Beweis

Nach der leibnizschen Regel gilt

${\displaystyle (c\cdot u)^{(k)}(x)=\sum _{j=0}^{k}{k \choose j}c^{(j)}(x)u^{(k-j)}(x)\ ,}$

also

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}a_{k}(x)(c\cdot u)^{(k)}(x)=\sum _{k=0}^{n}\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}a_{k}(x)c^{(j)}(x)u^{(k-j)}(x)=\sum _{j=0}^{n}\sum _{k=j}^{n}{\binom {k}{j}}a_{k}(x)u^{(k-j)}(x)c^{(j)}(x)\ .}$

Hierbei gibt die Doppelsumme ${\displaystyle \textstyle \sum _{j=0}^{n}\sum _{k=j}^{n}{\binom {k}{j}}a_{k}(x)u^{(k-j)}(x)c^{(j)}(x)}$ an, dass nunmehr über die Ableitungen von ${\displaystyle c^{(j)}(x)}$ summiert wird.

Nun ist nach Voraussetzung ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {k}{0}}a_{k}(x)u^{(k)}(x)=L(u)=0}$ und somit entfällt das 0te-Glied in der Summe über ${\displaystyle j}$, so dass folgt

${\displaystyle L(y)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}(x)(c\cdot u)^{(k)}(x)=\sum _{j=1}^{n}\left[\sum _{k=j}^{n}{\binom {k}{j}}a_{k}(x)u^{(k-j)}(x)\right]c^{(j)}(x)\ .}$

Indexverschiebung liefert das Resultat

${\displaystyle L(y)=\sum _{j=0}^{n-1}\left[\sum _{k=j+1}^{n}{\binom {k}{j+1}}a_{k}(x)u^{(k-j-1)}(x)\right]c^{(j+1)}(x)}$,

oder unter Verwendung von ${\displaystyle z(x)=c'(x)}$

${\displaystyle L(y)=\sum _{j=0}^{n-1}\left[\sum _{k=j+1}^{n}{\binom {k}{j+1}}a_{k}(x)u^{(k-j-1)}(x)\right]z^{(j)}(x)}$.

${\displaystyle \Box }$

Beispiel

Gegeben sei die homogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

${\displaystyle u''(x)+4u'(x)+4u(x)=0}$.

Aus der Charakteristischen Gleichung ${\displaystyle \lambda ^{2}+4\lambda +4=0}$ mit der zweifachen Nullstelle ${\displaystyle \lambda _{1,2}=-2}$ ergibt sich eine Lösung ${\displaystyle u(x)=e^{-2x}}$ der Differentialgleichung. Mithilfe des Reduktionsverfahrens wird die zweite linear unabhängige Lösung unter Verwendung der bereits bekannten Lösung gefunden. Mit dem Ansatz der Variation der Konstanten folgt

${\displaystyle y(x)=c(x)u(x)}$

und die gegebene Differentialgleichung erhält folgende Darstellung

${\displaystyle {\big (}c''(x)u(x)+2c'(x)u'(x)+c(x)u''(x){\big )}+4{\big (}c'(x)u(x)+c(x)u'(x){\big )}+4c(x)u(x)=0}$.

Durch Umsortieren der Differentialgleichung nach den Ableitungen von ${\displaystyle c(x)}$ ergibt sich

${\displaystyle u(x)c''(x)+{\big (}2u'(x)+4u(x){\big )}c'(x)+{\big (}u''(x)+4u'(x)+4u(x){\big )}c(x)=0}$.

Im dritten Term kommt die Differentialgleichung ${\displaystyle u''(x)+4u'(x)+4u(x)=0}$ zum Ausdruck und entfällt daher. Die Differentialgleichung lautet nun

${\displaystyle u(x)c''(x)+\left(2u'(x)+4u(x)\right)c'(x)=0}$

und ergibt mit der bereits bekannten Lösung ${\displaystyle u(x)=e^{-2x}}$ für den zweiten Term ${\displaystyle 2u'(x)+4u(x)=-4e^{-2x}+4e^{-2x}=0}$, so dass die Differentialgleichung reduziert wird auf

${\displaystyle u(x)c''(x)=0}$.

Da ${\displaystyle u(x)}$ die Exponentialfunktion repräsentiert, daher überall größer null ist, folgt als Bedingung für die zweite Lösung der Differentialgleichung

${\displaystyle c''(x)=0}$.

Durch zweimalige Integration erhalten wir mit den Integrationskonstanten ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$

${\displaystyle c(x)=c_{1}x+c_{2}}$.

Als Ansatz für die zweite Lösung der Differentialgleichung ergibt sich somit

${\displaystyle y(x)=(c_{1}x+c_{2})u(x)=c_{1}xu(x)+c_{2}u(x)}$.

Da der zweite Term ${\displaystyle c_{2}u(x)}$ lediglich ein skalares Vielfaches der ersten Lösung ist, und somit linear abhängig ist, lautet die zweite Lösung der Differentialgleichung, unter Auslassung der Integrationskonstante

${\displaystyle y(x)=xu(x)=xe^{-2x}.}$

Abschließend kann mit der Wronski-Determinante die lineare Unabhängigkeit der beiden Lösungen nachgewiesen werden

${\displaystyle W(u,y)(x)={\begin{vmatrix}u&xu\\u'&u+xu'\end{vmatrix}}=u(u+xu')-xuu'=u^{2}=e^{-4x}\neq 0.}$

Beweis

Sei die inhomogene lineare Differentialgleichung

${\displaystyle y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=f(x)}$

gegeben, deren Lösung ${\displaystyle u(x)}$ für die homogene Differentialgleichung bekannt ist. Dann ergibt sich die Lösung der (inhomogenen) Differentialgleichung unter Verwendung des Ansatzes der Variation der Konstanten durch

${\displaystyle y(x)=c(x)u(x)}$,

wobei ${\displaystyle c(x)}$ eine beliebige Funktion ist. Somit ist

${\displaystyle y'(x)=c'(x)u(x)+c(x)u'(x)}$

und

${\displaystyle y''(x)=c''(x)u(x)+2c'(x)u'(x)+c(x)u''(x)}$.

Daraus folgt

${\displaystyle {\big (}c''(x)u(x)+2c'(x)u'(x)+c(x)u''(x){\big )}+p(x){\big (}c'(x)u(x)+c(x)u'(x){\big )}+q(x)c(x)u(x)=f(x)}$

und durch umsortieren nach den Ableitungen von ${\displaystyle c(x)}$

${\displaystyle u(x)c''(x)+{\big (}p(x)u(x)+2u'(x){\big )}c'(x)+{\big (}u''(x)+p(x)u'(x)+q(x)u(x){\big )}c(x)=f(x)}$.

Da ${\displaystyle u(x)}$ eine Lösung der homogenen Differentialgleichung ist, also ${\displaystyle u''(x)+p(x)u'(x)+q(x)u(x)=0}$, lässt sich die inhomogene Differentialgleichung um diesen Term reduzieren und es gilt

${\displaystyle u(x)c''(x)+{\big (}p(x)u(x)+2u'(x){\big )}c'(x)=f(x)}$.

Damit ist eine Reduktion der Ordnung der inhomogenen Differentialgleichung erreicht. Dies wird ersichtlich wenn ${\displaystyle z(x)=c'(x)}$ eingeführt wird, so dass gilt

${\displaystyle u(x)z'(x)+{\big (}p(x)u(x)+2u'(x){\big )}z(x)=f(x)}$.

Division durch ${\displaystyle u(x)\neq 0}$ liefert

${\displaystyle z'(x)+{\Bigg (}p(x)+{\frac {2u'(x)}{u(x)}}{\Bigg )}z(x)={\frac {f(x)}{u(x)}}}$.

Die weitere Berechnung erfordert den integrierenden Faktor

${\displaystyle \mu (x)=e^{\int _{a}^{x}({\frac {2u'(t)}{u(t)}}+p(t))\mathrm {d} t}=e^{\int _{a}^{x}(\log u^{2}(t)+p(t))\mathrm {d} t}=e^{\int _{a}^{x}({\frac {\mathrm {d} \log u^{2}(t)}{\mathrm {d} t}}+p(t))\mathrm {d} t}=e^{\int _{a}^{x}\mathrm {d} \log u^{2}(t)}e^{\int _{a}^{x}p(t))\mathrm {d} t}=u^{2}(x)e^{\int _{a}^{x}p(t)\mathrm {d} t}}$,

wobei ${\displaystyle \mathrm {d} \log u^{2}(t)}$ ein totales Differential darstellt und die untere Integrationsgrenze ${\displaystyle a}$ geeignet zu wählen ist. Nach der Multiplikation mit dem integrierenden Faktor, nimmt die inhomogene Differentialgleichung folgende Gestalt an

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(z(x)u^{2}(x)e^{\int _{a}^{x}p(t)\mathrm {d} t})=u(x)f(x)e^{\int _{a}^{x}p(t)\mathrm {d} t}}$.

Nach Integration dieser Gleichung folgt ${\displaystyle z(x)}$ und damit eine Lösung für ${\displaystyle c'(x)}$. Eine weitere Integration von ${\displaystyle c'(x)}$ ergibt, unter Auslassung der Integrationskonstanten, die gesuchte Lösung der (inhomogenen) Differentialgleichung

${\displaystyle y(x)=c(x)u(x)}$.

Beispiel

Betrachtet wird die homogene Differentialgleichung mit nicht-konstanten Koeffizienten

${\displaystyle v''(x)-2xv'(x)-2v(x)=0}$.

Eine Lösung dieser homogenen Differentialgleichung ist ${\displaystyle u(x)=e^{x^{2}}}$. Der Ansatz der Variation der Konstanten ${\displaystyle y(x)=c(x)e^{x^{2}}}$ liefert nun

${\displaystyle {\big (}(2+4x^{2})e^{x^{2}}c(x)+2xe^{x^{2}}c'(x)+e^{x^{2}}c''(x){\big )}-2x{\big (}2xe^{x^{2}}c(x)+e^{x^{2}}c'(x){\big )}-2e^{x^{2}}c(x)=0}$

und nach umsortieren nach Ableitungen von ${\displaystyle c(x)}$

${\displaystyle e^{x^{2}}{\big (}c''(x)+2xc'(x){\big )}=0}$.

Da ${\displaystyle e^{x^{2}}\neq 0}$ und ${\displaystyle z(x)=c'(x)}$ ist, kann die homogene Differentialgleichung umgeformt werden zu

${\displaystyle {\frac {z'(x)}{z(x)}}+2x=0}$

und damit

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \log z(x)}{\mathrm {d} x}}=-2x}$

oder

${\displaystyle z(x)=e^{-x^{2}}}$.

Daher ist die zweite Lösung der homogenen Differentialgleichung gegeben durch ${\displaystyle c(x)=\int _{0}^{x}z(t)\mathrm {d} t}$, also

${\displaystyle c(x)=\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\mathrm {d} t={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\operatorname {erf} (x)}$.

Hierbei bedeutet ${\displaystyle \operatorname {erf} (x)}$ die Gaußsche Fehlerfunktion.