Objektive Größen

Für Materialgrößen und Konstitutivvariable können nur objektive Größen verwendet werden, d. h. solche die ein beliebig translatorisch oder rotatorisch bewegter Beobachter in gleicher Weise wahrnimmt wie ein relativ zur Probe ruhender Experimentator.

Zu den skalaren objektiven Größen gehören Masse, Dichte, Temperatur, Wärme, spezifische innere Energie und Entropie.

Gerichtete objektive Größen, also Vektoren, sind z. B. Kräfte, Spannungs-, Wärmefluss- und Entropieflussvektoren.

Die Geschwindigkeit eines Partikels ist aber z. B. keine objektive Größe, weil sie von unterschiedlich bewegten Beobachtern unterschiedlich beurteilt wird.

Des Weiteren treten in manchen Naturgesetzen tensorielle Größen auf, deren Objektivität im Einzelfall zu prüfen ist. Ein wichtiges Beispiel für eine tensorielle objektive Größe ist der Cauchy’sche Spannungstensor.

Arten von Materialgleichungen

Gleichungen, die ein Material beschreiben, können in drei Klassen eingeteilt werden:

1. Solche, die die materielle Symmetrie oder Richtungsabhängigkeit angeben. Bei einer solchen sind die Eigenschaften des Materials in der einen Richtung anders als in der anderen. Ein bekanntes Beispiel dafür ist Holz, das sich in Faserrichtung anders verhält als quer dazu (Orthotropie).
2. Materielle Zwangsbedingungen verbieten einem Material bestimmte Veränderungen. Bekanntestes Beispiel hierfür ist die Inkompressibilität, bei der das Volumen einer Materialprobe unveränderlich ist.
3. Konstitutive Gleichungen, die den funktionalen Zusammenhang zwischen Materialgrößen und den Konstitutivvariablen formulieren.

Während die Mitglieder der ersten beiden Klassen algebraischer Natur sind, können bei den konstitutiven Gleichungen auch andere Formen auftreten:

• Differentialgleichungen
• Integralgleichungen
• algebraische Gleichungen
• Ungleichungen, siehe das Beispiel unten.

Konservative Materialien

Konservative Materialien besitzen eine besondere Form von konstitutiven Gleichungen, bei denen die Materialgröße sich aus der Ableitung eines Skalarpotentials nach der Konstitutivvariablen ergibt.

Ein Beispiel hierfür ist das Hookesche Gesetz, wo

• das Skalarpotential der Formänderungsenergie ${\displaystyle E}$ entspricht,
• die Materialgröße der Auslenkung ${\displaystyle x}$
• die Konstitutivvariable der Kraft ${\displaystyle F}$:

${\displaystyle x={\frac {dE}{dF}}={\frac {{\text{d}}\left({\frac {1}{2}}cx^{2}\right)}{{\text{d}}(cx)}}={\frac {{\text{d}}\left({\frac {1}{2}}x^{2}\right)}{{\text{d}}(x)}}}$

mit der Federkonstanten ${\displaystyle c}$.

Hier hat man die besonderen Eigenschaften:

1. Wegunabhängigkeit: Die Materialgröße hat bei gegebenem Wert der Konstitutivvariablen immer denselben Wert, egal auf welchem Weg der Endzustand erreicht wurde.
2. Konservativität: Ist das Potential eine Energie, so wird entlang eines geschlossenen Weges keine Arbeit verrichtet oder Energie verbraucht. Aufgewendete Arbeiten werden vom System bis zur Rückkehr zum Ausgangspunkt vollständig zurückgegeben.

Materialparameter

Für die Quantifizierung des Materialverhaltens enthalten die konstitutiven Gleichungen Materialparameter oder – wie sie auch genannt werden – Materialkonstanten, die gestatten das Modell an gemessene Werte anzupassen. Es ist allgemein üblich das Modell so zu gestalten, dass die Parameter bei realen Materialien positive Werte haben. Sollten bei der Anpassung negative Werte auftreten, so ist in der Regel Vorsicht geboten.

Elastischer Bereich

Im elastischen Bereich ist ${\displaystyle f<0\Leftrightarrow {|}\sigma {|}<{|}{k}{|}}$.

Die Spannung hängt über ein Elastizitätsgesetz von der elastischen Dehnung ab:

${\displaystyle \sigma =E\;\varepsilon _{e}}$

worin der Materialparameter ${\displaystyle E}$ Elastizitätsmodul heißt.

Im elastischen Bereich ist ${\displaystyle \varepsilon _{p}={\dot {\varepsilon }}_{p}=0}$, also ${\displaystyle {\dot {\sigma }}=E{\dot {\varepsilon }}_{e}=E{\dot {\varepsilon }}}$.

Plastischer Bereich

Bei plastischem Fließen ist ${\displaystyle f=0}$ und daher ${\displaystyle {|}\sigma {|}=k=\mathrm {const.} }$, was das besondere Merkmal der idealen Plastizität ist. Allerdings kann ${\displaystyle {|}\sigma {|}=k}$ auch bei konstanter Dehnung gelten, weswegen Fließen erst eintritt, wenn ${\displaystyle \sigma {\dot {\varepsilon }}>0}$ ist. Die Fließbedingung lautet also:

${\displaystyle f=0}$   und   ${\displaystyle \sigma {\dot {\varepsilon }}>0}$ .

Das Fließen wird mit der plastischen Dehnung ${\displaystyle \varepsilon _{p}}$ dargestellt, die eine innere Variable des Modells ist; die plastische Dehnung kann also nicht direkt von außen beeinflusst oder vorgegeben werden.

Im Fall plastischen Fließens bestimmt eine assoziative Fließregel die Evolution der plastischen Dehnung:

${\displaystyle {\dot {\varepsilon }}_{p}=\lambda {\frac {\partial f}{\partial \sigma }}=2\lambda \sigma }$ .

Darin ist ${\displaystyle \lambda }$ der plastische Multiplikator, der sich aus der Konsistenzbedingung ${\displaystyle {\dot {f}}=0}$ bei plastischem Fließen ableitet:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {f}}&=2\sigma {\dot {\sigma }}=2\sigma E\,{\dot {\varepsilon }}_{e}=2\sigma E\,\left({\dot {\varepsilon }}-{\dot {\varepsilon }}_{p}\right)=2E\,\sigma \left({\dot {\varepsilon }}-2\lambda \sigma \right)=0\\\Rightarrow \lambda &={\frac {\dot {\varepsilon }}{2\sigma }}={\frac {\sigma {\dot {\varepsilon }}}{2\sigma ^{2}}}>0\end{aligned}}}$ .

Für die Evolution der plastischen Dehnung bedeutet das:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\varepsilon }}_{p}&=2\lambda \sigma =2{\frac {\dot {\varepsilon }}{2\sigma }}\sigma ={\dot {\varepsilon }}\\\Rightarrow {\dot {\varepsilon }}_{e}&=0\Rightarrow \varepsilon _{e}=konst.\\\Rightarrow {\dot {\sigma }}&=0\Rightarrow \sigma =konst.\end{aligned}}}$.

Zusammenfassung

Die Materialgleichungen der idealen Plastizität können also im einachsigen Fall wie folgt zusammengefasst werden:

Fließfunktion	${\displaystyle f=\sigma ^{2}-{k}^{2}\leq 0}$
Spannungs-Dehnungs-Beziehung	${\displaystyle {\dot {\sigma }}={\begin{cases}0&{\text{falls}}\quad f=0\;{\text{und}}\;\sigma {\dot {\varepsilon }}>0\\E{\dot {\varepsilon }}&{\text{sonst}}\end{cases}}}$

In den Bildern rechts sind Diagramme eines simulierten dehnungsgesteuerten Zugversuchs angegeben. Das obere Bild zeigt den Verlauf der Dehnungen, das mittlere den Verlauf der Spannung über die Zeit und das untere Bild zeigt das Spannungs-Dehnungs-Diagramm dieses ideal plastischen Materials. Als Materialparameter wurden verwendet:

Parameter	${\displaystyle E}$	${\displaystyle k}$
Wert	10000	160
Einheit	MPa	MPa

Am Ende des Versuchs, nach acht Sekunden, wurde die Probe nach einer Gesamtdehnung von 0,045 entlastet, so dass die Spannung verschwindet, also ${\displaystyle \sigma =0}$ und daher auch ${\displaystyle \varepsilon _{e}=0}$ gilt. Am Ende beobachtet man aber verbleibende Dehnungen, die wegen ${\displaystyle \varepsilon _{e}=0}$ den plastischen Dehnungen entsprechen. Ihre Größe ist:

${\displaystyle \varepsilon =0{,}045-\underbrace {\frac {k}{E}} _{\varepsilon _{e}}=0{,}029=\varepsilon _{p}}$.

Ein realer Körper aus diesem Material würde also am Ende des Versuchs nicht in seinen Ausgangszustand zurückkehren, was das Merkmal der Plastizität ist.