Allgemeine Definition

Sei ${\displaystyle M}$ eine Menge mit der zweistelligen Verknüpfung ${\displaystyle \cdot }$ und ${\displaystyle A}$ eine bezüglich dieser Verknüpfung abgeschlossene, nichtleere Teilmenge. Dann wird auf ${\displaystyle M}$ eine zweistellige Relation ${\displaystyle \sim }$ eingeführt durch die Definition

• ${\displaystyle m_{1}\sim m_{2}}$, falls es Elemente ${\displaystyle a_{1},a_{2}\in A}$ gibt, so dass ${\displaystyle m_{1}\cdot a_{1}^{2}=m_{2}\cdot a_{2}^{2}}$ ist.

Nun gilt:

1. Die Relation ist durch ihre Definition stets reflexiv und symmetrisch.
2. Sie ist sicher dann transitiv, wenn die Verknüpfung assoziativ auf ${\displaystyle M}$ und kommutativ auf ${\displaystyle A}$ ist.

• Hinreichend für die Transitivität sind bereits die folgenden, schwächeren Bedingungen: Für ${\displaystyle m\in M;\;a,b\in A}$ existieren stets Elemente ${\displaystyle c,d\in A}$ so dass

1. ${\displaystyle (m\cdot a^{2})\cdot b^{2}=m\cdot c^{2}}$ (Abschwächung der Assoziativität) und
2. ${\displaystyle a^{2}\cdot b^{2}=d^{2}\;}$ (Abschwächung der Kommutativität) gilt.

In allen Fällen, in denen die Relation transitiv, also eine Äquivalenzrelation ist, nennt man zwei Elemente von ${\displaystyle M}$, die die Relation erfüllen, quadratisch äquivalent (im weiteren Sinn) bezüglich der Teilmenge ${\displaystyle A}$. Jede Äquivalenzklasse dieser Relation, die ein Element von ${\displaystyle A}$ enthält, heißt Quadratklasse (im engeren Sinn) von ${\displaystyle M}$ bezüglich ${\displaystyle A}$.

Gruppentheoretische Definition

Sei ${\displaystyle (G,\cdot )}$ eine kommutative Gruppe. Dann ist die Quadratabbildung

${\displaystyle q\colon G\rightarrow G;g\mapsto g^{2}}$

ein Gruppenhomomorphismus. Dessen Bild, also die Menge ${\displaystyle G^{2}=\lbrace g^{2}\mid g\in G\rbrace }$ der „Quadrate“ ist eine Untergruppe von ${\displaystyle G}$ und die Nebenklassen dieser Untergruppe heißen Quadratklassen von ${\displaystyle G}$.

Das ist der Spezialfall der allgemeinen Definition, wenn dort ${\displaystyle M=A=G}$ gesetzt wird.

Wenn die Quadratabbildung surjektiv ist, gibt es nur eine Quadratklasse, die dann die ganze Gruppe umfasst. Dieser Fall tritt für endliche Gruppen genau dann ein, wenn die Abbildung injektiv ist und also nach dem Satz von Lagrange und den Sylow-Sätzen genau dann, wenn die Ordnung der Gruppe ungerade ist und daher kein Element eine gerade Ordnung hat.

Allgemeiner ist die Anzahl der Quadratklassen der Index ${\displaystyle (G:G^{2})}$ der Quadrate in ${\displaystyle G}$.

Körper

In einem Körper ${\displaystyle (K,+,\cdot )}$ wird meist die quadratische Äquivalenz bezüglich der multiplikativen Gruppe ${\displaystyle (K^{*},\cdot )}$ als die quadratische Äquivalenz bezeichnet. Die Äquivalenzklasse (im weiteren Sinn) von 0 besteht nur aus dem Nullelement, alle anderen sind Quadratklassen von ${\displaystyle K}$ im Sinne der allgemeinen Definition und von ${\displaystyle (K^{*},\cdot )}$ im engeren Sinne und im Sinn der gruppentheoretischen Definition.

Integritätsbereich

In einem Integritätsbereich ${\displaystyle (R,+,\cdot )}$ (mit Einselement) wird in der Regel – wie in einem Körper – quadratische Äquivalenz bezüglich des kürzbaren, kommutativen Monoids ${\displaystyle (R\setminus \lbrace 0\rbrace ,\cdot )}$ als die quadratische Äquivalenz bezeichnet. Auch hier sind alle Äquivalenzklassen außer ${\displaystyle \lbrace 0\rbrace }$ Teilmengen von ${\displaystyle A=R\setminus \lbrace 0\rbrace }$ und damit Quadratklassen von ${\displaystyle R}$ (im engeren Sinn).

Zudem ist hier die quadratische Äquivalenz mit der Einbettung des Integritätsbereiches in seinen Quotientenkörper ${\displaystyle \operatorname {Quot} (R)}$ verträglich: Zwei Elemente des Integritätsbereiches sind genau dann quadratisch äquivalent im Ring, wenn sie (genauer: die Bilder dieser Elemente unter der Einbettung) auch im Quotientenkörper (dort auch im Sinne der gruppentheoretischen Definition) quadratisch äquivalent sind. Darüber hinaus enthält jede Quadratklasse des Quotientenkörpers „ganze“ Elemente, also eingebettete Bilder von Elementen des Integritätsbereichs ${\displaystyle R}$.