Begriffsdefinitionen der Differenzialgleichungen (DGL)

Funktion	Kontra-Funktion
Gewöhnliche Differenzialgleichung (GDGL): Gewöhnlich bedeutet, die gesuchte Funktion ${\displaystyle y(x)}$ hängt nur von einer Variablen ${\displaystyle x}$ ab. Die GDGL enthält mindestens eine Ableitung ${\displaystyle y^{(n)}}$ von der gesuchten Funktion.	Partielle Differenzialgleichung: (PDGL) Die gesuchte Funktion hängt von mehreren Variablen ab und enthält auch Ableitungen dieser Variablen.
Lineare Differenzialgleichung: y(x) und Ableitungen davon dürfen nur in der 1. Potenz vorkommen und keine Winkelfunktionen enthalten. Die Koeffizienten ${\displaystyle a_{n}(x)}$ der DGL sind Funktionen. Notation: ${\displaystyle a_{2}(x)y''+a_{1}(x)y'+a_{0}(x)y=b_{0}(x)u}$	Nichtlineare Differenzialgleichung: Die gesuchte Funktion ${\displaystyle y(x)}$ und deren Ableitungen enthalten Potenzen höherer Ordnung oder Winkelfunktionen. Koeff. ${\displaystyle a_{n}(x)}$ der DGL sind Funktionen. Notation: ${\displaystyle a_{2}(x)y''+a_{1}(x)(y')^{2}+a_{0}(x)\sin(y)=b_{0}(x)u}$
Lineare GDGL mit konstanten Koeffizienten: (Spezialfall) Die Koeffizienten ${\displaystyle a_{n}}$ vor ${\displaystyle y(x)}$ und den Ableitungen sind nur Konstanten. Notation: ${\displaystyle a_{2}y''(x)+a_{1}y'(x)+a_{0}y(x)=b_{0}u(x)}$	Nichtlineare GDGL mit konstanten Koeffizienten: Die Koeffizienten ${\displaystyle a_{n}}$ vor ${\displaystyle y(x)}$ und den Ableitungen sind nur Konstanten. Notation: ${\displaystyle a_{2}y''(x)+a_{1}y'(x)+a_{0}\cdot \tan(y(x))=b_{0}u(x)}$
Explizite (ausdrücklich, eindeutig) Darstellung der gewöhnlichen DGL: Die höchste Ableitung ${\displaystyle y^{(n)}(x)}$ links vor dem Gleichheitszeichen ist freigestellt. Notation: ${\displaystyle y''(x)=b_{0}/a_{2}\cdot u(x)-a_{1}/a_{2}\cdot y'(x)-a_{0}/a_{2}\cdot y(x)}$	Implizite (indirekt formuliert) Darstellung der gewöhnlichen DGL: Wenn die DGL nicht nach der höchsten Ableitung aufgestellt ist. Notation: ${\displaystyle a_{2}y''(x)+a_{1}y'(x)+a_{0}y(x)=b_{0}u(x)}$.
Homogene Darstellung der linearen DGL: Die rechte Seite der DGL nach dem Gleichheitszeichen ist Null. Die homogene DGL ist für nichtlineare DGL-en nicht definiert, weil nicht sinnvoll. Notation: ${\displaystyle a_{2}y''(x)+a_{1}y'(x)+a_{0}y(x)=0}$	Inhomogene Darstellung der linearen DGL: Die rechte Seite nach dem Gleichheitszeichens ist ungleich Null (Störfunktion). Die inhomogene DGL ist für nichtlineare DGL-en nicht definiert, weil nicht sinnvoll. Notation: ${\displaystyle a_{2}y''(x)+a_{1}y'(x)+a_{0}y(x)=b_{0}u(x)}$.
Lösung der homogenen linearen DGL: Die (Trivial)-Lösung ${\displaystyle y(x)}$ ist Null, wenn der Anfangswert ${\displaystyle y_{0}=0}$ gewählt wird. Die „allgemeine Lösung“ einer linearen DGL 1. O. lässt sich durch das Verfahren der „Separation“ bestimmen.	Lösung der inhomogenen linearen DGL: Die Lösung ${\displaystyle y(x)}$ ist abhängig von der Störfunktion und dem Anfangswert ${\displaystyle y_{0}}$. Die „partikuläre Lösung“ einer linearen DGL 1. O. lässt sich durch das Verfahren der „Variation der Konstanten“ bestimmen.

Grundlagen der Differenzialgleichung (DGL)

Allgemein enthält eine Differenzialgleichung (DGL) außer der gesuchten Funktion z. B. ${\displaystyle y(t)}$ auch mindestens eine Ableitung der gesuchten Funktion. Die Notation einer DGL mit dem Differentialkoeffizienten ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$ einer bestimmten Ordnung wird zur Vereinfachung nicht immer mit der unabhängigen Variablen ${\displaystyle x}$ oder bei zeitabhängigen Funktionen mit ${\displaystyle t}$ dargestellt, sondern z. B. als ${\displaystyle y'}$ oder ${\displaystyle {\dot {y}}}$ für eine Ableitung 1. Ordnung. Eine DGL ist linear, wenn die gesuchte Funktion y(x) und deren Ableitungen keine Winkelfunktionen, Logarithmen oder Wurzeln enthält.

Ein sehr bekanntes Beispiel einer linearen GDGL mit konstanten Koeffizienten einer Verzögerungsfunktion 1. Ordnung (PT1-Glied) lautet in expliziter Darstellung:

${\displaystyle y'(t)={\frac {K_{PT1}\cdot u(t)-y(t)}{T_{1}}}}$. ${\displaystyle \qquad ({K_{PT1}\cdot u(t)}\ {\text{ist die Störfunktion}})}$

Bei dieser linearen inhomogenen DGL mit Störfunktion (${\displaystyle u(t)}$ = Eingangssprung) bedeutet ${\displaystyle T_{1}}$ die Zeitkonstante, und ${\displaystyle K_{PT1}}$ der Proportionalitätsfaktor.

Anmerkung: Bei der expliziten Darstellung der DGL werden sämtliche Koeffizienten der übrigen Ableitungen einschließlich Störfunktion durch den Koeffizienten der höchsten Ableitung dividiert.

Prinzipiell ist die Lösung ${\displaystyle y(x)}$ einer DGL eine Funktion mit einem kontinuierlichen Werteverlauf in Abhängigkeit von der unabhängigen Variable ${\displaystyle x}$. Eine DGL hat in der Regel unendlich viele Lösungen von Werteverläufen. Deshalb wird eine spezielle Lösung für eine Anfangsbedingung ${\displaystyle y_{0}}$ und der unabhängigen Variablen ${\displaystyle x=0}$ bzw. bei zeitabhängigen Systemen ${\displaystyle t=0}$ gewählt. Die grafische Darstellung der Lösung einer DGL mit Berücksichtigung des Anfangswertes bezeichnet man als Trajektorie.

Die im Beispiel genannte Lösung der linearen DGL ${\displaystyle y(t)}$ stellt eine bekannte asymptotisch verlaufende e-Funktion im Zeitbereich dar.

Klassische Lösungsverfahren:

Die klassischen Lösungsverfahren von GDGL wie "Separation der Variablen", "Exponentialansatz", "Laplace-Transformation mit Partialbruchzerlegung oder "Laplace-Transformation mit Laplace-Transformationstabellen" sind zum Teil aufwendig.

Numerische zeitdiskrete Lösungsverfahren:

Erheblich einfacher ist die Lösung von linearen und nichtlinearen DGL-en 1. O. und den meisten linearen und nichtlinearen DGL höherer Ordnung durch Anwendung numerischer zeitdiskreter Verfahren. Der Approximationsfehler gegenüber der analytischen Funktion fällt beim Einschrittverfahren linear mit reduzierter Schrittweite ${\displaystyle \Delta t}$. Partielle Differenzialgleichungen können oft nur mit numerischen Methoden approximiert werden.

Siehe auch in diesem Artikel Übersicht Numerik: ${\displaystyle \to }$ #Lösung von linearen gewöhnlichen Differenzialgleichungen mittels der numerischen Berechnung.

Anmerkung: Die Begriffe „Nichtlineare DGL“ und „Nichtlineares dynamisches System“ unterscheiden sich, wobei ein dynamisches System auch nichtlineare statische Funktionen wie „Begrenzungseffekte“, Hysterese, „Nichtlineare Kennlinie“ oder „Totzone“ enthalten kann, die nicht mit DGL-en beschrieben werden können. Diese Systeme mit statischen Nichtlinearitäten können durch numerische Methoden in Verbindung mit logischen Befehlen dem tatsächlichen Systemverhalten angenähert werden.

Siehe auch ${\displaystyle \to }$ Differentialgleichung

Siehe auch ${\displaystyle \to }$ Lineare gewöhnliche Differentialgleichung

Zur Notation

In der Literatur zu gewöhnlichen Differentialgleichungen werden standardmäßig zwei unterschiedliche Notationen verwendet. In der einen Variante wird die unabhängige Variable mit ${\displaystyle x}$ bezeichnet und die Ableitungen der Funktion ${\displaystyle y}$ nach ${\displaystyle x}$ mit ${\displaystyle y',y''}$ usw. Die andere Schule verwendet eine auf Newton zurückgehende Notation. Dabei ist die unabhängige Variable ${\displaystyle t}$ bereits mit einem Sinn versehen; ${\displaystyle t}$ ist die Zeit. Lösungen werden dann oft mit ${\displaystyle x}$ bezeichnet und die Ableitungen nach der Zeit werden als ${\displaystyle {\dot {x}},{\ddot {x}}}$ notiert. Da dieser Artikel von Vertretern beider Schulen bearbeitet wurde, finden sich beide Notationen wieder.

Existenz und Eindeutigkeit

Ob überhaupt eine Lösung existiert, lässt sich anhand einiger Kriterien erkennen. Die Differentialgleichung selbst reicht im Allgemeinen nicht aus, um die Lösung eindeutig zu bestimmen.

Beispielsweise ist der grundsätzliche Bewegungsablauf aller schwingenden Pendel gleich und kann durch eine einzige Differentialgleichung beschrieben werden. Der konkrete Bewegungsablauf ist jedoch durch die Rand- oder Anfangsbedingung(en) (wann wurde das Pendel angestoßen, und wie groß ist die Anfangsauslenkung) bestimmt.

Die lokale Lösbarkeit von Anfangswertproblemen bei gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung wird durch den Satz von Picard-Lindelöf und den Satz von Peano beschrieben. Aus der Existenz einer lokalen Lösung kann man in einem zweiten Schritt auf die Existenz einer nicht-fortsetzbaren Lösung schließen. Mit Hilfe des Satzes vom maximalen Existenzintervall kann man darauf aufbauend von dieser nicht-fortsetzbaren Lösung dann gelegentlich Globalität nachweisen. Die Eindeutigkeit bekommt man als Anwendung der gronwallschen Ungleichung.

Reduktion von Gleichungen höherer Ordnung auf Systeme erster Ordnung

Gewöhnliche Differentialgleichungen beliebiger Ordnung lassen sich immer auf ein System von gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung zurückführen. Hat eine gewöhnliche Differentialgleichung die Ordnung ${\displaystyle n}$, so führt man dazu die voneinander abhängigen Funktionen ${\displaystyle y_{1},y_{2},\dotsc ,y_{n}}$ ein:

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}&:=y\\y_{2}&:=y'_{1}\\y_{3}&:=y'_{2}\\&\vdots \\y_{n}&:=y'_{n-1}\\\end{aligned}}}$

Aus der expliziten Differentialgleichung ${\displaystyle n}$-ter Ordnung für ${\displaystyle y}$ wird dabei:

${\displaystyle y'_{n}=f(x,y_{1},\ldots ,y_{n})}$

Man erhält also ein System von ${\displaystyle n}$ gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung:

${\displaystyle (y_{1},\dotsc ,y_{n-1},y_{n})'=(y_{2},\dotsc ,y_{n},f(x,y_{1},\ldots ,y_{n}))}$.

Umgekehrt kann man aus manchen Differentialgleichungssystemen eine einzige Differentialgleichung höherer Ordnung ableiten.

Lösung mit Hilfe des Exponentialansatzes

Die Lösung einer inhomogenen GDGL besteht aus der allgemeinen Lösung der homogenen GDGL und einer speziellen Lösung (partikuläre Lösung) der inhomogenen GDGL. Deshalb erfolgt das Lösungsverfahren der inhomogenen GDGL, unabhängig von der Ordnung, in zwei Stufen. Die Gesamtlösung ist die Summe der beiden Lösungen:

• Die homogene Lösung der GDGL beschreibt das Systemverhalten mit Anfangswerten der Systemspeicher zum Zeitpunkt ${\displaystyle t=0}$ und dem Eingangssignal ${\displaystyle u(t)=0}$. Dies bedeutet für das dynamische System, es ist sich selbst überlassen und hat nur ein Ausgangssignal. Die homogene Lösung der GDGL ist Null, wenn alle Anfangsbedingungen von ${\displaystyle y_{0}=0}$ und deren Ableitungen Null sind.

• Die partikuläre Lösung der GDGL beschreibt das Übertragungsverhalten von ${\displaystyle y(t)}$ für ${\displaystyle u(t)\neq 0}$ als erzwungene Bewegung. Je nach Systemordnung müssen alle Anfangsbedingungen ${\displaystyle y_{0}=0}$ und deren Ableitungen Null sein.

Ist die Übertragungsfunktion ${\displaystyle G(s)}$ als Laplace-transformierte GDGL gegeben, so ist die Berechnung des System-Ausgangssignals ${\displaystyle Y(s)}$ für ein gegebenes Eingangssignal ${\displaystyle U(s)}$ bei Anwendung der inversen Laplace-Transformation immer eine partikuläre Lösung. Die partikuläre Lösung der GDGL ist in der Regelungstechnik meist von hauptsächlichem Interesse.

Mit Hilfe des Exponentialansatzes und der sich daraus ergebenden charakteristischen Gleichung lassen sich auch GDGL höherer Ordnung lösen. Dieser Exponentialansatz gilt als universelles Lösungsverfahren für homogene GDGL beliebiger Ordnungen mit konstanten Koeffizienten.

Hat eine GDGL die Ordnung n, so hat ihre Lösung n Integrationskonstanten. Dazu müssen n Anfangsbedingungen gegeben sein.

Der Exponentialansatz ${\displaystyle y(t)=e^{\lambda \cdot t}}$ liefert Ableitungen der Form: ${\displaystyle y^{(n)}(t)=\lambda ^{n}\cdot e^{\lambda \cdot t}}$.

Werden diese Beziehungen in die homogene GDGL eingesetzt, entsteht die charakteristische Gleichung als Polynom n-ter Ordnung für ${\displaystyle \lambda }$. Die homogene Lösung einer inhomogenen Differenzialgleichung lautet damit allgemein für den Fall reeller ungleicher Nullstellen ${\displaystyle \lambda _{i}}$ des charakteristischen Polynoms:

${\displaystyle y_{H}(t)=C_{1}\cdot e^{{\lambda }_{1}\cdot t}+C_{2}\cdot e^{{\lambda }_{2}\cdot t}+\cdots +C_{n}\cdot e^{{\lambda }_{n}\cdot t}}$

Die Lösung einer GDGL erfolgt durch Integration. Jede Integration ergibt Integrationskonstanten ${\displaystyle C_{i}}$, deren Anzahl durch die Ordnung der GDGL bestimmt ist. Die Lösung einer GDGL n-ter Ordnung enthält ${\displaystyle n}$ voneinander unabhängige Integrationskonstanten. Diese sind für eine spezielle (partikuläre) Lösung der GDGL abhängig von den Eigenwerten und gegebenen Anfangsbedingungen des Übertragungssystems zu bestimmen.

Die Bestimmung der Integrationskonstanten ${\displaystyle C_{i}}$ bei Systemen höherer Ordnung (> 2) ist sehr umständlich. Weitere Informationen liefert die Fachliteratur.

Anfangswertproblem und Integrationskonstanten für eine homogene GDGL 2. Ordnung

Eine homogene GDGL n-ter Ordnung hat ${\displaystyle n}$ Anfangswerte. Für die homogene GDGL zweiter Ordnung mit zwei vorzugebenden Anfangswerten ${\displaystyle y_{0}}$ und ${\displaystyle {\dot {y}}_{0}}$ können die Koeffizienten ${\displaystyle C_{1}}$ und ${\displaystyle C_{2}}$ errechnet werden, wenn die Nullstellen des charakteristischen Polynoms bekannt sind.

Für jede Anfangsbedingung ergibt sich eine Gleichung (${\displaystyle y_{H}(0)=y_{0}}$, ${\displaystyle {\dot {y}}_{H}(0)={\dot {y}}_{0}}$).

Beispiel für eine homogene GDGL mit zwei reellen Nullstellen ${\displaystyle \lambda _{1}=-0{,}5}$ und ${\displaystyle \lambda _{2}=-1}$ und Anfangswerten ${\displaystyle {\dot {y}}_{0}=1}$; ${\displaystyle y_{0}=1}$:

Lösung ${\displaystyle y_{H}(t)}$ der homogenen DGL 2. Ordnung:

${\displaystyle y_{H}(t)=C_{1}\cdot e^{-0{,}5\cdot t}+C_{2}\cdot e^{-1\cdot t}}$

Berechnung der Koeffizienten:

${\displaystyle y_{0}\ {\xrightarrow {t=0}}1=C_{1}+C_{2}}$

${\displaystyle {\dot {y}}_{0}{\xrightarrow {d/dt}}1=C_{1}\cdot -0{,}5\cdot e^{-0{,}5\cdot t}+C_{2}\cdot -1\cdot e^{-1\cdot t}}$

${\displaystyle {\dot {y}}_{0}{\xrightarrow {t=0}}1=C_{1}\cdot -0{,}5+C_{2}\cdot -1=-0{,}5\cdot C_{1}-C_{2}}$

Aus den beiden Gleichungen von ${\displaystyle y_{0}}$ für ${\displaystyle t=0}$ und ${\displaystyle {\dot {y}}_{0}}$ für ${\displaystyle t=0}$ lassen sich die Koeffizienten ${\displaystyle C_{1}}$ und ${\displaystyle C_{2}}$ bestimmen.

Anmerkung: Die Ableitung nach ${\displaystyle t}$ von ${\displaystyle e^{-a\cdot t}}$ ist ${\displaystyle -a\cdot e^{-a\cdot t}}$.

Tabelle: Durch die verschiedenen Arten der Lösungen der quadratischen Gleichung, bedingt durch die Größe der Diskriminante, ergeben sich drei unterschiedliche Fälle der Eigenwerte λ der GDGL wie:

Lösung der homogenen linearen Differenzialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten	Nullstellen	Anfangswertproblem Bestimmung C1, C2
Radikand > 0: 2 reelle Nullstellen ${\displaystyle y_{H}(t)=C_{1}\cdot e^{{\lambda }_{1}\cdot t}+C_{2}\cdot e^{{\lambda }_{2}\cdot t}}$	${\displaystyle {\lambda }_{1;2}=-{\frac {a_{1}}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {{a_{1}}^{2}}{4}}-a_{0}}}}$	${\displaystyle C_{1}={\frac {{\dot {y}}_{0}-y_{0}\cdot \lambda _{2}}{\lambda _{1}-\lambda _{2}}}\,}$ ${\displaystyle C_{2}=y_{0}-C_{1}\,}$
Radikand = 0: 2 gleiche Nullstellen ${\displaystyle y_{H}(t)=C_{1}\cdot e^{{\lambda }_{1}\cdot t}+C_{2}\cdot t\cdot e^{{\lambda }_{1}\cdot t}}$	${\displaystyle \lambda =\lambda _{1;2}=-{\frac {a_{1}}{2}}}$	${\displaystyle C_{1}=y_{0}\,}$ ${\displaystyle C_{2}={\dot {y}}_{0}-y_{0}\cdot \lambda \,}$
Radikand < 0: konjugiert komplexen Nullstellen ${\displaystyle y_{H}(t)=e^{\alpha \cdot t}\cdot [C_{1}\cdot \cos(\beta \cdot t)+C_{2}\cdot \sin(\beta \cdot t)]}$	${\displaystyle {\lambda }_{1;2}=\alpha \pm i\cdot \beta }$ ${\displaystyle \alpha =-a_{1}/2\,}$ ${\displaystyle \beta ={\sqrt {a_{0}-{\frac {{a_{1}}^{2}}{4}}}}}$	${\displaystyle C_{1}={\frac {{\dot {y}}_{0}-\alpha \cdot y_{0}}{\beta }}}$ ${\displaystyle C_{2}=y_{0}\,}$

Berechnungsbeispiel der Lösung einer GDGL 2. Ordnung mit reellen Nullstellen

Übertragungsfunktion eines dynamischen Systems bestehend aus zwei PT1-Gliedern ${\displaystyle G(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}={\frac {1}{(2\cdot s+1)\cdot (s+1)}}={\frac {1}{2\cdot s^{2}+3\cdot s+1}}}$ Zugehörige systembeschreibende GDGL: ${\displaystyle 2\cdot {\ddot {y}}(t)+3\cdot {\dot {y}}(t)+y(t)=u(t)}$ Die höchste Ableitung freigestellt: ${\displaystyle {\ddot {y}}(t)+1{,}5\cdot {\dot {y}}(t)+0{,}5\cdot y(t)=0{,}5\cdot u(t)\qquad {\text{Koeffizienten:}}\ a_{1}=1{,}5\quad a_{0}=0{,}5\quad b_{0}=0{,}5}$ Vorgegeben: Willkürlich gewählte Anfangswerte der Energiespeicher (Integratoren): ${\displaystyle y'_{0}(t)=1}$; ${\displaystyle y_{0}(t)=1}$; Vorgegeben: Eingangsgröße ${\displaystyle u(t)=1}$ ist eine normierte Sprungfunktion für ${\displaystyle t>0}$. Gesucht: Homogene Lösung der GDGL ${\displaystyle y_{H}(t)}$ und partikuläre Lösung ${\displaystyle y_{p}(t)}$: Für die homogene Lösung wird ${\displaystyle u(t)=0}$ gesetzt. Errechnet laut der oben dargestellten Tabelle der homogenen Lösung: Es ergeben sich zwei reelle Nullstellen: ${\displaystyle {\lambda }_{1}=-0{,}5;\quad {\lambda }_{2}=-1}$ Errechnet: Die Integrationskonstanten errechnen sich laut Tabelle mit ${\displaystyle C_{1}=4}$; ${\displaystyle C_{2}=-3}$. Analytische homogene Lösung laut Tabelle für zwei reelle Nullstellen: ${\displaystyle y_{H}(t)=C_{1}\cdot e^{{\lambda }_{1}\cdot t}+C_{2}\cdot e^{{\lambda }_{2}\cdot t}\qquad \to }$ daraus folgt: Mit den eingesetzten Zahlenwerten lautet die analytische Lösung der homogenen GDGL: ${\displaystyle {\underline {\underline {y_{H}(t)=4\cdot e^{-0{,}5\cdot t}-3\cdot e^{-t}}}}}$ Partikuläre Lösung: Die Berechnung der Systemantwort ${\displaystyle y_{p}(t)}$ des Eingangs-Ausgangsverhaltens über das Faltungsintegral ist aufwendig. Einfacher ist die Lösung – wie nachfolgend dargestellt – durch die Anwendung der Laplace-Transformation.

Lösung mittels der Übertragungsfunktion

Die allgemeine Form einer Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten ${\displaystyle a_{i}}$ der Ausgangsgröße ${\displaystyle y(t)}$ und mit ${\displaystyle b_{i}}$ der Eingangsgröße ${\displaystyle u(t)}$ lautet:

${\displaystyle a_{n}\cdot y^{(n)}(t)+\ \cdots \ +a_{2}\cdot {\ddot {y}}(t)+a_{1}\cdot {\dot {y}}(t)+a_{0}\cdot y(t)=b_{0}\cdot u(t)+b_{1}\cdot {\dot {u}}(t)+b_{2}\cdot {\ddot {u}}(t)+\ \cdots \ +b_{m}\cdot u^{(m)}(t)}$.

Durch Anwendung des Laplace-Differentiationssatzes einer GDGL entstehen algebraische Gleichungen mit sogenannten Zähler- und Nennerpolynomen. ${\displaystyle s=\delta +j\cdot \omega }$ ist die komplexe Laplace-Variable, die mit einem Exponenten anstelle der Ordnung einer Ableitung steht. Die Übertragungsfunktion ${\displaystyle G(s)}$ ist definiert als das Verhältnis des Ausgangssignals ${\displaystyle Y(s)}$ zum Eingangssignal ${\displaystyle U(s)}$, wobei die Anfangswerte des Systems gleich Null sind.

${\displaystyle G(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}={\frac {b_{m}s^{m}+\dotsb +b_{2}s^{2}+b_{1}s+b_{0}}{a_{n}s^{n}+\dotsb +a_{2}s^{2}+a_{1}s+a_{0}}}}$.

Die Berechnung des Zeitverhaltens eines Übertragungssystems aus der Übertragungsfunktion ${\displaystyle G(s)}$ wird üblicherweise für normierte Eingangssignale ${\displaystyle U(s)}$ durchgeführt. Zur Berechnung der Sprungantwort mit dem Eingangssignal ${\displaystyle u(t)=1(t):=U(s):={\frac {1}{s}}}$ wird der Übertragungsfunktion der Term ${\displaystyle {\frac {1}{s}}}$ multiplikativ angehängt. Wird letzteres nicht durchgeführt, erhält man an Stelle der Sprungantwort die Impulsantwort.

Übertragungsfunktion in Polynomdarstellung, Pol-Nullstellendarstellung und Zeitkonstantendarstellung:

Die Pole und Nullstellen der Übertragungsfunktion sind die wichtigsten Kenngrößen des Systemverhaltens. Die Pole (Nullstellen des Nennerpolynoms) sind gleichzeitig die Lösung des Systems und bestimmen das System-Zeitverhalten. Die Nullstellen des Zählerpolynoms haben nur Einfluss auf die Amplituden der Systemantwort.

${\displaystyle {\begin{aligned}G(s)&={\frac {Y(s)}{U(s)}}={\frac {b_{m}s^{m}+\dotsb +b_{1}s+b_{0}}{a_{n}s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\dotsb +a_{1}s+a_{0}}}\\\\&=k\cdot {\frac {(s-s_{n1})(s-s_{n2})\dotsm (s-s_{nm})}{(s-s_{p1})(s-s_{p2})\dotsm (s-s_{pn})}}=K\cdot {\frac {(T_{v1}\cdot s+1)(T_{v2}\cdot s+1)\cdots }{(T_{1}\cdot s+1)(T_{2}\cdot s+1)\cdots }}\end{aligned}}}$

Die Lösung erfolgt durch Partialbruch-Zerlegung der Produktdarstellung in einfache additive Terme, die sich leicht in den Zeitbereich transformieren lassen. Die Partialbruch-Zerlegung von Übertragungsfunktionen höherer Ordnung ist nicht immer einfach, insbesondere wenn konjugiert komplexe Nullstellen vorliegen.

Alternativ können Laplace-Transformationstabellen benutzt werden, welche die häufigsten korrespondierenden Gleichungen im Zeitbereich enthalten.

Differenzenverfahren

Eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung (GDGL) mit konstanten Koeffizienten, die ein dynamisches System mit einem Eingangssignal und einem Ausgangssignal beschreibt, wird nach dem Differenzenverfahren in eine Differenzengleichung umgeformt, indem die Differentialquotienten der GDGL durch Differenzenquotienten ausgetauscht werden.

Eine Differenzengleichung ist eine numerisch lösbare rekursive Berechnungsvorschrift für eine diskret definierte Folge von nummerierten Folgeelementen bzw. Stützstellen ${\displaystyle y_{k}}$ im Abstand eines meist konstanten Intervalls ${\displaystyle \Delta x}$ oder bei zeitabhängigen Systemen ${\displaystyle \Delta t}$.

Mit dem Austausch des Differenzialquotienten durch einen Differenzenquotienten entsteht automatisch das rekursive Verhalten der Differenzengleichung, bei der sich je nach Ordnung ${\displaystyle n}$ jedes aktuelle Folgeelement ${\displaystyle y_{k}}$ sich auf ein oder mehrere zurückliegende Folgeelemente bezieht.

Die numerische Gesamtlösung des Systems erfolgt – bei einfachen Differenzengleichungen – rekursiv (sich selbst aufrufend) über viele Berechnungsfolgen ${\displaystyle k=(0,1,2,3,\dots ,k_{\mathrm {max} })}$ in meist je kleinen konstanten Zeitstufen. Die Form der Gesamtlösung ist damit tabellarisch für die gesuchten Werte ${\displaystyle y_{(k)}}$ (Stützpunkt, Knoten) eines Funktionsverlaufs im zeitlichen Abstand ${\displaystyle \Delta t}$.

Das einfachste und älteste Einschrittverfahren ist das explizite Euler-Verfahren. Zu den Einschritt-Verfahren gehören das Implizites Eulerverfahren, das Differenzenverfahren, Runge-Kutta-Verfahren, Heun-Verfahren. Bei den Mehrschrittverfahren wird die Information aus den zuvor bereits errechneten Stützpunkten gebildet.

Numerische Berechnung von gewöhnlichen Differenzialgleichungen nach der Regelungsnormalform der Zustandsraumdarstellung

Bereits die Anwendung des Differenzenverfahrens für GDGL 2. Ordnung erfordert einen beträchtlichen algebraischen Aufwand. Anfangswerte ${\displaystyle y_{0}>0}$ können nicht verarbeitet werden.

Mit Hilfe des Signalflussplanes der Regelungsnormalform lassen sich GDGL dynamischer Systeme höherer Ordnung einfach lösen. Die systembeschreibende GDGL wird in expliziter Darstellung (geordnet nach der höchsten Ableitung y(t)) in ein Signalflussdiagramm gebracht, wobei die Anzahl der Ableitungen von y(t) die Anzahl der Integratoren bestimmen.

Beispiel einer GDGL 2. Ordnung eines dynamischen Systems:

${\displaystyle a\cdot y''(t)+b\cdot y'(t)+c\cdot y(t)=u(t);\qquad \qquad {\text{u(t) = normierter Sprung 1(t)}}}$

• Enthält die Gleichung 2 reelle negative Pole, handelt es sich um 2 Verzögerungsglieder (PT1-Glieder).
• Enthält die Gleichung ein konjugiert komplexes Polpaar, handelt es sich um ein Schwingungsglied (${\displaystyle PT2_{kk}}$-Glied).

Für die Anwendung der Regelungsnormalform wird die höchste Ableitung der GDGL freigestellt und die Gleichung durch den Koeffizienten a dividiert.:

${\displaystyle y''(t)={\frac {b}{a}}\cdot y'(t)+{\frac {c}{a}}\cdot y(t)={\frac {1}{a}}\cdot {u}(t)}$

Dieser Signalflussplan der Regelungsnormalform für eine beliebige Ordnung lässt sich numerisch leicht berechnen. Für jede Ableitung der GDGL muss numerisch eine Differenzengleichung der Integration (I-Glied) mit den zugehörigen Koeffizienten berechnet werden. Jede Integration einer Ableitung wird mit den zugehörigen Koeffizienten als Zustandsvariable negativ auf den Wert der höchsten Ableitung zurückgeführt.

Sind Anfangswerte gegeben, werden die Integratoren direkt auf die Anfangswerte gesetzt, d. h. die tabellarisch geordneten Folgeglieder der numerisch berechneten Integratoren starteten mit den Anfangswerten. Normalerweise ist dabei ${\displaystyle u(t)=0}$.

→ Siehe ausführliche Details mit Anwendung Differenzengleichung (Differenzenverfahren)

→ Siehe auch Artikel Seminumerischer Algorithmus