Beispiel: Zweimaliger Würfelwurf

Das Experiment, mit einem fairen Würfel zweimal zu würfeln, lässt sich mit folgendem Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,P)}$ modellieren:

• ${\displaystyle \Omega }$ ist die Menge der 36 möglichen Ergebnisse ${\displaystyle \Omega =\{(1,1),(1,2),\dotsc ,(6,5),(6,6)\}}$
• ${\displaystyle \Sigma }$ ist die Potenzmenge von ${\displaystyle \Omega }$
• Will man zwei unabhängige Würfe mit einem fairen Würfel modellieren, so setzt man alle 36 Ergebnisse gleich wahrscheinlich, wählt also das Wahrscheinlichkeitsmaß ${\displaystyle P}$ als ${\displaystyle P\left(\{(n_{1},n_{2})\}\right)={\tfrac {1}{36}}}$ für ${\displaystyle n_{1},n_{2}\in \{1,2,3,4,5,6\}}$.

Die Zufallsvariablen ${\displaystyle X_{1}}$ (gewürfelte Zahl des ersten Würfels), ${\displaystyle X_{2}}$ (gewürfelte Zahl des zweiten Würfels) und ${\displaystyle S}$ (Augensumme des ersten und zweiten Würfels) werden als folgende Funktionen definiert:

1. ${\displaystyle X_{1}\colon \Omega \to \mathbb {R}$ ;\quad \left(n_{1},n_{2}\right)\mapsto n_{1},}
2. ${\displaystyle X_{2}\colon \Omega \to \mathbb {R}$ ;\quad \left(n_{1},n_{2}\right)\mapsto n_{2},} und
3. ${\displaystyle S\colon \Omega \to \mathbb {R}$ ;\quad \left(n_{1},n_{2}\right)\mapsto n_{1}+n_{2},}

wobei für ${\displaystyle \Sigma '}$ die borelsche σ-Algebra auf den reellen Zahlen gewählt wird.

Bemerkungen

In der Regel wird auf die konkrete Angabe der zugehörigen Räume verzichtet; es wird angenommen, dass aus dem Kontext klar ist, welcher Wahrscheinlichkeitsraum auf ${\displaystyle \Omega }$ und welcher Messraum auf ${\displaystyle \Omega '}$ gemeint ist.

Bei einer endlichen Ergebnismenge ${\displaystyle \Omega }$ wird ${\displaystyle \Sigma }$ meistens als die Potenzmenge von ${\displaystyle \Omega }$ gewählt. Die Forderung, dass die verwendete Funktion messbar ist, ist dann immer erfüllt. Messbarkeit wird erst wirklich bedeutsam, wenn die Ergebnismenge ${\displaystyle \Omega }$ überabzählbar viele Elemente enthält.

Einige Klassen von Zufallsvariablen mit bestimmten Wahrscheinlichkeits- und Messräumen werden besonders häufig verwendet. Diese werden teilweise mit Hilfe alternativer Definitionen eingeführt, die keine Kenntnisse der Maßtheorie voraussetzen:

Reelle Zufallsvariable

Bei reellen Zufallsvariablen ist der Bildraum die Menge ${\displaystyle \mathbb {R} }$ der reellen Zahlen versehen mit der borelschen ${\displaystyle \sigma }$-Algebra. Die allgemeine Definition von Zufallsvariablen lässt sich in diesem Fall zur folgenden Definition vereinfachen:

Eine reelle Zufallsvariable ist eine Funktion ${\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb {R} }$, die jedem Ergebnis ${\displaystyle \omega }$ aus einer Ergebnismenge ${\displaystyle \Omega }$ eine reelle Zahl ${\displaystyle X(\omega )}$ zuordnet und die folgende Messbarkeitsbedingung erfüllt:

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R}$ :\ \lbrace \omega \mid X(\omega )\leq x\rbrace \in \Sigma }

Das bedeutet, dass die Menge aller Ergebnisse, deren Realisierung unterhalb eines bestimmten Wertes liegt, ein Ereignis bilden muss.

Im Beispiel des zweimaligen Würfelns sind ${\displaystyle X_{1}}$, ${\displaystyle X_{2}}$ und ${\displaystyle S}$ jeweils reelle Zufallsvariablen.

Mehrdimensionale Zufallsvariable

Eine mehrdimensionale Zufallsvariable ist eine messbare Abbildung ${\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$ für eine Dimension ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Sie wird auch als Zufallsvektor bezeichnet. Damit ist ${\displaystyle X=(X_{1},\dotsc ,X_{n})}$ gleichzeitig ein Vektor von einzelnen reellen Zufallsvariablen ${\displaystyle X_{i}\colon \Omega \to \mathbb {R} }$, die alle auf dem gleichen Wahrscheinlichkeitsraum definiert sind. Die Verteilung von ${\displaystyle X}$ wird als multivariat bezeichnet, die Verteilungen der Komponenten ${\displaystyle X_{i}}$ nennt man auch Randverteilungen. Die mehrdimensionalen Entsprechungen von Erwartungswert und Varianz sind der Erwartungswertvektor und die Kovarianzmatrix.

Im Beispiel des zweimaligen Würfelns ist ${\displaystyle X=(X_{1},X_{2})}$ eine zweidimensionale Zufallsvariable.

Zufallsvektoren sollten nicht mit Wahrscheinlichkeitsvektoren (auch stochastische Vektoren genannt) verwechselt werden. Diese sind Elemente des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, deren Komponenten positiv sind und deren Summe 1 ergibt. Sie beschreiben die Wahrscheinlichkeitsmaße auf Mengen mit ${\displaystyle n}$ Elementen.

Komplexe Zufallsvariable

Bei komplexen Zufallsvariablen ist der Bildraum die Menge ${\displaystyle \mathbb {C} }$ der komplexen Zahlen versehen mit der durch die kanonische Vektorraumisomorphie zwischen ${\displaystyle \mathbb {C} }$ und ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ „geerbten“ borelschen σ-Algebra. ${\displaystyle X}$ ist genau dann eine Zufallsvariable, wenn Realteil ${\displaystyle \operatorname {Re} (X)}$ und Imaginärteil ${\displaystyle \operatorname {Im} (X)}$ jeweils reelle Zufallsvariablen sind.

Numerische oder erweiterte Zufallsvariable

Der Begriff Zufallsvariable ohne weitere Charakterisierung bedeutet meistens – und fast immer in anwendungsnahen Darstellungen – reelle Zufallsvariable. Zur Unterscheidung von einer solchen wird eine Zufallsvariable mit Werten in den erweiterten reellen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{-\infty ,\infty \}}$ als numerische Zufallsvariable – entsprechend der Terminologie der numerischen Funktion – oder als erweiterte Zufallsvariable (engl. extended random variable) bezeichnet. Es gibt aber auch eine abweichende Terminologie, bei der Zufallsvariable eine numerische Zufallsvariable bezeichnet und eine reelle Zufallsvariable immer als solche bezeichnet wird.

Zufallselement

In der Literatur wird die obige Definition der Zufallsvariable manchmal für den Begriff Zufallselement (resp. englisch random element) verwendet um Zufallsvariablen ${\displaystyle \Omega \to \mathbb {R} }$ von Objekten wie dem Zufallsvektor, dem zufälligen Maß, der Zufallsfunktion, der Zufallsmenge, der Zufallsmatrix usw. zu unterscheiden.

Diskret

Eine Zufallsvariable wird als diskret bezeichnet, wenn sie nur endlich viele oder abzählbar unendlich viele Werte annimmt oder etwas allgemeiner, wenn ihre Verteilung eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung ist. Im obigen Beispiel des zweimaligen Würfelns sind alle drei Zufallsvariablen ${\displaystyle X_{1}}$, ${\displaystyle X_{2}}$ und ${\displaystyle S}$ diskret. Ein weiteres Beispiel für diskrete Zufallsvariablen sind zufällige Permutationen.

Konstant

Eine Zufallsvariable wird als konstant bezeichnet, wenn sie nur einen Wert annimmt: ${\displaystyle X(\omega )=c}$ für alle ${\displaystyle \omega }$. Sie ist ein Spezialfall einer diskreten Zufallsvariable.

Es gilt

${\displaystyle X(\omega )=c\;\forall \omega \in \Omega \implies P(X=c)=1}$

die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht. Eine Zufallsvariable die nur die rechte Seite erfüllt, heißt fast sicher konstant.

Unabhängig

Zwei reelle Zufallsvariablen ${\displaystyle X,Y}$ heißen unabhängig, wenn für je zwei Intervalle ${\displaystyle [a_{1},b_{1}]}$ und ${\displaystyle [a_{2},b_{2}]}$ die Ereignisse ${\displaystyle E_{X}:=\{\omega |X(\omega )\in [a_{1},b_{1}]\}}$ und ${\displaystyle E_{Y}:=\{\omega |Y(\omega )\in [a_{2},b_{2}]\}}$ stochastisch unabhängig sind. Das sind sie, wenn gilt: ${\displaystyle P(E_{X}\cap E_{Y})=P(E_{X})P(E_{Y})}$.

In obigem Beispiel sind ${\displaystyle X_{1}}$ und ${\displaystyle X_{2}}$ unabhängig voneinander; die Zufallsvariablen ${\displaystyle X_{1}}$ und ${\displaystyle S}$ hingegen nicht.

Unabhängigkeit mehrerer Zufallsvariablen ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dotsc ,X_{n}}$ bedeutet, dass das Wahrscheinlichkeitsmaß ${\displaystyle P_{X}}$ des Zufallsvektors ${\displaystyle X=\left(X_{1},X_{2},\dotsc ,X_{n}\right)}$ dem Produktmaß der Wahrscheinlichkeitsmaße der Komponenten, also dem Produktmaß von ${\displaystyle P_{X_{1}},P_{X_{2}},\dotsc ,P_{X_{n}}}$ entspricht. So lässt sich beispielsweise dreimaliges unabhängiges Würfeln durch den Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,P)}$ mit

${\displaystyle \Omega =\{1,2,3,4,5,6\}^{3}}$,

${\displaystyle \Sigma }$ der Potenzmenge von ${\displaystyle \Omega }$ und

${\displaystyle P\left(\left(n_{1},n_{2},n_{3}\right)\right)={\frac {1}{6^{3}}}={\frac {1}{216}}}$

modellieren; die Zufallsvariable "Ergebnis des ${\displaystyle k}$-ten Wurfes" ist dann

${\displaystyle X_{k}\left(n_{1},n_{2},n_{3}\right)=n_{k}}$ für ${\displaystyle k\in \{1,2,3\}}$.

Die Konstruktion eines entsprechenden Wahrscheinlichkeitsraums für eine beliebige Familie unabhängiger Zufallsvariable mit gegebenen Verteilungen ist ebenfalls möglich.

Identisch verteilt

Zwei oder mehr Zufallsvariablen heißen identisch verteilt (bzw. i.d. für identically distributed), wenn ihre induzierten Wahrscheinlichkeitsverteilungen gleich sind. In Beispiel des zweimaligen Würfelns sind ${\displaystyle X_{1}}$, ${\displaystyle X_{2}}$ identisch verteilt; die Zufallsvariablen ${\displaystyle X_{1}}$ und ${\displaystyle S}$ hingegen nicht.

Unabhängig und identisch verteilt

Häufig werden Folgen von Zufallsvariablen untersucht, die sowohl unabhängig als auch identisch verteilt sind; demnach spricht man von unabhängig identisch verteilten Zufallsvariablen, üblicherweise mit u.i.v. bzw. i.i.d. (für independent and identically distributed) abgekürzt.

In obigem Beispiel des dreimaligen Würfelns sind ${\displaystyle X_{1}}$, ${\displaystyle X_{2}}$ und ${\displaystyle X_{3}}$ i.i.d. Die Summe der ersten beiden Würfe ${\displaystyle S_{1,2}=X_{1}+X_{2}}$ und die Summe des zweiten und dritten Wurfs ${\displaystyle S_{2,3}=X_{2}+X_{3}}$ sind zwar identisch verteilt, aber nicht unabhängig. Dagegen sind ${\displaystyle S_{1,2}}$ und ${\displaystyle X_{3}}$ unabhängig, aber nicht identisch verteilt.

Austauschbar

Austauschbare Familien von Zufallsvariablen sind Familien, deren Verteilung sich nicht ändert, wenn man endlich viele Zufallsvariablen in der Familie vertauscht. Austauschbare Familien sind stets identisch verteilt, aber nicht notwendigerweise unabhängig.

Kenngrößen

Zur Charakterisierung von Zufallsvariablen dienen einige wenige Funktionen, die wesentliche mathematische Eigenschaften der jeweiligen Zufallsvariable beschreiben. Die wichtigste dieser Funktionen ist die Verteilungsfunktion, die Auskunft darüber gibt, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Zufallsvariable einen Wert bis zu einer vorgegebenen Schranke annimmt, beispielsweise die Wahrscheinlichkeit, höchstens eine Vier zu würfeln. Bei stetigen Zufallsvariablen wird diese durch die Wahrscheinlichkeitsdichte ergänzt, mit der die Wahrscheinlichkeit berechnet werden kann, dass die Werte einer Zufallsvariablen innerhalb eines bestimmten Intervalls liegen. Des Weiteren sind Kennzahlen wie der Erwartungswert, die Varianz oder höhere mathematische Momente von Interesse.

Stetig oder kontinuierlich

Das Attribut stetig wird für unterschiedliche Eigenschaften verwendet.

• Eine reelle Zufallsvariable wird als stetig (oder auch absolut stetig) bezeichnet, wenn sie eine Dichte besitzt (ihre Verteilung absolutstetig bezüglich des Lebesgue-Maßes ist).
• Eine reelle Zufallsvariable wird als stetig bezeichnet, wenn sie eine stetige Verteilungsfunktion besitzt. Insbesondere bedeutet das, dass ${\displaystyle P(\{X=x\})=0}$ für alle ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ gilt.

Messbarkeit, Verteilungsfunktion und Erwartungswert

Wenn eine reelle Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ auf dem Ergebnisraum ${\displaystyle \Omega }$ und eine messbare Funktion ${\displaystyle g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ gegeben ist, dann ist auch ${\displaystyle Y=g(X)}$ eine Zufallsvariable auf demselben Ergebnisraum, da die Verknüpfung messbarer Funktionen wieder messbar ist. ${\displaystyle g(X)}$ wird auch als Transformation der Zufallsvariablen ${\displaystyle X}$ unter ${\displaystyle g}$ bezeichnet. Die gleiche Methode, mit der man von einem Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,P)}$ nach ${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),P^{X})}$ gelangt, kann benutzt werden, um die Verteilung von ${\displaystyle Y}$ zu erhalten.

Die Verteilungsfunktion von ${\displaystyle Y}$ lautet

${\displaystyle F_{Y}(y)=\operatorname {P} (g(X)\leq y)}$.

Der Erwartungswert einer quasi-integrierbaren Zufallsgröße ${\displaystyle X}$ von ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,P)}$ nach ${\displaystyle ({\bar {\mathbb {R} }},{\mathcal {B}}({\bar {\mathbb {R} }}))}$ berechnet sich folgend:

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\int _{\Omega }X(\omega )\mathrm {d} P(\omega )\,}$.

Integrierbar und quasi-integrierbar

Eine Zufallsvariable heißt integrierbar, wenn der Erwartungswert der Zufallsvariable existiert und endlich ist. Die Zufallsvariable heißt quasi-integrierbar, wenn der Erwartungswert existiert, möglicherweise aber unendlich ist. Jede integrierbare Zufallsvariable ist folglich auch quasi-integrierbar.

Beispiel

Es sei ${\displaystyle X}$ eine reelle stetig verteilte Zufallsvariable und ${\displaystyle Y=X^{2}}$.

Dann ist

${\displaystyle F_{Y}(y)=\operatorname {P} (X^{2}\leq y).}$

Fallunterscheidung nach ${\displaystyle y}$:

${\displaystyle y<0:}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}&&\operatorname {P} (X^{2}\leq y)&=0\\&\Rightarrow &F_{Y}(y)&=0\end{alignedat}}}$

${\displaystyle y\geq 0:}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}&&\operatorname {P} \left(X^{2}\leq y\right)&=\operatorname {P} \left(|X|\leq {\sqrt {y}}\right)\\&&&=\operatorname {P} \left(-{\sqrt {y}}\leq X\leq {\sqrt {y}}\right)\\&\Rightarrow &F_{Y}\left(y\right)&=F_{X}\left({\sqrt {y}}\right)-F_{X}\left(-{\sqrt {y}}\right)\end{alignedat}}}$

Standardisierung

Eine Zufallsvariable nennt man standardisiert, wenn ihr Erwartungswert 0 und ihre Varianz 1 ist. Die Transformation einer Zufallsvariable ${\displaystyle Y}$ in eine standardisierte Zufallsvariable

${\displaystyle Z={\frac {Y-\operatorname {E} (Y)}{\sqrt {\operatorname {Var} (Y)}}}}$

bezeichnet man als Standardisierung der Zufallsvariable ${\displaystyle Y}$.