Gleiten

Wenn die Gleichgewichtsbedingung nicht erfüllt ist, erfährt der Körper eine gleichmäßige Beschleunigung.

${\displaystyle g^{*}=g\cdot \sin \alpha -\mu g\cdot \cos \alpha }$

Da dies langfristig zu einer immer größeren Geschwindigkeit führen würde, können diese Bedingungen immer nur für einen begrenzten Zeitraum aufrechterhalten bleiben. Beim Skifahren z. B. durch eine Route nicht direkt in der Falllinie, oder bei Radrennfahrern durch den Luftwiderstand.

Freier Fall

Versuche mit einer Fallrinne ermöglichten es Galilei, seine Hypothese zum Bewegungsablauf beim freien Fall zu überprüfen. Mit einer schiefen Ebene kann der Vorgang so verlangsamt werden, dass der zeitliche Verlauf auch mit den ungenauen Mitteln seiner Zeit beobachtbar wurde. Im Folgenden wird die Bewegungsgleichung für einen Körper hergeleitet, der eine schiefe Ebene herunterrollt. Die Rollreibung ist im Vergleich zur Gleitreibung wesentlich geringer und wird vernachlässigt.

Für die Geschwindigkeit im Schwerpunkt eines Körpers wie Fass, Zylinder oder Kugel, der, ohne zu gleiten, auf der schiefen Ebene abrollt, gilt: ${\displaystyle v=\omega \cdot r}$. Für die Beschleunigung entsprechend: ${\displaystyle a={\dot {\omega }}\cdot r}$.

Im Schwerpunkt soll parallel zur schiefen Ebene außer der Hangabtriebskraft keine weitere Kraft angreifen. Die Winkelbeschleunigung ergibt sich aus den Momenten um den Berührpunkt:

${\displaystyle (\Theta +mr^{2})\cdot {\dot {\omega }}=F_{H}\cdot r}$.

Mit dem Trägheitsradius ${\displaystyle i}$ gemäß ${\displaystyle \Theta =m\cdot i^{2}}$ gilt

${\displaystyle {\dot {\omega }}={\frac {g\sin \alpha \cdot r}{i^{2}+r^{2}}}}$.

Damit errechnet sich die Beschleunigung zu:

${\displaystyle a=g\cdot \sin \alpha \cdot {\frac {r^{2}}{i^{2}+r^{2}}}}$.

Mit der Abkürzung ${\displaystyle c_{F}={\frac {r^{2}}{i^{2}+r^{2}}}}$ gilt:

${\displaystyle a=g\cdot c_{F}\cdot \sin \alpha }$.

Die Beschleunigung ist proportional zur Erdbeschleunigung, wird aber durch das Verhältnis der Höhe zur Länge der schiefen Ebene reduziert (${\displaystyle \sin \alpha ={\tfrac {h}{l}}}$). Da die Beschleunigung konstant ist, bewegt sich der Körper gleichmäßig beschleunigt mit dem Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz:

${\displaystyle v=a\cdot t}$

und dem Weg-Zeit-Gesetz:

${\displaystyle s={\frac {1}{2}}a\cdot t^{2}}$.

Die Zeit die benötigt wird um die Strecke ${\displaystyle s}$ zurückzulegen, errechnet sich aus dem Weg-Zeit-Gesetz zu:

${\displaystyle t={\sqrt {\frac {2s}{g\cdot c_{F}\cdot \sin \alpha }}}}$.

Durch seine Messungen stellte Galilei fest, dass das Verhältnis unterschiedlicher Rollwege im Verhältnis zu den Quadraten der benötigten Zeit steht.

${\displaystyle {\frac {s_{1}}{s_{2}}}={\frac {t_{1}^{2}}{t_{2}^{2}}}}$

Wie er in seinem Buch „Discorsi e di-mostrazione mathematiche“ beschrieb, bestätigte seine Hypothese, dass die Geschwindigkeit linear mit der Zeit zunimmt. Die Wegstrecke kann dann auch aus der mittleren Geschwindigkeit ${\displaystyle {\overline {v}}={\tfrac {1}{2}}a\cdot t}$ berechnet werden:

${\displaystyle s={\overline {v}}\cdot t\Rightarrow s={\frac {1}{2}}a\cdot t^{2}}$.

Das Trägheitsmoment ist von der Massenverteilung abhängig und kann durch den Trägheitsradius ${\displaystyle i}$ ausgedrückt werden (${\displaystyle \mathbf {\Theta } =m\cdot i^{2}}$). Für einen homogenen Vollzylinder ist das Trägheitsmoment ${\displaystyle \mathbf {\Theta } =m\cdot r^{2}/2}$. Für einen Hohlzylinder mit vernachlässigbar dünnem Rand ist das Trägheitsmoment ${\displaystyle \mathbf {\Theta } =m\cdot r^{2}}$. Unabhängig davon, aus welchen Materialien der eine und der andere gefertigt sind und unabhängig von den Radien der Körper, rollt demnach ein Hohlzylinder langsamer die schiefe Ebene herunter als ein Vollzylinder.

Die Geschwindigkeit am Ende der schiefen Ebene ergibt sich zu:

${\displaystyle v={\sqrt {2g\cdot c_{F}\cdot h}}}$.

Sie unterscheidet sich von der des freien Falls lediglich um den formabhängigen Faktor ${\displaystyle c_{F}}$ (Punktmasse 1, Vollzylinder 2/3, Hohlzylinder 1/2, Kugel 5/7). Die Dauer des Vorgangs lässt sich aber durch die Neigung deutlich verlängern. Galilei verwendete für seine Versuche eine Rinne mit 12 Ellen Länge deren Neigungswinkel er veränderte. Bei einer Anhebung um eine Elle entsprechend 4,8° Neigung konnte der Vorgang so auf etwa 5 s verlängert werden. Eine Rekonstruktion seines Arbeitszimmers findet sich im Deutschen Museum.

Gleiten

Auf den Körper wirken parallel zur schiefen Ebene der Hangabtrieb, sowie die Reibungskraft und der Luftwiderstand. Die Newtonsche Bewegungsgleichung lautet:

${\displaystyle m\cdot a=F_{H}-F_{R}-F_{\mathrm {W} }}$

oder:

${\displaystyle m{\dot {v}}+kv^{2}=mg\cdot (\sin \alpha -\mu \cos \alpha )}$.

Es wird von dem Fall: ${\displaystyle \tan \alpha >\mu }$ ausgegangen. Mit

${\displaystyle g^{*}=g\cdot (\sin \alpha -\mu \cos \alpha )}$

Ansatz:

${\displaystyle v(t)=v_{\infty }\tanh bt\Rightarrow {\dot {v}}={\frac {v_{\infty }b}{\cosh ^{2}\left(bt\right)}}}$

Durch Einsetzen in die Differenzialgleichung erhält man unter Berücksichtigung von:

${\displaystyle \cosh ^{2}\left(bt\right)=1+\sinh ^{2}\left(bt\right)}$

und durch Koeffizientenvergleich:

${\displaystyle v(t\rightarrow \infty )=v_{\infty }={\sqrt {\frac {m\cdot g^{*}}{k}}}}$ und

${\displaystyle b={\frac {g^{*}}{v_{\infty }}}\,}$.

Als Lösung ergibt sich:

${\displaystyle v=v_{\infty }\tanh \left[{\frac {g^{*}}{v_{\infty }}}\cdot t\right]\,}$.

${\displaystyle v_{\infty }}$ ist die Endgeschwindigkeit.

${\displaystyle \tanh x}$ ist der Tangens hyperbolicus.

Bei einer Neigung einer Skischanze von 37° und einem Reibwert von 0,03 ergibt sich mit einem cw·A-Wert von 0,224 (A geschätzt 0,32 m², cw geschätzt 0,7, g*=5,67 m/s², k=0,134, m=70 kg) 196 km/h. Die Sprungtürme von Skischanzen sind also nicht darauf ausgelegt diese Geschwindigkeiten zu erreichen.

Rollen

Im Folgenden wird ein Fahrzeug mit der Gesamtmasse ${\displaystyle m}$ behandelt, das eine Neigung herabrollt. Wenn im Berührpunkt zwischen Reifen und Fahrbahn keine Relativgeschwindigkeit auftritt, gibt es keine Reibungskraft. Eine Kraft in gleicher Richtung wird aber benötigt um die Winkelgeschwindigkeit der Räder zu erhöhen. Formal ist daher die Newtonsche Bewegungsgleichung identisch mit dem Fall Gleiten:

${\displaystyle m\cdot a=F_{\mathrm {H} }-F_{\mathrm {R} }-F_{\mathrm {W} }}$

Wenn man vereinfachend annimmt, dass alle Räder gleich schwer sind und das gleiche Trägheitsmoment besitzen, so ergibt sich für die erforderliche Kraft für die Summe aller Räder:

${\displaystyle F_{\mathrm {R} }=m_{\text{Rad}}\cdot a{\frac {i^{2}}{r^{2}}}}$

Eingesetzt in die Newtonsche Bewegungsgleichung:

${\displaystyle \left(m+m_{\text{Rad}}{\frac {i^{2}}{r^{2}}}\right)\cdot {\dot {v}}+kv^{2}=mg\sin \alpha }$

Diese Gleichung entspricht formal der Gleichung die für den Fall Gleiten hergeleitet wurde. Sie hat also auch den gleichen Lösungsansatz. Die Endgeschwindigkeit ergibt sich zu:

${\displaystyle v(t\rightarrow \infty )=v_{\infty }={\sqrt {\frac {m\cdot g\sin \alpha }{k}}}}$.

Für einen Fahrer auf einem Rennrad mit der Gesamtmasse von 80 kg das ein Gefälle von 10 % herabrollt ergibt sich eine Endgeschwindigkeit von 82 km/h. Für c_W·A wird mit Rennfahrerhaltung ein Wert von 0,25 m² angenommen. Bei einem c_W·A Wert von 0,36 m² bei normaler Körperhaltung würde man eine Geschwindigkeit von 68 km/h erzielen.