Startwinkel für die maximale Reichweite

Da die Sinusfunktion bei ${\displaystyle 90^{\circ }}$ ihren größten Wert ${\displaystyle \sin 90^{\circ }=1}$ hat, erreicht man bei Anfangshöhe ${\displaystyle h_{0}=0}$ die größte Reichweite für ${\displaystyle \beta _{\mathrm {max} }=45^{\circ }}$.

Maximale Reichweite mit einer Anfangshöhe h₀ ≠ 0

${\displaystyle \beta _{\mathrm {max} }=\arcsin {\frac {v_{0}}{\sqrt {2{v_{0}}^{2}+2gh_{0}}}}=\arccos {\sqrt {\frac {{v_{0}}^{2}+2gh_{0}}{2{v_{0}}^{2}+2gh_{0}}}}=\operatorname {arccot} {\sqrt {1+{\frac {2gh_{0}}{{v_{0}}^{2}}}}}}$

Die Formel mit dem Arkuskosinus ergibt sich aus der Darstellung für den Arkussinus, und für die letzte Darstellung werden die Argumente der beiden vorhergehenden Formeln durch einander geteilt. Die Anfangshöhe darf höchstens so tief unter dem Ziel liegen, dass dieses bei einem senkrechten Wurf mit der Wurfweite ${\displaystyle 0}$ gerade noch erreicht werden kann, also:

${\displaystyle h_{0}\geq -{\frac {{v_{0}}^{2}}{2g}}}$

Die von der Abwurfhöhe ${\displaystyle h_{0}}$ abhängige maximale horizontale Wurfweite beträgt ${\displaystyle R_{\mathrm {max} }(v_{0},h_{0})={\frac {v_{0}}{g}}{\sqrt {{v_{0}}^{2}+2gh_{0}}}}$ bei einer Flugdauer von ${\displaystyle {\frac {1}{g}}{\sqrt {2{v_{0}}^{2}+2gh_{0}}}}$.

Aus der Formel für die maximale Wurfweite ergeben sich durch Umstellen der Gleichung die minimale Abwurfgeschwindigkeit für vorgegebene Abwurfhöhe und Wurfweite zu ${\displaystyle v_{0}(R,h_{0})={\sqrt {g{\sqrt {R^{2}+{h_{0}}^{2}}}-gh_{0}}}}$ sowie ein optimaler Abwurfwinkel von ${\displaystyle \beta (R,h_{0})=\arcsin {\sqrt {{\frac {1}{2}}-{\frac {h_{0}}{2{\sqrt {R^{2}+{h_{0}}^{2}}}}}}}}$ und eine Flugdauer von ${\displaystyle {\sqrt {{\frac {2}{g}}{\sqrt {R^{2}+{h_{0}}^{2}}}}}}$.

Für ${\displaystyle h_{0}=0}$ ergeben sich jeweils die bereits bekannten Formeln.

Obere und untere Winkelgruppe

Soll durch einen Wurf ein Ziel auf gleicher Höhe in einer gegebenen Entfernung ${\displaystyle R_{\mathrm {T} }}$ erreicht werden, so gibt es für diese Aufgabe in Abhängigkeit von der Anfangsgeschwindigkeit entweder keine, eine oder zwei Lösungen. Der erste Fall tritt ein, wenn die maximale Reichweite geringer als die Entfernung zum Ziel ist; der zweite Fall, wenn das Ziel gerade noch durch einen Wurf von 45° zu erreichen ist. Für noch höhere Anfangsgeschwindigkeiten existieren dann stets zwei Winkel, bei denen die Wurfparabel beide Male zum Ziel führt; dies sind die beiden positiven Winkel, welche die Gleichung

${\displaystyle \sin(\beta )\cos(\beta )={\frac {g}{2v_{0}^{2}}}R_{\mathrm {T} }}$

erfüllen. Dabei ist stets genau eine Lösung größer als 45°, die andere kleiner als 45°.

Entsprechend werden in der Ballistik Lösungen mit einem Winkel über 45° als obere Winkelgruppe bezeichnet, die anderen als untere Winkelgruppe. Im Artilleriewesen spricht man von Steilfeuer mit einem Mörser beziehungsweise von flachem Feuer mit einer Kanone oder wahlweise beides mit einer Haubitze.

Beispiel

Für einen Wurf (oder Schuss) zu einem 100 m entfernten Ziel auf gleicher Höhe muss die Anfangsgeschwindigkeit unter den üblichen idealen Annahmen (keine Reibung, Schwerebeschleunigung von 9,81 m/s²) mindestens 31 m/s betragen. Mit diesem Wert für die Anfangsgeschwindigkeit ist es durch einen Wurf von 45° erreichbar und nur dadurch. Für jeden höheren Geschwindigkeitswert gibt es dann stets zwei Lösungen. Beispielsweise kann bei einer Anfangsgeschwindigkeit von 40 m/s das Ziel sowohl mit einem Winkel von 18,9° wie auch mit dem von 71,1° erreicht werden; die Flugdauer ist für Lösungen aus der unteren Winkelgruppe jeweils kürzer, im Beispiel beträgt sie etwa 2,6 s gegenüber 7,7 s für die zweite Lösung.

Reichweite bei von null verschiedener Anfangshöhe

Für ${\displaystyle \beta \neq 0}$ gilt die allgemeine Formel

${\displaystyle R={\frac {{v_{0}}^{2}}{2g}}\sin(2\beta )\left[1+\left(1+{\frac {2gh_{0}}{{v_{0}}^{2}\sin ^{2}\beta }}\right)^{1/2}\right]={\frac {v_{0}\cos \beta }{g}}\left(v_{0}\sin \beta +{\sqrt {(v_{0}\sin \beta )^{2}+2gh_{0}}}\right)}$

für die Wurfweite ${\displaystyle R}$. Die maximale Reichweite und der zugehörige Startwinkel kann aus der einhüllenden Wurfparabel auch ohne Verwendung von Ableitungen bestimmt werden. Für ${\displaystyle h_{0}>0}$ ist ${\displaystyle \beta _{\mathrm {max} }<45^{\circ }}$, für ${\displaystyle h_{0}<0}$ folgt umgekehrt ${\displaystyle \beta _{\mathrm {max} }>45^{\circ }}$.

Koordinaten

Der Scheitelpunkt wird in dem Augenblick erreicht, in dem die vertikale Geschwindigkeit null beträgt, d. h., wenn eine bis dahin nach oben gerichtete Bewegung endet und eine nach unten gerichtete Bewegung beginnt. Im Scheitelpunkt wurde die gesamte kinetische Energie (in vertikaler Richtung) umgesetzt in potentielle Energie.

Den Scheitelpunkt kann man berechnen, da der Wurf eine Parabelform hat und der Scheitelpunkt genau in der Mitte zwischen den Nullstellen ${\displaystyle 0}$ und ${\displaystyle R}$ liegt. Der Scheitelpunkt hat also die ${\displaystyle x}$-Koordinate ${\displaystyle {\frac {1}{2}}R}$. Die ${\displaystyle y}$-Koordinate erhält man durch die Bewegungsgleichung.

Aufgelöst, hat der Scheitelpunkt folgende Koordinaten:

${\displaystyle x_{\mathrm {S} }={\frac {\sin(2\beta )}{2}}{\frac {v_{0}^{2}}{g}}=\sin \beta \cos \beta {\frac {v_{0}^{2}}{g}}}$

${\displaystyle y_{\mathrm {S} }={\frac {v_{0}^{2}\sin ^{2}\beta }{2g}}}$

Ortskurve aller Scheitelpunkte

Bei Abwurfhöhe ${\displaystyle h_{0}=0}$ liegen die Scheitelpunkte aller Wurfparabeln mit konstantem ${\displaystyle v_{0}}$ und variablem ${\displaystyle \beta \in [0^{\circ };180^{\circ }]}$ auf einer querformatigen Ellipse mit Mittelpunkt ${\displaystyle \left(0;\ {\frac {v_{0}^{2}}{4g}}\right)}$ und Halbachsen ${\displaystyle {\frac {v_{0}^{2}}{2g}}}$ und ${\displaystyle {\frac {v_{0}^{2}}{4g}}}$.