Sichtweite zwischen einem erhöhten Punkt und einer Ebene

Die Krümmung der Erde begrenzt die maximal mögliche Sichtweite. Die Sichtweite von einem erhöhten Beobachtungspunkt aus (z. B. Gebäude, Turm, Berggipfel oder aber auch von Raumschiffen wie die ISS) hinab auf eine Ebene oder auf die Meeresoberfläche lässt sich mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen, da Sichtverbindung und Erdradius die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks bilden und der Abstand des erhöhten Punktes vom Erdmittelpunkt dessen Hypotenuse:

${\displaystyle s^{2}+R^{2}=(R+h)^{2}}$ (1)

${\displaystyle s={\sqrt {(R+h)^{2}-R^{2}}}}$ (2)

Nach der ersten binomischen Formel ergibt sich daraus:

${\displaystyle s={\sqrt {(R^{2}+2Rh+h^{2})-R^{2}}}={\sqrt {2Rh+h^{2}}}}$ (3)

Für terrestrische Beobachter ist ${\displaystyle h\ll 2R}$, damit ${\displaystyle h^{2}}$ gegenüber ${\displaystyle 2Rh}$ vernachlässigbar. Daher lässt sich die Formel vereinfachen zu:

${\displaystyle s\approx {\sqrt {2Rh}}={\sqrt {2R}}\cdot {\sqrt {h}}}$ (4)

Die folgenden, dem praktischen Gebrauch dienenden Zugeschnittenen Größengleichungen (5a), (5b) und (5c) ergeben die einheitenlose Sichtweite ${\displaystyle \mathbf {s} }$ in Kilometern, wobei die einheitenlose Höhe ${\displaystyle \mathbf {h} }$ in Metern einzusetzen ist. Für einen Erdradius von ${\displaystyle R=}$ 6370 km erhält man:

${\displaystyle {\tfrac {\mathbf {s} }{\textrm {km}}}\approx 3{,}57\ {\sqrt {\tfrac {\mathbf {h} }{\textrm {m}}}}}$ (5a)

Diese Berechnung berücksichtigt allerdings nicht die Refraktion der Atmosphäre. Diese krümmt die Lichtstrahlen zur Erde hin, verringert damit die effektive Krümmung der Erdoberfläche und lässt dadurch die Erde größer erscheinen. Der scheinbare Erdradius im optischen Bereich ist mit ${\displaystyle R_{\mathrm {opt} }\approx }$ 7700 km etwa 20 % größer, die optische Sichtweite ist daher etwa 10 % größer als die geometrische Sichtweite:

${\displaystyle {\tfrac {\mathbf {s} _{\mathrm {opt} }}{\textrm {km}}}\approx 3{,}9{\sqrt {\tfrac {\mathbf {h} }{\textrm {m}}}}}$ (5b)

Der Effekt bewirkt allerdings nicht nur eine vergrößerte Sichtweite, sondern es kommt neben der Perspektive zu einer optischen Stauchung von Objekten am Horizont. Ein kugelförmiger Ballon in Horizontnähe erscheint oval.

Die genaue Größe dieses Effekts hängt vom Dichtegradienten, d. h. von Luftdruck, Temperatur und vom vertikalen Temperaturgradienten der Atmosphäre ab und berechnet sich genauer zu:

${\displaystyle R_{\textrm {opt}}={\frac {R}{1-k}}\ }$ mit ${\displaystyle \ k=5{,}03{\frac {\tfrac {p}{\textrm {Pa}}}{\left({\tfrac {T}{\textrm {K}}}\right)^{2}}}\left(0{,}0343+{\frac {\tfrac {dT}{\textrm {K}}}{\tfrac {dh}{\textrm {m}}}}\right)\ }$ für eine irdische Atmosphäre

mit ${\displaystyle T}$ als Temperatur in K, ${\displaystyle \,p}$ als Druck in Pa und dem Temperaturgradienten ${\displaystyle dT/dh}$ in K/m.

Für die typischen Werte in Meereshöhe von ${\displaystyle T=}$ 288,15 K (15 °C), ${\displaystyle \,p=}$ 101325 Pa und ${\displaystyle dT/dh=}$ −0,006 K/m ergeben sich:

${\displaystyle k=0{,}174\ }$ und ${\displaystyle \ R_{\text{opt}}=1{,}21R=7709\ {\text{km}}}$.

Diese Berechnung gilt allerdings nicht für bodennahe Schichten, da für diese der Temperaturgradient weitaus größer sein kann. Erst in einigen hundert Metern Höhe stellt sich ein Gradient von ${\displaystyle dT/dh=}$ −0,006 … −0,007 K/m ein. Weiterhin reduziert sich der Effekt in höheren Schichten der Atmosphäre, was bei Sicht auf Berge im Hochgebirge oder bei Aufenthalt im Hochgebirge zu berücksichtigen ist, da sich dann Teile oder der gesamte Strahlweg in dünneren Schichten der Atmosphäre befinden. So reduziert sich der Faktor 3,9 auf etwa 3,8 auf Höhe des Mont Blanc und auf 3,7 auf Flughöhe von Passagiermaschinen.

Im Bereich von Radiowellen ist der scheinbare Erdradius etwa genauso groß wie im optischen Bereich

Allerdings spielt im Radiowellenbereich weniger die direkte Sichtbarkeit eine Rolle, sondern vielmehr die Signaldämpfung. Deshalb muss die Diffraktion berücksichtigt werden. Unter Annahme, dass die erste Fresnelzone nicht komplett verdeckt sein darf, damit sich die Dämpfung in Grenzen hält, erhält man als Näherung (${\displaystyle \mathbf {s} }$ jeweils in km, ${\displaystyle \lambda }$ in m):

${\displaystyle {\tfrac {{\textbf {s}}_{\text{radio}}}{\textrm {km}}}\approx {\sqrt {\left({\tfrac {{\textbf {s}}_{\text{opt}}}{\textrm {km}}}\right)^{2}+1870\ \left({\tfrac {\lambda }{\textrm {m}}}\right)^{2\!/\;\!\!3}}}}$ (5c)

Die Gleichung gilt für die Ausbreitung von Bodenwellen (nicht für Raumwellen mit Reflexionen an der Ionosphäre, die zusätzliche Reichweite verschafft). Für einen Langwellensender mit ${\displaystyle \lambda =}$ 3868 m erhält man eine Reichweite von knapp 680 km.

Sichtweite zwischen zwei erhöhten Punkten über eine Ebene hinweg

Sind Augen und Objekt über die Referenzebene erhoben, was schon durch die Augeshöhe der in der Ebene stehenden Person gegeben ist, so addieren sich die Abstände beider von der Stelle, wo die sie verbindende Tangente die Erdoberfläche berührt:

${\displaystyle s=s_{1}+s_{2}\approx {\sqrt {2R}}\cdot {\Big (}\!{\sqrt {h_{1}}}+{\sqrt {h_{2}}}{\Big )}}$ (6a)

beziehungsweise wieder einheitenlos:

${\displaystyle {\tfrac {\mathbf {s} _{\mathrm {opt} }}{\textrm {km}}}\approx 3{,}9\ {\Big (}\!{\sqrt {\tfrac {\mathbf {h} _{1}}{\textrm {m}}}}+{\sqrt {\tfrac {\mathbf {h} _{2}}{\textrm {m}}}}{\Big )}}$. (6b)

Hinweise

• Um die Sichtweite zu erreichen, ist es notwendig, dass sich das gesamte Gelände zwischen den Punkten unterhalb der Sichtlinie befindet; bezogen auf die ellipsoidische Höhe ist dies eine Parabel mit dem Scheitel im tiefsten Punkt, d. h. dem Schnittpunkt der beiden Katheten R und s, s₁ bzw. s₂.
• Meteorologische Sichtbarkeit und Lichtverhältnisse/Sonnenstand werden hierbei nicht berücksichtigt.

Beispiele

Das rechte Bild entstand auf einer Blickhöhe von ${\displaystyle h_{1}=2}$ m. Bei diesem Schiff am Horizont wird ein oberhalb der Wasserlinie befindlicher Teil des Schiffsrumpfs aufgrund der Erdkrümmung verdeckt. Daraus folgt bereits, dass das Schiff mehr als 5,6 km weit weg sein muss. Sind 5/10/15 Meter des Schiffsrumpfs nicht sichtbar, dann ist das Schiff weitere 9/12/15 km weit entfernt. (Werte entstammen der folgenden Tabelle.)

Die Tabelle zeigt einige Werte für die maximale optische Sichtweite unter Berücksichtigung der atmosphärischen Refraktion nach Formel (6b). Daran wird die Bedeutung der Höhe des Ausgucks von Schiffen deutlich: Von einem 15 m hohen Mast kann der Beobachter ein Schiff in 15 km Entfernung in kompletter Größe sehen. Umgekehrt sieht die Wache dort von 0 m Höhe aus am Horizont nur den Ausguck des anderen Schiffes.

Sicht aus großen Höhen

Bei Sicht aus großen Höhen (Aufklärungs-Flugzeuge, Wetterballons, Satelliten, Blick von Mond) treten weitere Aspekte auf:

• Atmosphärische Effekte werden reduziert, da steiler durch die Atmosphäre geschaut wird.
• Die Näherung der Gleichung (4) ist für größeren Höhen nicht mehr zulässig.
• Es kann ein Mindestwinkel α gefordert werden, unter dem Objekte auf der Erde zu sehen sind.
• Die Sichtweite kann statt in Kilometern in Nautische Meilen, als Winkel β in Bogengrad oder Radian oder als Fläche bzw. Prozentsatz der Erdoberfläche angegeben werden.

Diesmal führen wir die Berechnung mit Hilfe des Sinussatzes durch:

${\displaystyle {\frac {\sin \omega _{1}}{x_{1}}}={\frac {\sin \omega _{2}}{x_{2}}}}$,  daraus folgt:   ${\displaystyle \omega _{1}=\arcsin \left({\frac {x_{1}}{x_{2}}}\sin \omega _{2}\right)\ }$. (7)

Bekannt sind zwei Seiten x₁ = R und x₂ = R + h sowie der der größeren Seite x₂ gegenüberliegende Winkel ω₂ = 90° + α.

Den gesuchten Winkel β_α erhält man unter Nutzung des Innenwinkel-Satzes:

${\displaystyle \beta _{\alpha }=\omega _{3}=180^{\circ }-\omega _{1}-\omega _{2}\ }$, (8)

${\displaystyle \beta _{\alpha }=180^{\circ }-(90^{\circ }+\alpha )-\arcsin \left({\frac {R}{R+h}}\sin \,(90^{\circ }+\alpha )\right)=90^{\circ }-\alpha -\arcsin \left({\frac {R}{R+h}}\cos \alpha \right)=\arccos \left({\frac {R}{R+h}}\cos \alpha \right)-\alpha }$ (9)

Für eine Elevation von α = 0°, wenn die Oberfläche gerade am Rand zu erkennen sein soll, vereinfacht sich (9) zu:

${\displaystyle \beta _{0}=\arccos {\frac {R}{R+h}}}$. (10)

Aus β (kann β₀ oder β_α sein) kann die Sichtweite ${\displaystyle s}$ in Kilometer oder Nautischen Meilen berechnet werden (β in Radian, Radius in gewünschter Einheit):

${\displaystyle s=R\,\beta }$ (11)

oder die sichtbare Erdoberfläche durch Berechnung des Kugelsegments:

${\displaystyle A=2\pi R^{2}(1-\cos \beta )}$ (12)

oder der Flächenanteil der Erde durch Division durch die Gesamtkugeloberfläche 4πR²:

${\displaystyle A/A_{\mathrm {Erde} }={\tfrac {1}{2}}(1-\cos \beta )\ }$. (13)

Beispiele

• Aus einer Flughöhe von h = 10 km sieht ein Pilot einen Bereich auf der Erde von 2β₀ = 2 · 3,2° = 6,4°, entsprechend einem Kreis mit 713 km Durchmesser. Den Randbereich erkennt er nur streifend. Bei einem Mindest-Elevationswinkel von α = 10° reduziert sich der Winkelbereich auf 2β_α = 2 · 0,5° = 1,0°, entsprechend einem Kreis mit 111 km Durchmesser.
• Ein geostationärer Satellit in h = 35.800 km Höhe erfasst maximal einen Bereich von 2β₀ = 2 · 81,3° = 162,6°.

Sichtweite für Elevationswinkel α = 0°

Flugobjekt	Flughöhe	Sichtweite Radius ${\displaystyle \mathbf {s} }$			Sichtweite Durchmesser ${\displaystyle 2\mathbf {s} }$			Sichtweite Fläche
Passagier-Flugzeug	10 km	3,2°	357 km	193 NM	6,4°	713 km	385 NM	0,400 Mio. km²	0,117 Mio. NM²	0,08 %
Flugzeug Lockheed SR-71	25 km	5,1°	563 km	304 NM	10,1°	1127 km	608 NM	0,997 Mio. km²	0,291 Mio. NM²	0,20 %
Internationale Raumstation	400 km	19,8°	2201 km	1188 NM	39,6°	4401 km	2377 NM	15,064 Mio. km²	4,392 Mio. NM²	2,95 %
Iridium-Satelliten	780 km	27,0°	3003 km	1622 NM	54,0°	6006 km	3243 NM	27,813 Mio. km²	8,109 Mio. NM²	5,45 %
Globalstar-Satelliten	1400 km	34,9°	3884 km	2097 NM	69,9°	7768 km	4194 NM	45,937 Mio. km²	13,393 Mio. NM²	9,01 %
GPS-Satelliten	20250 km	76,2°	8467 km	4572 NM	152,3°	16933 km	9143 NM	193,944 Mio. km²	56,545 Mio. NM²	38,04 %
Geostationäre Satelliten	35800 km	81,3°	9040 km	4881 NM	162,6°	18080 km	9762 NM	216,440 Mio. km²	63,104 Mio. NM²	42,45 %
Mondoberfläche	376330 km	89,0°	9900 km	5346 NM	178,1°	19800 km	10691 NM	250,709 Mio. km²	73,095 Mio. NM²	49,17 %
Lagrange-Punkt L2	1,5 Mio. km	89,8°	9979 km	5388 NM	179,5°	19958 km	10776 NM	253,874 Mio. km²	74,018 Mio. NM²	49,79 %
Pale Blue Dot	6 Mrd. km	90,0°	10006 km	5403 NM	180,0°	20012 km	10806 NM	254,952 Mio. km²	74,332 Mio. NM²	50,00 %

Sichtweite für Elevationswinkel α = 10°

Flugobjekt	Flughöhe	Sichtweite Radius ${\displaystyle \mathbf {s} }$			Sichtweite Durchmesser ${\displaystyle 2\mathbf {s} }$			Sichtweite Fläche
Passagier-Flugzeug	10 km	0,5°	55 km	30 NM	1,0°	111 km	60 NM	0,010 Mio. km²	0,003 Mio. NM²	0,00 %
Flugzeug Lockheed SR-71	25 km	1,2°	133 km	72 NM	2,4°	267 km	144 NM	0,056 Mio. km²	0,016 Mio. NM²	0,01 %
Internationale Raumstation	400 km	12,1°	1344 km	726 NM	24,2°	2687 km	1451 NM	5,651 Mio. km²	1,648 Mio. NM²	1,11 %
Iridium-Satelliten	780 km	18,7°	2076 km	1121 NM	37,4°	4152 km	2242 NM	13,420 Mio. km²	3,913 Mio. NM²	2,63 %
Globalstar-Satelliten	1400 km	26,2°	2908 km	1570 NM	52,3°	5817 km	3141 NM	26,117 Mio. km²	7,615 Mio. NM²	5,12 %
GPS-Satelliten	20250 km	66,4°	7379 km	3984 NM	132,7°	14758 km	7968 NM	152,758 Mio. km²	44,537 Mio. NM²	29,96 %
Geostationäre Satelliten	35800 km	71,4°	7943 km	4289 NM	142,9°	15886 km	8578 NM	173,822 Mio. km²	50,678 Mio. NM²	34,09 %
Mondoberfläche	376330 km	79,1°	8790 km	4746 NM	158,1°	17580 km	9492 NM	206,570 Mio. km²	60,226 Mio. NM²	40,51 %
Lagrange-Punkt L2	1,5 Mio. km	79,8°	8868 km	4788 NM	159,5°	17735 km	9576 NM	209,635 Mio. km²	61,120 Mio. NM²	41,11 %
Pale Blue Dot	6 Mrd. km	80,0°	08894 km	4802 NM	160,0°	17788 km	09605 NM	210,680 Mio. km²	61,424 Mio. NM²	41,32 %

Korrektur durch Refraktion in der Atmosphäre

Für Beobachter außerhalb der Atmosphäre und für Objekte in Meereshöhe kann die Refraktion in der Atmosphäre am besten durch korrigierte Werte von α berücksichtigt werden. Die Korrektur entspricht der Astronomischen Refraktion der bodennahen Schichten, nur mit umgekehrtem Strahlweg.

Die vom United States Naval Observatory verwendete Formel lautet:

${\displaystyle \alpha _{\mathrm {korr} }=\alpha -\cot _{\mathrm {deg} }\left(\alpha +{\frac {7.31}{\alpha +4.4}}\right)\,}$,

wobei ${\displaystyle \alpha }$ die Horizontdistanz in Grad und ${\displaystyle \cot _{\mathrm {deg} }}$ der Kotangens mit dem Argument in Grad ist. Der Wert ${\displaystyle \cot _{\mathrm {deg} }}$ gibt die Korrektur in Winkelminuten an.

Keine oder dünne Atmosphäre

Auf Himmelskörpern mit keiner oder sehr dünner Atmosphäre gelten bei angepasstem Radius die gleichen Formeln wie auf der Erde, vorausgesetzt der Himmelskörper ist näherungsweise kugelförmig.

Körper	Radius	Sichtweite	Bemerkungen
Ceres	0480 km	${\displaystyle 0{,}98\ {\sqrt {\mathbf {h} }}}$
Mond	1737 km	${\displaystyle 1{,}86\ {\sqrt {\mathbf {h} }}}$
Merkur	2440 km	${\displaystyle 2{,}1\ {\sqrt {\mathbf {h} }}}$
Mars	3390 km	${\displaystyle 2{,}6\ {\sqrt {\mathbf {h} }}}$	Dünne Atmosphäre kann vernachlässigt werden. Staubstürme können meteorologische Sichtweite auf weniger als 1 km verringern.

Dichte Atmosphäre

Wäre die Atmosphäre der Erde knapp sechs Mal dichter als gegenwärtig, wäre die optische Sichtweite nicht nur um 10 % größer, sondern man könnte wesentlich weiter sehen, da sich Licht parallel zur Erdoberfläche ausbreiten würde. Das ${\displaystyle k}$ in der Formel würde bei diesem Druck etwa gegen 1 gehen:

${\displaystyle R_{\textrm {opt}}={\frac {R}{1-k}}}$

was ${\displaystyle R_{\textrm {opt}}}$ gegen unendlich gehen lässt.

Himmelskörper mit noch dichterer Atmosphäre brechen Licht noch stärker zum Himmelskörper hin, so dass Wellenleiterstrukturen entstehen und der Horizont so weit angehoben wird, dass die wahrgenommene Oberfläche konkav wird. Dieser Effekt tritt in der dichten Atmosphäre der Venus auf. Allerdings gibt es auch dort eine maximale Sichtweite und einen Horizont, ab einer Grenz-Elevation verlässt der Blickstrahl die Venus. Siehe Venera 13.