Die Schallgeschwindigkeit ${\displaystyle c_{\text{S}}}$ ist die Geschwindigkeit, mit der sich Schallwellen in einem Medium ausbreiten. Ihre SI-Einheit ist Meter pro Sekunde (m/s). Zum Beispiel beträgt sie in trockener Luft von 20 °C 343,2 m/s (1236 km/h).

Die Schallgeschwindigkeit als Ausbreitungsgeschwindigkeit ist zu unterscheiden von

• Der Strömungsgeschwindigkeit von Stoffen.
• Der Schallschnelle, d. h. der Geschwindigkeit, mit der sich die einzelnen Teilchen des Mediums um die Ruheposition bewegen, um die zu der Schallwelle gehörige Deformation auf- und abzubauen.

Die Schallgeschwindigkeit ist eine Eigenschaft des Ausbreitungsmediums, insbesondere dessen Widerstand gegen elastische Deformationen und dessen Dichte. Da diese Eigenschaften von Druck und Temperatur abhängig sind, ist die Schallgeschwindigkeit auch von diesen abhängig. Die Schallgeschwindigkeit steigt im Allgemeinen mit der Temperatur, in der Nähe von Phasenübergängen fällt sie aber wieder. Bei nicht zu hohen Drücken ist die Schallgeschwindigkeit kaum vom Druck abhängig, weil sich die Änderungen von Dichte und Elastizität ausgleichen. In Flüssigkeiten und Gasen kann sich nur eine Art von Druckwellen (Longitudinalwellen) ausbreiten, es gibt nur eine Schallgeschwindigkeit. In Festkörpern gibt es dagegen noch Scherwellen (Transversalwellen), die sich langsamer (meist knapp die halbe Geschwindigkeit) ausbreiten. In anisotropen Festkörpern ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit richtungsabhängig und es kann zwei verschiedene Transversalwellen mit leicht unterschiedlichen Ausbreitungsgeschwindigkeiten geben.

Die Schallgeschwindigkeit wird im Allgemeinen für unbegrenzte Medien angegeben, in der Nähe von Grenzflächen (Rayleigh-Welle, Lamb-Welle) an Oberflächen oder bei schwingenden Flächen reduziert sich die Schallgeschwindigkeit. Die Schallgeschwindigkeit ist bei geringem Schallwechseldruck von diesem unabhängig, bei höheren Amplituden steigt die Schallgeschwindigkeit an und es kommt zu Stofftransporten (siehe Stoßwelle).

Schalltransport ist weitgehend verlustfrei und unabhängig von der Frequenz, bei höheren Frequenzen oder in der Nähe von Phasenübergängen kommt es zu erhöhten Transportverlusten und die Schallgeschwindigkeit wird frequenzabhängig.

Für den Zusammenhang zwischen Schallgeschwindigkeit ${\displaystyle c}$ und Frequenz ${\displaystyle f}$ einer monochromatischen Schallwelle der Wellenlänge ${\displaystyle \lambda }$ gilt wie für alle solchen Wellen:

${\displaystyle c_{\text{S}}=\lambda \,f}$

Schallgeschwindigkeit in Flüssigkeiten und Gasen

In Flüssigkeiten und Gasen können sich nur Druck- bzw. Dichtewellen ausbreiten, bei denen sich die einzelnen Teilchen in Richtung der Wellenausbreitung hin und her bewegen (Longitudinalwelle). Die Schallgeschwindigkeit ist eine Funktion der Dichte ${\displaystyle \rho }$ und des (adiabatischen) Kompressionsmoduls ${\displaystyle K}$ und berechnet sich so:

${\displaystyle c_{\,{\text{Flüssigkeit, Gas}}}={\sqrt {\frac {K}{\rho }}}}$

Schallgeschwindigkeit in Festkörpern

Schallwellen in Festkörpern können sich sowohl als Longitudinalwelle (hierbei ist die Schwingungsrichtung der Teilchen parallel zur Ausbreitungsrichtung) oder als Transversalwelle (Schwingungsrichtung senkrecht zur Ausbreitungsrichtung) ausbreiten.

Für Longitudinalwellen hängt im allgemeinen Fall die Schallgeschwindigkeit in Festkörpern von der Dichte ${\displaystyle \rho }$, der Poissonzahl ${\displaystyle \nu }$ und dem Elastizitätsmodul ${\displaystyle E}$ des Festkörpers ab. Dabei gilt

${\displaystyle c_{\text{Festkörper, longitudinal}}={\sqrt {\frac {E\,(1-\nu )}{\rho \,(1-\nu -2\nu ^{2})}}}}$

${\displaystyle c_{\text{Festkörper, transversal}}={\sqrt {\frac {E}{2\,\rho \,(1+\nu )}}}\ =\ {\sqrt {\frac {G}{\rho }}}}$

mit dem Schubmodul ${\displaystyle G={\frac {E}{2\,(1+\nu )}}}$.

Das Verhältnis der Ausbreitungsgeschwindigkeit zwischen Longitudinal- und Transversalwelle ist in isotropen Medien immer größer als 1,414 (${\displaystyle {\sqrt {2}}}$) und nur abhängig von der Poissonzahl ${\displaystyle \nu }$:

${\displaystyle \nu }$	${\displaystyle {\tfrac {c_{\mathrm {long} }}{c_{\mathrm {trans} }}}}$	Material		${\displaystyle \nu }$	${\displaystyle {\tfrac {c_{\mathrm {long} }}{c_{\mathrm {trans} }}}}$	Material
0	1,414	Kork		0,3333...	2
0,032	1,438	Beryllium		0,4375	3
0,2	1,633	Beton		0,44	3,05	Blei
0,33	1,895	Titan		0,47916...	4
0,35	2,082	Al, Cu, Mg		${\displaystyle \rightarrow }$ 0,5	${\displaystyle \rightarrow \infty }$	Gummi, Übergang zu Flüssigkeiten

Für eine Oberflächenwelle auf einem ausgedehnten Festkörper (Rayleigh-Welle) gilt:

${\displaystyle c_{\text{Festkörper, Oberfläche}}\approx 0{,}922\cdot c_{\text{Festkörper, transversal}}}$

Der Ausdruck ${\displaystyle M={\frac {E\,(1-\nu )}{(1-\nu -2\nu ^{2})}}}$ wird auch als Longitudinalmodul bezeichnet, sodass für die Longitudinalwelle auch

${\displaystyle c_{\text{Festkörper, longitudinal}}={\sqrt {\frac {M}{\rho }}}}$

geschrieben werden kann.

Im Spezialfall eines langen Stabes, dessen Durchmesser deutlich kleiner als die Wellenlänge der Schallwelle ist, kann der Einfluss der Querkontraktion vernachlässigt werden (d. h. ${\displaystyle \nu =0}$), und man erhält:

${\displaystyle c_{\text{langer Stab, longitudinal}}={\sqrt {\frac {E}{\rho }}}}$

${\displaystyle c_{\text{langer Stab, transversal}}={\sqrt {\frac {E}{2\rho }}}}$

Das theoretische Limit für Schallgeschwindigkeit in Festkörpern beträgt

${\displaystyle c_{\mathrm {solid} }^{\mathrm {max} }=\alpha \cdot {\sqrt {\frac {m_{\mathrm {e} }}{2m_{\mathrm {p} }}}}\cdot c\approx 36{,}1\;\mathrm {km/s} \,,}$

wobei c die Lichtgeschwindigkeit, α die Feinstrukturkonstante, m_e die Masse eines Elektrons und m_p die Masse eines Protons ist.

Schallgeschwindigkeit im idealen Gas

Schallgeschwindigkeit im realen Gas / Phänomene in der Luftatmosphäre

Die für das ideale Gas entwickelten Vorstellungen und Formeln gelten in sehr guter Näherung auch für die meisten realen Gase. Insbesondere variiert deren Adiabatenexponent ${\displaystyle \kappa =c_{\mathrm {p} }/c_{\mathrm {V} }}$ über weite Bereiche weder mit der Temperatur noch mit dem Druck. Für die Temperaturabhängigkeit der Schallgeschwindigkeit in Luft im Bereich normaler Umwelttemperaturen wird oft die lineare Näherungsformel

${\displaystyle c_{\mathrm {Luft} }\approx (331{,}5+0{,}6\,\vartheta /{}^{\circ }\!\mathrm {C} ){\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}}$

benutzt. Diese Näherung gilt im Temperaturbereich −20 °C < ${\displaystyle \vartheta }$ < +40 °C mit einer Abweichung von weniger als 0,2 %. Die absolute Temperatur wurde hier nach ${\displaystyle \vartheta /{}^{\circ }\!\mathrm {C} =T/\mathrm {K} -273{,}15}$ in °C umgerechnet.

Neben der Temperaturabhängigkeit der Schallgeschwindigkeit in Luft ist der Einfluss der Luftfeuchtigkeit zu berücksichtigen. Diese lässt die Schallgeschwindigkeit geringfügig zunehmen, denn die mittlere molare Masse ${\displaystyle M}$ feuchter Luft nimmt durch die Beimischung der leichteren Wassermoleküle stärker ab als der mittlere Adiabatenkoeffizient ${\displaystyle \kappa }$. Beispielsweise ist bei 20 °C die Schallgeschwindigkeit bei 100 % Luftfeuchtigkeit um 0,375 % höher als bei 0 % Luftfeuchtigkeit. Die gleiche Erhöhung der Schallgeschwindigkeit gegenüber trockener Luft würde sich durch eine Temperaturerhöhung auf gut 22 °C ergeben.

In der normalen Atmosphäre nimmt die Schallgeschwindigkeit daher mit der Höhe ab. Sie erreicht ein Minimum von etwa 295 m/s (1062 km/h) in der Tropopause (ca. 11 km Höhe). Andererseits nimmt die Schallgeschwindigkeit bei einer Inversionswetterlage mit der Höhe zu, da dann eine wärmere Luftschicht über einer kälteren liegt. Oft geschieht dies am Abend nach einem warmen Sonnentag, weil sich der Boden schneller abkühlt als die höheren Luftschichten. Dann schreiten die Wellen in der Höhe schneller voran als unten, sodass eine Wellenfront, die von einer bodennahen Schallquelle schräg aufwärts strebt, wieder nach unten gelenkt wird (siehe Schallausbreitung). Man sagt, die Schallstrahlen werden zum Boden hin gekrümmt. An Sommerabenden kann man das oft an der größeren Reichweite der Schallausbreitung bemerken.

Ähnlich lautet die Begründung dafür, dass man mit dem Wind besser hört als gegen den Wind. Obwohl die Bewegung des Mediums Luft keinen Einfluss auf die Schallausbreitung als solches haben sollte, da die Windgeschwindigkeit immer klein gegen die Schallgeschwindigkeit ist, verbessert sich die Reichweite des Schalls. Der Wind hat fast immer ein Geschwindigkeitsprofil mit nach oben zunehmender Geschwindigkeit, was, wie oben beschrieben, zur Ablenkung der Schallausbreitung führt, und zwar einer Ablenkung nach oben bei Gegenwind und nach unten bei Mitwind.

Beispiele für Schallgeschwindigkeiten in verschiedenen Medien

In den folgenden Tabellen sind einige Beispiele für Schallgeschwindigkeiten in verschiedenen Medien aufgelistet. Angegeben ist für alle Materialien die Schallgeschwindigkeit für die Druckwelle (Longitudinal-Welle), in Festkörpern breiten sich auch Scherwellen (Transversal-Wellen) aus.

Temperaturabhängigkeit

Schallgeschwindigkeit in Abhängigkeit von der Lufttemperatur

Temperatur ${\displaystyle \vartheta }$ (°C)	Schallgeschwindigkeit ${\displaystyle c_{\text{S}}}$
	(m/s)	(km/h)	(kn)
−50	299,63	1078,7	582,4
−40	306,27	1102,6	595,4
−30	312,77	1126,0	608,2
−20	319,09	1148,7	620,2
−10	325,35	1171,3	632,4
0±0	331,50	1193,4	644,4
+10	337,54	1215,1	656,1
+20	343,46	1236,5	667,7
+30	349,29	1257,2	678,8
+40	354,94	1277,8	690,0
+50	360,57	1298,0	700,9

Die Berechnung der Geschwindigkeiten durch die Formel für ein Ideales Gas ${\displaystyle c_{\text{Luft}}\,\approx \,20,058{\frac {m}{s\cdot {\sqrt {K}}}}{\sqrt {T}}}$, mit der absoluten Temperatur ${\displaystyle T=\vartheta +273{,}15K}$ weicht weniger als 0,2 ‰ von den Tabellenwerten ab.

Frequenzabhängigkeit

Ist die Schallgeschwindigkeit von der Frequenz abhängig, handelt es sich um ein dispersives Medium. Jede Frequenzkomponente breitet sich jeweils mit ihrer eigenen Phasengeschwindigkeit (und Dämpfung) aus, während die Energie der Störung sich mit der Gruppengeschwindigkeit fortpflanzt. Gummi ist ein Beispiel für ein dispersives Medium: Bei höherer Frequenz ist es steifer, hat also eine höhere Schallgeschwindigkeit.

In einem nicht-dispersiven Medium ist die Schallgeschwindigkeit unabhängig von der Frequenz. Daher sind die Geschwindigkeiten des Energietransports und der Schallausbreitung dieselben. Wasser und trockene Luft sind im für Menschen hörbaren Frequenzbereich nicht-dispersive Medien. Bei hoher Luftfeuchte und im nahen Ultraschallbereich (100 kHz) ist Luft dispersiv.

Schallgeschwindigkeit und Thermodynamik

Die Schallgeschwindigkeit spielt eine besondere Rolle in der Thermodynamik, insbesondere bei Druckentlastungseinrichtungen, wo sie die maximal erreichbare Geschwindigkeit definiert, mit der die Druckänderung sich ausbreitet. Dadurch, dass sie mit extremer Genauigkeit gemessen werden kann, spielt sie eine große Rolle bei der Aufstellung hochgenauer Zustandsgleichungen und bei der indirekten Messung der Wärmekapazität eines idealen Gases. Die allgemeine Gleichung zur Berechnung der Schallgeschwindigkeit ist

${\displaystyle c^{2}=-v^{2}\left({\frac {\partial p}{\partial v}}\right)_{\!\!s}=\left({\frac {\partial p}{\partial \rho }}\right)_{\!\!s}}$

mit ${\displaystyle v=1/\rho }$ für das spezifische Volumen oder den Kehrwert der Dichte ${\displaystyle \rho }$. Der Index s beim Differentialquotienten bedeutet „bei konstanter spezifischer Entropie“ (isentrop). Für das ideale Gas ergibt sich daraus wie oben angeführt

${\displaystyle c_{id}={\sqrt {\kappa RT}}}$

mit

${\displaystyle \kappa ={\frac {c_{p}^{id}}{c_{v}^{id}}}}$

als dem Verhältnis der isobaren und der isochoren spez. Wärmekapazitäten und R als der speziellen Gaskonstante (massebezogen). Die gebräuchlichen thermischen Zustandsgleichungen haben die Form ${\displaystyle p=f(T,v)}$. Es folgt nach einigen Umformungen

${\displaystyle c^{2}=v^{2}\left[{\frac {T}{c_{v}}}\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{v}^{2}-\left({\frac {\partial p}{\partial v}}\right)_{T}\right]}$

mit der realen spez. isochoren Wärmekapazität

${\displaystyle c_{v}=c_{v}^{id}+T\int _{\infty }^{v}\left({\frac {\partial ^{2}p}{\partial T^{2}}}\right)_{v}dv}$

Mit diesen Beziehungen kann man bei Kenntnis einer thermischen Zustandsgleichung den Druckeinfluss auf die Schallgeschwindigkeit berücksichtigen. Bild 1 zeigt die Abhängigkeit der Schallgeschwindigkeit vom Druck bei Ethylen für eine Temperatur von 100 °C.

Die Schallgeschwindigkeit hat besonders durch ihre leichte experimentelle Zugänglichkeit Bedeutung erlangt. Die direkt kaum messbare spezifische Wärmekapazität idealer Gase ist mit der Schallgeschwindigkeit des idealen Gases verknüpft:

${\displaystyle c_{p}^{id}={\frac {Rc^{2}}{c^{2}-RT}}}$

Ebenso kann die Gaskonstante mit Schallgeschwindigkeitsmessungen sehr genau ermittelt werden. Für einatomige Edelgase (He, Ne, Ar) ist ${\displaystyle c_{p}^{id}=2{,}5R}$, unabhängig von der Temperatur. Dann folgt

${\displaystyle R={\frac {3}{5}}{\frac {c^{2}}{T}}}$

Da ${\displaystyle c}$ und ${\displaystyle T}$ sehr exakt gemessen werden können, ist dies eine extrem genaue Methode, die Gaskonstante zu bestimmen. Die Schallgeschwindigkeit ist maßgeblich bei der Druckentlastung von Gasen über ein Ventil oder eine Blende. Abhängig vom Zustand in dem zu entlastenden Behälter gibt es eine maximale Massenstromdichte (choked flow) im engsten Querschnitt des Ventils, die nicht überschritten werden kann, auch wenn der Druck jenseits des Ventils noch weiter abgesenkt wird (Bild 2). Im engsten Querschnitt stellt sich dann die Schallgeschwindigkeit des Gases ein. Bei idealen Gasen ist dies näherungsweise dann der Fall, wenn der Austrittsdruck kleiner ist als die Hälfte des Behälterdrucks. Die max. Massenstromdichte gilt auch dann, wenn ein Gas durch ein Rohr mit konstantem Querschnitt strömt. Die Schallgeschwindigkeit kann dann nicht überschritten werden, was ebenfalls von erheblicher sicherheitstechnischer Bedeutung für die Auslegung von Druckentlastungseinrichtungen ist. Für eine Beschleunigung eines Gases über die Schallgeschwindigkeit hinaus benötigt man speziell geformte Strömungskanäle, die sich nach einem engsten Querschnitt definiert erweitern, sog. Lavaldüsen (Bild 3). Ein Beispiel dafür sind die Austrittsdüsen von Raketentriebwerken (Bild 4).

Sonstiges

In der Luftfahrt wird die Geschwindigkeit eines Flugzeugs auch relativ zur Schallgeschwindigkeit gemessen. Dabei wird die Einheit Mach (benannt nach Ernst Mach) verwendet, wobei Mach 1 gleich der jeweiligen Schallgeschwindigkeit ist. Abweichend von anderen Maßeinheiten wird bei der Messung der Geschwindigkeit in Mach die Einheit vor die Zahl gesetzt.

Die Entfernung eines Blitzes und damit eines Gewitters lässt sich durch Zählen der Sekunden zwischen dem Aufleuchten des Blitzes und dem Donnern abschätzen. Der Schall legt in der Luft einen Kilometer in etwa drei Sekunden zurück, der Lichtblitz dagegen in vernachlässigbar kurzen drei Mikrosekunden. Teilt man die Anzahl der gezählten Sekunden durch drei, ergibt sich daher in etwa die Entfernung des Blitzes in Kilometern.

Siehe auch

• Schallkennimpedanz
• Überschallgeschwindigkeit
• Überschallflug

Weblinks

• Versuch A6: Schallgeschwindigkeit in Gasen und Festkörpern. (PDF; 169 kB).
• Die Schallgeschwindigkeit, die Temperatur … und nicht der Luftdruck. (PDF; 32 kB).
• Berechnen der Schallgeschwindigkeit in Luft und die wirksame Temperatur.

Einzelnachweise

1. ↑ Douglas C. Giancoli: Physik. Pearson Deutschland GmbH, 2010, S. 561 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche). 
2. ↑ Gibt es als Effektivgröße ${\displaystyle v_{\mathrm {eff} }}$ oder ${\displaystyle {\tilde {v}}}$, Spitzengröße ${\displaystyle {\hat {v}}}$ oder ${\displaystyle v_{\mathrm {s} }}$ wie als Momentangröße ${\displaystyle v(t)}$ oder ${\displaystyle {\underline {v}}}$
3. ↑ Die Oberflächenwellengeschwindigkeit ist von der Poissonzahl ${\displaystyle \nu }$ abhängig. Für ${\displaystyle \nu =0}$ gilt ein Faktor von 0,8741 (z. B. Kork) statt der angegebenen 0,92, für ${\displaystyle \nu =0{,}25}$ gilt 0,9194 (z. B. Eisen) und für ${\displaystyle \nu =0{,}5}$ gilt 0,9554 (z. B. Gummi). Siehe dazu Arnold Schoch: Schallreflexion, Schallbrechung und Schallbeugung. In: Ergebnisse der exakten Naturwissenschaften. Band 23, 1950, S. 127–234. 
4. 1 2 Speed of sound from fundamental physical constants, K. Trachenko, B. Monserrat, C. J. Pickard, V. V. Brazhkin, Science Advances vol. 6, (2020) doi:10.1126/sciadv.abc8662
5. 1 2 Jörn Bleck-Neuhaus: Elementare Teilchen. Moderne Physik von den Atomen bis zum Standard-Modell. Springer-Verlag (Heidelberg), 2010, ISBN 978-3-540-85299-5, doi:10.1007/978-3-540-85300-8. 
6. ↑ Owen Cramer: The variation of the specific heat ratio and the speed of sound in air with temperature, pressure, humidity, and CO₂ concentration. In: The Journal of the Acoustical Society of America. Bd. 93(5), S. 2510, 1993.
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9. 1 2 3 4 David R. Lide (Hrsg.): CRC Handbook of Chemistry and Physics. 57. Auflage. CRC Press / Taylor and Francis, Boca Raton FL, S. E-47.
10. ↑ Schallgeschwindigkeit in Flüssigkeiten, auf karldeutsch.de
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13. ↑ Offensichtlich falsche Werte durch Berechnung aus G, E, ρ und ν ersetzt
14. ↑ Vadim Adamyan, Vladimir Zavalniuk: Phonons in graphene with point defects. In: J. Phys. Condens. Matter 23 (1), 2011, S. 15402.
15. ↑ I. S. Glass, Glass I. S: Handbook of Infrared Astronomy. Cambridge University Press, Cambridge 1999, ISBN 978-0-521-63385-7, S. 98 (books.google.de). 
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17. ↑ J.E.Dyson, D.A.Williams: The Physics of the Interstellar Medium, Tylor & Francis, New York (1997), 2. Aufl., S. 123.
18. ↑ John Hussey: Bang to Eternity and Betwixt: Cosmos. John Hussey, 2014 (books.google.de). 
19. ↑ Walter Greiner, Horst Stöcker, André Gallmann: Hot and Dense Nuclear Matter, Proceedings of a NATO Advanced Study, ISBN 0-306-44885-8, 1994 Plenum Press, New York S. 182.
20. ↑ Quelle unbekannt, s. auch David R. Lide (Hrsg.): CRC Handbook of Chemistry and Physics. 57. Auflage. CRC Press / Taylor and Francis, Boca Raton FL, S. E-54.
21. ↑ Dispersion relation for air via Kramers-Kronig analysis. In: The Journal of the Acoustical Society of America. Band 124, Nr. 2, 18. Juli 2008, ISSN 0001-4966, S. EL57–EL61, doi:10.1121/1.2947631. 
22. ↑ Allan D. Pierce: Acoustics: An Introduction to Its Physical Principles and Applications: Kapitel 1.10
23. 1 2 3 4 Jürgen Gmehling, Bärbel Kolbe, Michael Kleiber, Jürgen Rarey: Chemical Thermodynamics for Process Simulation. Wiley-VCH, Weinheim 2012, ISBN 978-3-527-31277-1.