Dirichlet-Problem

Es seien ${\displaystyle \alpha }$ und ${\displaystyle \beta }$ reelle Zahlen. Randdaten oder Randbedingungen einer Funktion ${\displaystyle u\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$ der Form

${\displaystyle u(a)=\alpha \quad {\text{und}}\quad u(b)=\beta }$

heißen Randbedingungen erster Art oder Dirichletsche Randbedingungen. Ist ${\displaystyle \alpha =\beta =0}$ so sprechen wir von homogenen Dirichletschen Randbedingungen. Ansonsten sprechen wir von inhomogenen Randbedingungen.

Gesucht ist also eine Funktion ${\displaystyle u}$, welche Lösung des folgenden Problems ist:

${\displaystyle (N){\begin{cases}f(x,u(x),u'(x),u''(x))=0,\quad x\in (a,b)&\\u(a)=\alpha ,~u(b)=\beta .&\end{cases}}}$

Hierbei ist ${\displaystyle f}$ eine vorgeschriebene Funktion und ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ sind die vorgeschriebenen Randbedingungen. Hinreichende Bedingungen zur Existenz (und Eindeutigkeit) von Lösungen von ${\displaystyle (N)}$ findet man in dem Artikel Dirichlet-Problem.

Sturm-Liouville-RWP

Seien ${\displaystyle r,p,q\in {\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {R} )}$
${\displaystyle Lu:=(pu')'+qu}$ sei ein selbstadjungierter linearer Differentialoperator 2. Ordnung
Randoperatoren mit ${\displaystyle {\alpha _{0}}^{2}+{\alpha _{1}}^{2}>0,~{\beta _{0}}^{2}+{\beta _{1}}^{2}>0}$ seien
${\displaystyle R_{a}u:=\alpha _{0}u(a)+\alpha _{1}p(a)u'(a)}$
${\displaystyle R_{b}u:=\beta _{0}u(b)+\beta _{1}p(b)u'(b)}$

${\displaystyle (*){\begin{cases}(Lu)(x)=r(x)&\\R_{u}(a)=\eta _{a},~R_{u}(b)=\eta _{b}&\end{cases}}}$

heißt Sturm-Liouville-RWP.

Sturm-Liouville-EWP

${\displaystyle (P_{\lambda }){\begin{cases}(Lu)(x)=\lambda u(x)&\\R_{u}(a)=R_{u}(b)=0&\end{cases}}}$

Diejenigen ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$, für die ${\displaystyle (P_{\lambda })}$ nicht eindeutig lösbar ist, heißen Eigenwerte. Die zugehörigen Lösungen heißen Eigenfunktionen.

Dirichlet-Problem

Beim Dirichlet-Problem werden Funktionswerte auf dem Rand vorgegeben.

${\displaystyle L(u)(x)=f(x)}$ für ${\displaystyle x\in \Omega ,}$

${\displaystyle u(x)=g(x)}$ für ${\displaystyle x\in \partial \Omega .}$

Neumann-Problem

Anstatt Funktionswerten werden beim Neumann-Problem Ableitungswerte vorgeschrieben.

${\displaystyle L(u)(x)=f(x)}$ für ${\displaystyle x\in \Omega ,}$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial n}}(x)=g(x)}$ für ${\displaystyle x\in \partial \Omega .}$

Schiefe Randbedingung

Die schiefe Randbedingung stellt eine Kombination der beiden vorangehenden Probleme dar. Hierbei soll die gesuchte Funktion auf dem Rand gleich ihrer Normalenableitung auf dem Rand sein.

${\displaystyle L(u)(x)=f(x)}$ für ${\displaystyle x\in \Omega ,}$

${\displaystyle u(x)={\frac {\partial u}{\partial n}}(x)}$ für ${\displaystyle x\in \partial \Omega .}$