Stetige lokale Martingale

Gegeben sei ein stetiges lokales Martingal ${\displaystyle M=(M_{t})_{t\geq 0}}$. Dann heißt der stetige, monoton wachsende und adaptierte Prozess ${\displaystyle \langle M\rangle =(\langle M_{t}\rangle )_{t\geq 0}}$ mit ${\displaystyle M_{0}=0}$, mit dem der Prozess

${\displaystyle Y=(M_{t}^{2}-\langle M_{t}\rangle )_{t\geq 0}}$

zu einem stetigen lokalen Martingal wird, der (vorhersagbare) quadratische Variationsprozess von ${\displaystyle M}$. Er ist eindeutig bestimmt.

Der Prozess wird auch Scharfe-Klammer-Prozess oder Winkelklammer-Prozess genannt.

Semimartingale

Mit Hilfe des stochastischen Integrals kann die Definition der quadratischen Variation auf Semimartingale erweitert werden:

Für ein Semimartingal ${\displaystyle X}$ mit ${\displaystyle X_{0}=0}$ ist die (optionale) quadratische Variation ${\displaystyle \left[X,X\right]}$ definiert durch

${\displaystyle \left[X,X\right]_{t}=X_{t}^{2}-2\int _{0}^{t}X_{s-}\mathrm {d} X_{s},\quad t\geq 0}$

wobei ${\displaystyle X_{s-}=\lim _{u\to s,u<s}X_{u}}$ ist. Ist ${\displaystyle \left[X,X\right]}$ lokal integrierbar, dann ist die (vorhersagbare) quadratische Variation ${\displaystyle \langle X,X\rangle }$ definiert als der Kompensator von ${\displaystyle \left[X,X\right]}$.

Da die optionale quadratische Variation ${\displaystyle \left[X,X\right]}$ im Gegensatz zur vorhersagbaren quadratischen Variation ${\displaystyle \langle X,X\rangle }$ immer existiert, wird bevorzugt ersteres verwendet.

Ist ${\displaystyle X}$ sogar ein stetiges lokales Martingal, dann ist ${\displaystyle \int _{0}^{\cdot }X_{s-}\mathrm {d} X_{s}}$ ein stetiges lokales Martingal und folglich ist ${\displaystyle X^{2}-\left[X,X\right]}$ ein stetiges lokales Martingal und ${\displaystyle \left[X,X\right]=\langle X,X\rangle }$. Somit ist die Definition für Semimartingale konsistent mit der Definition für stetige lokale Martingale.

Adaptierte Càdlàg-Prozesse

Für einen adaptierten Càdlàg-Prozess ${\displaystyle H}$ ist die quadratische Variation definiert als derjenige adaptierte càdlàg-Prozess ${\displaystyle \left[H,H\right]}$, sofern er überhaupt existiert, der für jede Folge reeller Zahlen ${\displaystyle \left(T_{n}\right)_{n}}$ mit ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }T_{n}=\infty }$ und für jede Folge ${\displaystyle \left(\pi _{n}\right)_{n}}$ von Partitionen des Intervalls ${\displaystyle [0,T_{n}]}$ mit ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sup _{k}|t_{k+1}^{n}-t_{k}^{n}|=0}$ erfüllt, dass

${\displaystyle \sup _{t\in [0,T]}{\Big |}\left[H,H\right]_{t}-H_{0}^{2}-\sum _{i}(H_{t_{i+1}^{n}\land t}-H_{t_{i}^{n}\land t})^{2}{\Big |}\xrightarrow {n\to \infty } 0}$

in Wahrscheinlichkeit.

Quadratische Kovariation

Seien ${\displaystyle H,J}$ adaptierte Càdlàg-Prozesse, dann ist die quadratische Kovariation ${\displaystyle \left[H,J\right]}$ definiert über die Polarisationsformel

${\displaystyle \left[H,J\right]:={\frac {1}{4}}\left(\left[H+J,H+J\right]-\left[H-J,H-J\right]\right)}$

Insbesondere ist die quadratische Kovariation eine symmetrische Bilinearform.

Diskrete Indexmenge

Aus der zweiten der obigen beiden Darstellungen erhält man durch Bildung des Erwartungswertes direkt

${\displaystyle \operatorname {Var} (X_{n}-X_{0})=\operatorname {E} (\langle X\rangle _{n})}$

Da aber nach dem Martingalkonvergenzsatz gilt, dass ein Martingal genau dann fast sicher und im quadratischen Mittel konvergiert, wenn es im quadratischen Mittel beschränkt ist, folgt die Aussage

Es ist ${\displaystyle \sup _{n\in \mathbb {N} }\operatorname {E} (\langle X\rangle _{n})<\infty }$ genau dann, wenn ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ im quadratischen Mittel konvergiert.

Etwas schwächer gilt noch

Ist ${\displaystyle \sup _{n\in \mathbb {N} }\langle X\rangle _{n}<\infty }$ fast sicher, so konvergiert ${\displaystyle X}$ fast sicher.

Außerdem ist der quadratische Variationsprozess eines gestoppten Prozesses der gestoppte quadratische Variationsprozess, es gilt somit die Vertauschungsrelation

${\displaystyle \langle X^{\tau }\rangle =\langle X\rangle ^{\tau }}$

für Stoppzeiten ${\displaystyle \tau }$.

Stetige Indexmenge

Seien ${\displaystyle X,Y}$ Semimartingale.

• ${\displaystyle \left[X,X\right]}$ ist adaptiert, monoton wachsend und càdlàg.
• ${\displaystyle \langle X,X\rangle }$ ist vorhersagbar und von endlicher Variation. Dies folgt unmittelbar aus dem Satz von Rao.
• ${\displaystyle \left[X,Y\right]_{0}=X_{0}Y_{0}}$ und ${\displaystyle \Delta \left[X,Y\right]=\Delta X\Delta Y}$, wobei ${\displaystyle \Delta X_{t}=X_{t}-X_{t-}}$ die Strungestelle von ${\displaystyle X}$ im Punkt ${\displaystyle t}$ ist.
• Für jede Stoppzeit ${\displaystyle T}$ gilt ${\displaystyle \left[X^{T},Y\right]=\left[X,Y^{T}\right]=\left[X^{T},Y^{T}\right]=\left[X,Y\right]^{T}}$.
• Es gilt die partielle Integration: ${\displaystyle X_{t}Y_{t}=\int _{0+}^{t}X_{s-}\mathrm {d} Y_{s}+\int _{0+}^{t}Y_{s-}\mathrm {d} X_{s}+\left[X,Y\right]_{t}}$.
• Falls ${\displaystyle X,Y}$ lokale Martingale sind, ist ${\displaystyle XY-\left[X,Y\right]}$ ein lokales Martingal. Dies folgt unmittelbar aus der partiellen Integration.
• Für jede Folge reeller Zahlen ${\displaystyle \left(T_{n}\right)_{n}}$ mit ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }T_{n}=\infty }$ und für jede Folge ${\displaystyle \left(\pi _{n}\right)_{n}}$ von Partitionen des Intervalls ${\displaystyle [0,T_{n}]}$ mit ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sup _{k}|t_{k+1}^{n}-t_{k}^{n}|=0}$ gilt${\displaystyle \sup _{t\in [0,T]}{\Big |}\left[X,Y\right]_{t}-X_{0}Y_{0}-\sum _{i}(X_{t_{i+1}^{n}\land t}-X_{t_{i}^{n}\land t})(Y_{t_{i+1}^{n}\land t}-Y_{t_{i}^{n}\land t}){\Big |}\xrightarrow {n\to \infty } 0}$ in Wahrscheinlichkeit.

Die letzte Eigenschaft der quadratischen (Ko-)Variation für Semimartingale rechtfertigt die Definition der quadratischen Variation für allgemeine adaptierte Càdlàg-Prozesse.