Keine abelsche Gruppe

Die Gruppe ${\displaystyle S_{3}}$ ist keine abelsche Gruppe, wie obiger Verknüpfungstafel entnommen werden kann (sie ist nicht symmetrisch zur Hauptdiagonale); beispielsweise gilt ${\displaystyle s_{2}s_{1}=d^{2}\neq d=s_{1}s_{2}}$. Sie ist bis auf Isomorphie die kleinste nicht-abelsche Gruppe, das heißt, jede nicht-abelsche Gruppe ist entweder isomorph zu ${\displaystyle S_{3}}$ oder hat mehr Elemente.

Untergruppen und Normalteiler

Die Untergruppen neben den trivialen Untergruppen ${\displaystyle \{e\}}$ und ${\displaystyle S_{3}}$ selbst sind:

• ${\displaystyle A_{3}:=\left\{e,d,d^{2}\right\}\cong \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} }$. Diese Untergruppe (die Gruppe der Drehungen) ist ein Normalteiler und wird auch als alternierende Gruppe vom Grad 3 bezeichnet.
• ${\displaystyle \{e,s_{1}\}\cong \{e,s_{2}\}\cong \{e,s_{3}\}\cong \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$. Diese Untergruppen (die Gruppen der Spiegelungen) sind keine Normalteiler; beispielsweise ist ${\displaystyle d\{e,s_{1}\}d^{-1}\,=\,d\{e,s_{1}\}d^{2}\,=\,\{e,s_{2}\}}$.
• Das Zentrum von ${\displaystyle S_{3}}$ ist trivial (besteht nur aus ${\displaystyle \{e\}}$). Somit kommutiert ein von ${\displaystyle e}$ verschiedenes Element nur mit Potenzen seiner selbst.

Erzeuger und Relationen

Man kann Gruppen auch dadurch beschreiben, dass man ein Erzeugendensystem und Relationen, die die Erzeuger erfüllen müssen, angibt. Erzeuger und Relationen notiert man, durch das Zeichen  ${\displaystyle \mid }$  getrennt, in spitzen Klammern. Die Gruppe ist dann die von den Erzeugern erzeugte freie Gruppe modulo dem von den Relationen erzeugten Normalteiler. In diesem Sinne ist:

${\displaystyle S_{3}=\langle d,s\mid d^{3},s^{2},dsds\rangle }$

Irreduzible Darstellungen

Bis auf Äquivalenz hat die ${\displaystyle S_{3}}$ drei irreduzible Darstellungen, zwei eindimensionale und eine zweidimensionale. Zur Angabe dieser Darstellungen genügt es, die Bilder von ${\displaystyle d}$ und ${\displaystyle s_{1}}$ anzugeben, denn diese Elemente erzeugen die Gruppe.

• Die triviale Darstellung: ${\displaystyle S_{3}\rightarrow \mathbb {C}$ :\,\,d\mapsto 1,s_{1}\mapsto 1}
• Die Signum-Abbildung: ${\displaystyle S_{3}\rightarrow \mathbb {C}$ :\,\,d\mapsto 1,s_{1}\mapsto -1}
• Die zweidimensionale Darstellung: ${\displaystyle S_{3}\rightarrow M_{2}(\mathbb {C} ):\,\,d\mapsto {\begin{bmatrix}e^{2\pi i/3}&0\\0&e^{-2\pi i/3}\end{bmatrix}},s_{1}\mapsto {\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}}$.

Zwar erhält man eine andere zweidimensionale Darstellung, wenn man ${\displaystyle s_{1}}$ durch ${\displaystyle s_{2}}$ ersetzt, aber diese ist äquivalent zur angegebenen. Diese Überlegungen führen zu folgender Charaktertafel:

${\displaystyle S_{3}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 2}$
	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle (1,2)}$	${\displaystyle (1,2,3)}$
${\displaystyle \chi _{1}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle \chi _{2}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle \chi _{3}}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -1}$

Allgemeine lineare Gruppe über ℤ/2

Die allgemeine lineare Gruppe 2-ten Grades über dem Restklassenkörper ${\displaystyle \mathbb {Z} /2=\mathbb {F} _{2}=\{0,1\}}$, ${\displaystyle GL(2,\mathbb {F} _{2})=\left\{{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}0&1\\1&1\end{bmatrix}}\right\}}$ ist isomorph zur ${\displaystyle S_{3}}$.

Transformationengruppe

Die gebrochen linearen Funktionen ${\displaystyle s_{1},s_{2}}$ mit Koeffizienten aus einem beliebigen Körper ${\displaystyle K}$ und den Zuordnungen

${\displaystyle s_{1}:}$	${\displaystyle X\mapsto 1-X}$
${\displaystyle s_{2}:}$	${\displaystyle X\mapsto X^{-1}}$

erzeugen mit der Hintereinanderausführung als Gruppenverknüpfung eine Gruppe ${\displaystyle G}$, die isomorph zur ${\displaystyle S_{3}}$ ist. Die übrigen 4 Gruppenmitglieder sind:

${\displaystyle d:=s_{1}\circ s_{2}:}$	${\displaystyle X\mapsto {\tfrac {X-1}{X}}}$
${\displaystyle s_{3}:=d\circ s_{1}=s_{2}\circ d:}$	${\displaystyle X\mapsto {\tfrac {X}{X-1}}}$
${\displaystyle d^{2}:=d\circ d=s_{2}\circ s_{1}:}$	${\displaystyle X\mapsto {\tfrac {1}{1-X}}}$
${\displaystyle d^{3}:=d\circ d^{2}=e:}$	${\displaystyle X\mapsto X}$

Die Verknüpfungstafel ist wie oben.
Die 6 Gruppenmitglieder ${\displaystyle s\in G}$ unterscheiden sich bei einer Einsetzung von Elementen ${\displaystyle x\in K\!\setminus \!\{0,1\}}$

${\displaystyle s_{K}:x\mapsto s_{K}(x):=s(x)}$

auch in den Wertetabellen, wenn ${\displaystyle K}$ wenigstens 5 Elemente hat.

Automorphismengruppe

Die ${\displaystyle S_{3}}$ ist isomorph zur Automorphismengruppe der Kleinschen Vierergruppe. Das ergibt sich leicht aus der Beobachtung, dass jede Permutation der drei Elemente der Ordnung 2 der Kleinschen Vierergruppe einen Automorphismus definiert.