Quantenfehlerkorrektur wird in der Quanteninformatik benutzt, um Quanteninformation vor Fehlern infolge von Dekohärenz und Quantenrauschen zu schützen. Quantenfehlerkorrekturen sind grundlegend beim Ausführen von fehlertoleranten Quantenberechnungen, welche nicht nur Störungen in gespeicherter Quanteninformation beheben, sondern auch fehlerhafte Quantengatter, sowie auch fehlerhafte Messungen.

Allgemeines

Die klassische Fehlerkorrektur verwendet Redundanz. Der einfachste Weg ist, die Information mehrfach zu speichern, und wenn diese Kopien sich später unterscheiden, die Mehrheit auszuwählen. Angenommen, wir kopieren ein Bit dreimal. Wir nehmen weiter an, dass eine Störung den Zustand der drei Bits so verändert, dass ein Bit den Wert Null annimmt, aber die anderen beiden den Wert Eins. Wir setzen auch voraus, dass Störungen unabhängig sind und mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit p auftreten. Es ist sehr wahrscheinlich, dass der Fehler bei einem Bit liegt und die gesendete Nachricht drei Einsen enthält. Es besteht auch eine Wahrscheinlichkeit, dass ein Doppelfehler auftritt und die gesendete Nachricht drei Nullen enthält, aber dieses Ergebnis ist weniger wahrscheinlich als das erste.

Quanteninformation zu kopieren, ist laut dem No-Cloning-Theorem nicht möglich und stellt daher ein Hindernis zur Formulierung einer Theorie der Quantenfehlerkorrektur dar. Aber es ist möglich, die Information von einem Qubit auf ein verschränktes System von mehreren Qubits zu übertragen. Peter Shor entdeckte als Erster diese Methode, indem er einen Code zur Quantenfehlerkorrektur entwickelte, der die Information von einem Qubit auf ein verschränktes System von neun Qubits übertrug. Ein Code, basierend auf Quantenfehlerkorrektur, schützt Quanteninformation gegen Fehler von begrenzter Form.

Klassische fehlerkorrigierende Codes verwenden eine Syndrom-Messung, um festzustellen, welcher Fehler einen verschlüsselten Zustand zerstört. Wir machen dann einen Fehler rückgängig, indem wir eine korrigierende Operation, basierend auf dem Syndrom, anwenden. Quantenfehlerkorrektur verwendet auch Syndrom-Messung. Wir führen eine Messung an mehreren Qubits aus, welche nicht die Quanteninformation in einem verschlüsselten Zustand stört, aber Information über den Fehler abruft. Eine Syndrom-Messung kann bestimmen, ob ein Qubit beschädigt wurde, und wenn ja, welches beschädigt wurde. Darüber hinaus sagt uns das Ergebnis der Operation nicht nur, welches physikalische Qubit betroffen war, sondern auch, auf welchem der möglichen Wege es betroffen war. Letzteres ist auf den ersten Blick nicht eingängig: Da Störungen willkürlich auftreten, wie kann die Folge von Störung nur eine von wenigen verschiedenen Möglichkeiten sein? In den meisten Codes ist das Ergebnis entweder eine Umkehrung des Bits oder eine Umkehrung des Vorzeichens (der Phase) oder beides (gemäß der Pauli-Matrizen X, Z, und Y). Der Grund ist, dass eine Messung des Syndroms den projektiven Effekt einer Quantenmessung hat. Also selbst wenn der Fehler infolge der Störung beliebig war, kann er als Superposition (Physik) von einfachen Operationen ausgedrückt werden – der Ursprung des Fehlers (welcher hier durch die Paulimatrizen und die Identität gegeben ist). Die Syndrom-Messung „zwingt“ das Qubit, sich für einen speziellen „Pauli-Fehler“ zu „entscheiden“, und die Messung sagt uns welchen. Jetzt können wir denselben Pauli-Operator wieder auf das betroffene Qubit anwenden, um den Effekt des Fehlers umzukehren.

Die Syndrom-Messung sagt uns so viel wie möglich über den ereigneten Fehler, aber überhaupt nichts über den Wert, der im Qubit gespeichert ist – anders würde die Messung jegliche Superposition des Qubits und anderer Qubits im Quantencomputer zerstören.

Der Bit-Flip-Code

In einem klassischen Kanal kann ein Seriencode (auch: Wiederholungscode) angewandt werden, da Bits leicht zu messen und wiederherzustellen sind. In einem Quantenkanal ist dies hingegen, aufgrund des No-Cloning-Theorems, welches die Erzeugung von identischen Kopien eines beliebigen Quantenzustandes verbietet, nicht mehr möglich. Ein einzelnes Qubit kann somit nicht dreimal kopiert werden wie im oberen Beispiel, und jegliche Messung würde Information im Qubit verändern. Dennoch gibt es für Quantencomputer eine andere Methode, welche 3 Qubit Bit Flip Code genannt wird. Diese Methode benutzt Verschränkung und Syndrom-Messung und erreicht gleiche Ergebnisse wie der Seriencode. Wir nehmen ein Qubit ${\displaystyle |\psi \rangle =\alpha _{0}|0\rangle +\alpha _{1}|1\rangle }$. Der erste Schritt des 3 Qubit Bit Flip Code ist das Qubit mit zwei anderen Qubits mithilfe von zwei CNOT-Gatter mit Eingang ${\displaystyle |0\rangle }$. zu verschränken

Das Ergebnis sieht folgendermaßen aus: ${\displaystyle |\psi '\rangle =\alpha _{0}|000\rangle +\alpha _{1}|111\rangle .}$ Dies ist nur ein Tensorprodukt von drei Qubits, und verschieden vom Klonen eines Zustands. Jetzt werden diese Qubits durch separate gleichkonstruierte Kanäle geschickt. Jetzt wurde zum Beispiel im ersten Kanal das Qubit umgekehrt, und das Ergebnis würde folgendermaßen aussehen: ${\displaystyle |\psi '_{r}\rangle =\alpha _{0}|100\rangle +\alpha _{1}|011\rangle }$. Um die Umkehrung bei irgendeinem der drei möglichen Qubits festzustellen, benötigt man eine Syndromdiagnose, welche vier Projektionsoperatoren beinhaltet:

${\displaystyle P_{0}=|000\rangle \langle 000|+|111\rangle \langle 111|}$

${\displaystyle P_{1}=|100\rangle \langle 100|+|011\rangle \langle 011|}$

${\displaystyle P_{2}=|010\rangle \langle 010|+|101\rangle \langle 101|}$

${\displaystyle P_{3}=|001\rangle \langle 001|+|110\rangle \langle 110|}$

Diese können erhalten werden durch:

${\displaystyle \langle \psi '_{r}|P_{0}|\psi '_{r}\rangle =0}$

${\displaystyle \langle \psi '_{r}|P_{1}|\psi '_{r}\rangle =1}$

${\displaystyle \langle \psi '_{r}|P_{2}|\psi '_{r}\rangle =0}$

${\displaystyle \langle \psi '_{r}|P_{3}|\psi '_{r}\rangle =0}$

So weiß man, dass das Fehler-Syndrom mit ${\displaystyle P_{1}}$ korrespondiert. Dieser 3 Qubit Bit Flip Code kann einen Fehler korrigieren, wenn ein Bit-Flip-Fehler im Kanal auftritt. Er ist wie eine Funktion eines 3-Bit-Seriencodes in klassischen Computern.

Der Sign-Flip-Code

Der Bit Flip ist die einzige Art Fehler in klassischen Computern, in Quantencomputern kann jedoch außerdem noch ein Sign Flip auftreten. Um mit dieser Art Fehler umzugehen, verwendet man den Sign Flip Code. Durch die Übertragung in einem Kanal kann das Vorzeichen zwischen ${\displaystyle |0\rangle }$ und ${\displaystyle |1\rangle }$ ebenfalls umgekehrt werden. Zum Beispiel ein Qubit im Zustand ${\displaystyle |-\rangle =(|0\rangle -|1\rangle )/{\sqrt {2}}}$ möge durch Umkehrung des Vorzeichens in ${\displaystyle |+\rangle =(|0\rangle +|1\rangle )/{\sqrt {2}}}$ umgewandelt werden.

Der Originalzustand des Qubits

${\displaystyle |\psi \rangle =\alpha _{0}|+\rangle +\alpha _{1}|-\rangle }$

wird in den Zustand

${\displaystyle |\psi '\rangle =\alpha _{0}|+++\rangle +\alpha _{1}|---\rangle .}$

umgewandelt.

Die Verbesserung des Fehlers nach dem Sign Flip Code ist identisch mit dem Bit Flip Code.

Der Shor-Code

Der Fehlerkorrektur-Code auf Kanäle angewandt, möge entweder das Bit umkehren oder das Vorzeichen umkehren. Es ist ebenso möglich, beide Codes in einem Code zu kombinieren. Der Shor Code ist nur eine Methode, welche beliebige Qubit-Fehler korrigieren kann.

Das erste, vierte und siebte Qubit sind für den Sign Flip Code, während die Dreier-Gruppen (1,2,3), (4,5,6), und (7,8,9) für den Bit Flip Code ausgelegt sind. Mit dem Shor Code wird der Zustand eines Qubits ${\displaystyle |\psi \rangle =\alpha _{0}|0\rangle +\alpha _{1}|1\rangle }$ in ein Produkt von 9 Qubits ${\displaystyle |\psi '\rangle =\alpha _{0}|0_{S}\rangle +\alpha _{1}|1_{S}\rangle }$ transformiert, wobei

${\displaystyle |0_{S}\rangle =(|000000000\rangle +|000000111\rangle +|000111000\rangle +|000111111\rangle +|111000000\rangle +|111000111\rangle +|111111000\rangle +|111111111\rangle )/{\sqrt {8}}}$

${\displaystyle |1_{S}\rangle =(|000000000\rangle -|000000111\rangle -|000111000\rangle +|000111111\rangle -|111000000\rangle +|111000111\rangle +|111111000\rangle -|111111111\rangle )/{\sqrt {8}}}$

Wenn ein Bit-Flip-Fehler an einem Qubit auftritt, wird eine Syndrom-Analyse an jeder Gruppe von Zuständen (1,2,3), (4,5,6), und (7,8,9), ausgeführt und der Fehler korrigiert.

Wenn die 3-Bit-Flip-Gruppen (1,2,3), (4,5,6), und (7,8,9) als drei Eingänge betrachtet werden, dann kann der Shor-Code-Schaltkreis auf einen Sign Flip Code reduziert werden. Das heißt, der Shor Code kann auch Sign-Flip-Fehler an einem einzelnen Qubit reparieren

Der Shor Code kann auch jeden beliebigen Fehler (Bit Flip und Sign Flip) an einem einzelnen Qubit korrigieren. Wenn ein beliebiger Fehler eine beliebige unitäre Transformation ${\displaystyle U}$ ist, welche an einem Qubit einwirkt

${\displaystyle U|\psi \rangle =|\psi _{e}\rangle .}$

${\displaystyle |\psi \rangle }$ ist der Originalzustand des einzelnen Qubits, welches betroffen ist. ${\displaystyle U}$ kann beschrieben werden in der Form

${\displaystyle U=C_{0}I+C_{1}\sigma _{x}+C_{2}\sigma _{y}+C_{3}\sigma _{z}}$

wobei ${\displaystyle C_{0}}$,${\displaystyle C_{1}}$,${\displaystyle C_{2}}$, und ${\displaystyle C_{3}}$ komplexe Koeffizienten sind, ${\displaystyle I}$ ist die Identität, und die Pauli-Matrizen sind gegeben durch

${\displaystyle \sigma _{x}={\biggl (}{\begin{matrix}0&1\\1&0\end{matrix}}{\biggr )};}$

${\displaystyle \sigma _{y}={\biggl (}{\begin{matrix}0&-i\\i&0\end{matrix}}{\biggr )};}$

${\displaystyle \sigma _{z}={\biggl (}{\begin{matrix}1&0\\0&-1\end{matrix}}{\biggr )}}$

Die Pauli-Matrizen sind eine Gruppe von 2×2 hermiteschen und unitären Matrizen. Ist ${\displaystyle U=I}$, dann heißt das, der Zustand ist unverändert. Wenn ${\displaystyle U=\sigma _{x}}$ ist, dann hat sich ein Bit-Flip-Fehler im Kanal ereignet, wenn ${\displaystyle U=\sigma _{z}}$ ist, dann muss sich das Vorzeichen umgekehrt haben, und laut ${\displaystyle U=i\sigma _{y}}$ beides, ein Bit Flip und ein Sign Flip. Dann wird die Fehlerkorrektur wie oben den Fehler korrigieren. Aber der Shor Code funktioniert nur im Falle eines 1-Qubit-Fehlers.

Modelle

Mit der Zeit sind von Forschern verschiedene Codemodelle entdeckt worden.

• Peter Shors 9-qubit-code, auch bekannt als der Shor-Code, verschlüsselt 1 logisches Qubit in 9 physikalische qubits und kann beliebige Fehler an einem einzelnen Qubit korrigieren.
• Andrew Steane fand einen Code, der dasselbe mit 7 anstatt 9 Qubits macht (Steane-Code).
• Raymond Laflamme fand eine Klasse von 5-Qubit Codes, welche dasselbe machen, und welche auch die Eigenschaft besitzen, fehlertolerant zu sein.
• Eine Verallgemeinerung dieses Konzepts sind die CSS-Codes, benannt nach den Erfindern: A. R. Calderbank, Peter Shor und Andrew Steane. Laut der Quanten-Hamming-Begrenzung, benötigt die Verschlüsselung eines einzelnen logischen Qubits mit einer Möglichkeit für beliebige Fehlerkorrektur in einem einzelnen Qubit ein Minimum von 5 physikalischen Qubits.
• Eine allgemeinere Klasse von Codes sind die Stabilizer-Codes, entdeckt von Daniel Gottesman, und von A. R. Calderbank, Eric Rains, Peter Shor, und N. J. A. Sloane; diese werden additive Codes genannt.
• Eine neuere Idee sind Alexei Kitajews Topologische Quantencodes und die allgemeinere Idee von topologischen Quantencomputern.

Diese Codes erlauben allerdings Quantencomputing mit beliebiger Länge und sind Inhalt des Grenzwert-Theorems, begründet von Michael Ben-Or und Dorit Aharonov, welches behauptet, dass man alle Fehler korrigieren kann, wenn man Quanten Codes verkettet, wie die CSS-Codes, das heißt jedes logische Qubit mit demselben Code wieder verschlüsseln, und so weiter, auf logarithmisch vielen Stufen—"liefert" die Fehlerrate von individuellen Quantengattern unter einem bestimmten Grenzwert; würde man hingegen für größere Fehlerraten versuchen, die Syndrome zu messen und Fehler zu korrigieren, würden mehr neue Fehler einfließen als korrigiert werden.

2004 wurde von Emanuel Knill für diesen Grenzwert geschätzt, dass er bei 1–3 % liegen könnte, sofern ausreichend viele Qubits vorhanden sind.

Experimentelle Realisierung

2022 haben Forscher einen fehlertoleranten universellen Satz von Gattern für zwei logische Qubits in einem Quantencomputer mit 16 gefangenen Ionen demonstriert. Die logischen Qubits wurden auf jeweils sieben Atome verteilt. Auf diesen haben die Physiker zwei Rechengatter realisiert, die für einen universellen Gattersatz notwendig sind: ein CNOT-Gatter und ein logisches T-Gatter.

Literatur

• D. A. Lidar, T. A. Brun: Quantum Error Correction, Cambridge University Press 2013

Einzelnachweise

1. ↑ Michael A. Nielsen, Isaac L. Chuang: Quantum Computation and Quantum Information. Cambridge University Press, 2000
2. ↑ Peter W. Shor: Scheme for reducing decoherence in quantum computer memory. In: Physical Review A. Band 52, Nr. 4, Oktober 1995, S. R2493–R2496, doi:10.1103/PhysRevA.52.R2493. 
3. ↑ Gottesman: A Class of Quantum Error-Correcting Codes Saturating the Quantum Hamming Bound. arxiv:quant-ph/9604038 1996
4. ↑ Calderbank u. a.: Quantum Error Correction and Orthogonal Geometry. arxiv:quant-ph/9605005 1996
5. ↑ Calderbank u. a.: Quantum Error Correction via Codes over GF(4). arxiv:quant-ph/9608006 1996
6. ↑ E. Knill: Quantum computing with realistically noisy devices. In: Nature, Band 434, 2005, S. 39–44, arxiv:quant-ph/0410199 2004
7. ↑ Lukas Postler, Sascha Heußen, Ivan Pogorelov, Manuel Rispler, Thomas Feldker, Michael Meth, Christian D. Marciniak, Roman Stricker, Martin Ringbauer, Rainer Blatt, Philipp Schindler, Markus Müller & Thomas Monz: Demonstration of fault-tolerant universal quantum gate operations. In: Nature, Band 605, 2022, S. 675–680, doi:10.1038/s41586-022-04721-1 arxiv:2111.12654 [quant-ph] 2021