Spektraldarstellung von X_t

Jeder stationäre Prozess ${\displaystyle X_{t}}$ mit ${\displaystyle \operatorname {E} X_{t}=0}$ hat die sogenannte Spektraldarstellung

${\displaystyle X_{t}=\int _{-\pi }^{\pi }e^{it\lambda }dZ(\lambda )}$.

Dies ist ein stochastisches Integral, und zwar bzgl. eines Prozesses ${\displaystyle Z(\lambda )}$ mit unkorrelierten Zuwächsen, d. h. für ${\displaystyle \lambda _{1}<\lambda _{2}<\lambda _{3}<\lambda _{4}}$ sind die Zuwächse ${\displaystyle Y(\lambda _{2})-Y(\lambda _{1})}$ und ${\displaystyle Y(\lambda _{4})-Y(\lambda _{3})}$ unkorreliert.

Wenn ${\displaystyle Z(\lambda )}$ nur endlich viele Zuwächse hat, z. B. ${\displaystyle n}$ Zuwächse ${\displaystyle A(\lambda _{1}),\dots ,A(\lambda _{n})}$ bei ${\displaystyle -\pi <\lambda _{1}<\dots <\lambda _{n}<\pi }$, dann kann obiges Integral als Summe geschrieben werden:

${\displaystyle X_{t}=\sum _{k=1}^{n}A(\lambda _{k})e^{it\lambda _{k}}}$.

Jeder Summand ist eine harmonische Schwingung mit Frequenz ${\displaystyle \lambda _{k}}$ und der zufälligen Amplitude ${\displaystyle A(\lambda _{k})}$.

Spektraldarstellung der Kovarianzfunktion

Die Kovarianzfunktion ${\displaystyle \gamma (h)}$ ist eine symmetrische und positiv semidefinite Funktion und hat damit nach dem Satz von Bochner (in diskreter Variante als Satz von Herglotz bezeichnet) die Darstellung

${\displaystyle \gamma (h)=\int _{-\pi }^{\pi }e^{ih\lambda }dF(\lambda )}$.

Dabei heißt ${\displaystyle F}$ Spektralverteilungsfunktion. Sie ist auf ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$ monoton nicht fallend und es gilt ${\displaystyle F(-\pi )=0;\ F(\pi )=\gamma (0)=\operatorname {Var} X_{t}}$. Die Beziehung

${\displaystyle \operatorname {E} |Z(\lambda _{2}]-Z(\lambda _{1})|^{2}=F(\lambda _{2})-F(\lambda _{1});\ \lambda _{2}\geq \lambda _{1}}$

stellt die Verbindung zwischen der Spektraldarstellung von ${\displaystyle X_{t}}$ und der Spektraldarstellung von ${\displaystyle \gamma (h)}$ dar.

Spektraldichte

Wenn ${\displaystyle \sum _{h=-\infty }^{\infty }|\gamma (h)|<\infty }$, dann kann die Spektraldarstellung von ${\displaystyle \gamma (h)}$ als Riemannsches Integral geschrieben werden:

${\displaystyle \gamma (h)=\int _{-\pi }^{\pi }f(\lambda )e^{ih\lambda }d\lambda }$.

Die Funktion ${\displaystyle f}$ heißt Spektraldichte von ${\displaystyle X_{t}}$. Anschaulich gesprochen gibt ${\displaystyle f(\lambda )}$ an, mit welcher Intensität die Frequenz ${\displaystyle \lambda }$ im Spektrum von ${\displaystyle X_{t}}$ vorkommt. Die Spektraldichte selbst hat die Darstellung

${\displaystyle f(\lambda )={\frac {1}{2\pi }}\sum _{h=-\infty }^{\infty }e^{-ih\lambda }\gamma (h)}$.

${\displaystyle f}$ ist also die Fouriertransformierte von ${\displaystyle \gamma }$, bzw. ${\displaystyle \gamma }$ ist die inverse Fouriertransformierte von ${\displaystyle f}$. Für ${\displaystyle h=0}$ gilt speziell

${\displaystyle \gamma (0)=\operatorname {Var} X_{t}=\int _{-\pi }^{\pi }f(\lambda )d\lambda }$.

Dies kann als Streuungszerlegung (signaltechnisch Leistungsverteilung) auf die verschiedenen Frequenzen ${\displaystyle \lambda }$ interpretiert werden.

Zeitstetiger Fall

Sei nun ${\displaystyle X_{t}}$ ein stationärer Prozess mit reellwertigem ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$. Dann modifizieren sich obige Formeln zu:

${\displaystyle X_{t}=\int _{-\infty }^{\infty }e^{i\lambda t}dZ(\lambda );\ \ \gamma (h)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{i\lambda h}dF(\lambda )}$.

Dabei ist ${\displaystyle Z(\lambda )}$ wiederum ein stochastischer Prozess mit unkorrelierten Zuwächsen. Falls ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\gamma (h)|dh<\infty }$, dann hat die Spektralverteilungsfunktion ${\displaystyle F}$ eine Spektraldichte ${\displaystyle f}$, und es gilt:

${\displaystyle \gamma (h)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{i\lambda h}f(\lambda )d\lambda$ ;\ \ f(\lambda )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\gamma (h)e^{-ih\lambda }dh} .