Aussage

Sei ${\displaystyle M\in {\mathcal {M}}_{0,\operatorname {loc} }^{c}}$ und ${\displaystyle \langle M\rangle _{\infty }=\infty }$, definiere die Stoppzeit für alle ${\displaystyle t\geq 0}$

${\displaystyle T_{t}=\inf\{s:\langle M\rangle _{s}>t\}.}$

Dann ist ${\displaystyle B:=(B_{t}):=(M_{T_{t}})}$ eine ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{T_{t}}}$-brownsche Bewegung und ${\displaystyle (M_{t})=(B_{\langle M\rangle _{t}})}$.

Erläuterungen

• Die Eigenschaft ${\displaystyle \langle M\rangle _{\infty }=\infty }$ gewährleistet, dass der zugrundeliegende Wahrscheinlichkeitsraum genügend groß ist, damit eine brownsche Bewegung existiert. Möchte man diese Voraussetzung entfernen, muss man den Wahrscheinlichkeitsraum erweitern.
• ${\displaystyle B}$ ist keine ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$-brownsche Bewegung.
• ${\displaystyle (T_{t})}$ sind fast sicher endlich, da ${\displaystyle \langle M\rangle _{\infty }=\infty }$.
• ${\displaystyle (T_{t})}$ sind càdlàg und ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{T_{t}}}$-adaptiert.