele zu ${\displaystyle aE_{2}}$ durch ${\displaystyle P}$ die erste Koordinatenachse ${\displaystyle OE_{1}}$ in ${\displaystyle t=T(a,x_{2},x_{1})}$.

Die Abbildung rechts zeigt die Ternärkonstruktion. Die abgebildete Gerade ${\displaystyle aE_{2}}$ erhält dann die Koordinatengleichung ${\displaystyle g_{a,a}:T(a,x_{2},x_{1})=a}$, ihre Parallelenschar sind die Geraden mit den Gleichungen ${\displaystyle g_{a,d}:T(a,x_{2},x_{1})=d}$, wobei ${\displaystyle d}$ der jeweilige „${\displaystyle x_{1}}$-Achsenabschnitt“ ist, d. h. ${\displaystyle g_{a,d}}$ schneidet die erste Koordinatenachse in ${\displaystyle (d|0)}$. Die allgemeine Definition der Geradengleichungen erfolgt weiter unten.

Die Menge ${\displaystyle K}$ der Punkte auf der ersten Koordinatenachse erfüllt mit der Verknüpfung, die durch die Ternärkonstruktion gegeben ist, die axiomatischen Forderungen an einen Ternärkörper. Die Strukturkonstanten, deren Existenz in den Axiomen gefordert ist, sind die Punkte ${\displaystyle 0=O}$ bzw. ${\displaystyle 1=E_{1}}$, also Ursprung bzw. erster Einheitspunkt der Punktbasis.

Axiome

Eine Menge ${\displaystyle K}$ zusammen mit einer dreistelligen Verknüpfung (der Ternärverknüpfung) ${\displaystyle T:K^{3}\rightarrow K}$ heißt Ternärkörper, wenn die folgenden Axiome gelten:

1. Es gibt zwei verschiedene Elemente ${\displaystyle 0}$ und ${\displaystyle 1}$ in ${\displaystyle K}$, so dass ${\displaystyle T(0,b,c)=T(a,0,c)=c}$ und ${\displaystyle T(a,1,0)=a}$ und ${\displaystyle T(1,b,0)=b}$ für alle ${\displaystyle a,b,c\in K}$ gilt.
2. Zu ${\displaystyle a,x_{2},d\in K}$ gibt es genau ein ${\displaystyle x_{1}\in K}$ für das ${\displaystyle T(a,x_{2},x_{1})=d}$ gilt.
3. Zu ${\displaystyle a,d,a',d'\in K}$ gibt es, falls ${\displaystyle a\neq a'}$ ist, genau ein Paar ${\displaystyle (x_{1},x_{2})\in K^{2}}$, für das ${\displaystyle T(a,x_{2},x_{1})=d,\quad T(a',x_{2},x_{1})=d'}$ gilt.
4. Zu zwei Paaren ${\displaystyle (x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2})\in K^{2}}$ gibt es, falls ${\displaystyle x_{2}\neq y_{2}}$ ist, genau ein ${\displaystyle a\in K}$, für das ${\displaystyle T(a,x_{2},x_{1})=T(a,y_{2},y_{1})}$ gilt.

In der Literatur finden sich auch Axiome für Ternärkörper, bei denen die Rollen der ersten und zweiten Stelle in der Ternärverknüpfung vertauscht sind. Diese Ternärverknüpfung, die hier als „Rechtsternärverknüpfung“ ${\displaystyle T^{\text{op}}}$ bezeichnet werden soll, geht aus der hier beschriebenen „Linksternärverknüpfung“ ${\displaystyle T}$ durch die Vertauschung der ersten zwei Stellen hervor: ${\displaystyle T(a,x_{2},x_{1})=T^{\text{op}}(x_{2},a,x_{1})}$. Das dritte und vierte Axiom muss entsprechend für ${\displaystyle T^{\text{op}}}$ umformuliert werden.

Geometrie der Ebene

• Die Menge der Paare ${\displaystyle A=K^{2}}$ bildet die Menge der Punkte,
• Geraden sind

• die Lösungsmengen der Gleichungen ${\displaystyle x_{2}=c}$, (${\displaystyle g_{c}=\lbrace (x_{1},x_{2})\in A:x_{2}=c\rbrace }$) und
• die Lösungsmengen der Gleichungen ${\displaystyle T(a,x_{2},x_{1})=d}$, (${\displaystyle g_{a,d}=\lbrace (x_{1},x_{2})\in A:T(a,x_{2},x_{1})=d\rbrace }$ bzw. ${\displaystyle g_{a,d}=\lbrace (x_{1},x_{2})\in A:a\cdot x_{2}+x_{1}=d\rbrace }$ für lineare Ternärkörper, also insbesondere Quasi- und Schiefkörper)

• Die Elemente ${\displaystyle c,a,d}$ heißen Koeffizienten der Geraden ${\displaystyle g_{c}}$ bzw. ${\displaystyle g_{a,d}}$. Sie beschreiben die Geraden eineindeutig, das heißt zwei Geraden stimmen genau dann überein, wenn sie vom gleichen Typ sind und ihre Koeffizienten übereinstimmen.
• Zwei Geraden sind genau dann parallel, wenn sie beide vom erstgenannten Typ sind ${\displaystyle g_{c_{1}}\parallel g_{c_{2}}}$ oder wenn sie beide vom zweitgenannten Typ sind und in ihrem ersten Koeffizienten übereinstimmen: ${\displaystyle g_{a,d_{1}}\parallel g_{a,d_{2}}}$.

Endliche Ternärkörper und lateinische Quadrate

Durch eine Liste von ${\displaystyle n-1}$ paarweise orthogonalen lateinischen Quadraten der Ordnung n wird ein (bis auf Isomorphie) eindeutiger Ternärkörper mit n Elementen bestimmt. Jeder endliche Ternärkörper mit einer festen Anordnung seiner Elemente bestimmt eine (bis auf die Reihenfolge der Quadrate und gemeinsame Umnummerierung aller ihrer Einträge) eindeutige solche Liste.

Beispiele der Ordnung 9

Alle endlichen projektiven und affinen Ebenen, deren Ordnung kleiner ist als 9, sind desarguessch – es existiert also bis auf Isomorphie je genau eine mit der Ordnung ${\displaystyle n\in \lbrace 2,3,4,5,7,8\rbrace }$ und keine mit der Ordnung 6. Die Beispiele der Ordnung 9, die hier dargestellt werden, und alle verwendeten Aussagen und Begriffe finden sich in Weibel (2007). Es existieren genau 4 verschiedene (nicht isomorphe) projektive Ebenen der Ordnung 9. Eine davon ist die projektive Ebene über dem endlichen Körper ${\displaystyle \mathbb {F} _{9}}$, die drei anderen sind nichtdesarguessch. Nichtdesarguessche projektive Ebenen endlicher Ordnung sind nie Moufangebenen, daher hängt hier die algebraische Struktur des Ternärkörpers von dem vollständigen Viereck ab, das man als projektive Punktbasis auf der Ebene einführt.

Eine projektive Ebene heißt Translationsebene bezüglich einer ihrer Geraden, wenn sie in Bezug auf diese Gerade als Achse den kleinen projektiven Satz von Desargues erfüllt. Nur solche projektive Ebenen können einen Quasikörper als Koordinatenbereich haben. Eine gleichwertige Beschreibung einer solchen projektiven Translationsebene: Sie gehört zu einer der Klassen IVa, V oder VII in der Klassifikation projektiver Ebenen nach Hanfried Lenz.

Zwei der projektiven Ebenen der Ordnung 9 sind keine Translationsebenen in diesem Sinn, durch Schlitzen dieser Ebenen gelangt man stets zu einem Beispiel für eine nichtdesarguessche affine Ebene, die keine Translationsebene ist. Die dabei entstehenden Koordinatenternärkörper sind also durchweg keine Quasikörper.

Die dritte nichtdesarguessche Ebene, die bereits 1907 von Veblen und Wedderburn vorgestellt wurde, ist eine projektive Translationsebene, sie ist bis auf Isomorphie die einzige Ebene in der Lenz-Barlotti-Klasse IVa.3. Sie kann so geschlitzt werden, dass eine nichtdesarguessche affine Translationsebene entsteht, die eine Koordinatenebene über dem Linksquasikörper ${\displaystyle J_{9}^{op}}$ der Ordnung 9 ist.

Der Linksquasikörper sieht so aus: ${\displaystyle (J_{9}^{op\,*},\cdot )=(Q_{8},\cdot )}$, das heißt die multiplikative Struktur des Quasikörpers ist durch die Quaternionengruppe ${\displaystyle Q_{8}=\lbrace \pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\rbrace }$ gegeben und also eine Gruppe, Produkte, die 0 enthalten, sollen 0 sein. Die Addition ergibt sich, indem man für ${\displaystyle J_{9}^{op}=Q_{8}\cup \lbrace 0\rbrace }$ so mit dem Vektorraum ${\displaystyle \mathbb {F} _{3}^{2}}$ identifiziert:

1. ${\displaystyle (1,i)}$ sei eine Basis,
2. ${\displaystyle j=1-i}$ und ${\displaystyle k=1+i}$.

Die übrigen Additionen ergeben sich aus der Vektorraumstruktur, wenn das formale Minusvorzeichen der Quaternionengruppe als additive Inversenbildung behandelt wird. Vertauscht man in 2. die Identifizierungen, definiert also ${\displaystyle j=1+i}$ und ${\displaystyle k=1-i}$, dann entsteht der Rechtsquasikörper ${\displaystyle J_{9}}$.

Insgesamt gibt es 5 nicht isomorphe Linksquasikörper mit 9 Elementen, einer davon ist ${\displaystyle \mathbb {F} _{9}}$, die vier anderen (einschließlich natürlich ${\displaystyle J_{9}^{op}}$) treten als Koordinatenbereich der projektiven Translationsebene über ${\displaystyle J_{9}^{op}}$ auf, wenn man die projektive Punktbasis geeignet wählt. Daneben entsteht bei anderer Wahl des Koordinatensystems als Koordinatenbereich ein Ternärkörper, der kein Quasikörper ist. Einige der so entstehenden Ternärkörper sind isomorph zueinander.