Zweiwellenbetrieb

Im Zweiwellenbetrieb ist das Getriebe zwangläufig (Laufgrad F = 1). Beim Antrieb einer Welle ist die Drehung der zweiten eindeutig.

Man unterscheidet zwischen Standübersetzung und Umlaufübersetzung:

• Bei der Standübersetzung steht die Stegwelle still, und die beiden Zentralradwellen (also Sonnen- und Hohlrad) bewegen sich. Die ruhende Welle kann fest mit dem Gehäuse verbunden sein oder durch eine Bremse oder eine Freilaufkupplung festgehalten werden.
• Bei der Umlaufübersetzung steht eine der beiden Zentralradwellen still (Bsp. Umlaufrad). An- und Abtrieb erfolgen über die drehende Zentralradwelle und über die Stegwelle.

Dreiwellenbetrieb

Im Dreiwellenbetrieb hat das Getriebe zunächst den Laufgrad F = 2. Es arbeitet als Summiergetriebe oder Verteilgetriebe:

• Beim Summiergetriebe treiben 2 Wellen an, und 1 Welle ist getrieben. Beispiel ist das Summiergetriebe in der Hinterradnabe eines Elektrofahrrads. Die Antriebsdrehzahlen werden frei gewählt, die Abtriebsdrehzahl ist dadurch eindeutig. Durch die Vorgabe der beiden Antriebsbewegungen ist schließlich Zwangläufigkeit (F = 1) gewährleistet.
• Beim Verteilgetriebe treibt eine Welle an und zwei Wellen sind getrieben. Das Drehzahlverhältnis der beiden Abtriebswellen muss festgelegt sein. Das bekannteste Beispiel eines Verteilgetriebes ist das Differentialgetriebe am Kraftfahrzeug. Hier wird das Drehzahlverhältnis durch den Radabstand und den Kurvenradius festgelegt. Durch den Reibkontakt der Räder mit dem Boden ist schließlich Zwangläufigkeit (F = 1) gewährleistet. Anders als im Zweiwellenbetrieb stützen sich die An- und Abtriebsmomente der Wellen nur untereinander ab. Wegen M_S+M₁+M₂=0 bleibt das Gehäuse drehmomentfrei (vgl. Abschnitt Drehmomentübersetzung).

Selbsthemmung

Schon einfache Planetengetriebe sind zur Selbsthemmung fähig, d. h. Momente können nur in einer Antriebsrichtung übertragen werden. Bei gegebener Standübersetzung (i₀) und Standwirkungsgrad (${\displaystyle \eta _{0}}$) ist dies ein Bereich von ${\displaystyle 1/\eta _{0}<i_{0}<\eta _{0}}$, also mit i₀ in der Nähe von +1.

Willis-Gleichung und Standübersetzung i₀

Zur analytischen Darstellung genügt eine einzige Gleichung, die sogenannte Willis-Gleichung:

${\displaystyle n_{1}-i_{0}\cdot n_{2}-(1-i_{0})\cdot n_{\mathrm {S} }=0}$.

Darin ist ${\displaystyle i_{0}}$ die sogenannte Standübersetzung des Umlaufrädergetriebes, welche das Drehzahlverhältnis zwischen den beiden Zentralwellen 1 und 2 bei festgehaltenem Steg S beschreibt:

${\displaystyle i_{0}={\frac {n_{1}}{n_{2}}}}$.

Wertebereiche für ${\displaystyle i_{0}}$:

• ${\displaystyle i_{0}}$ < 0: Antriebs- und Abtriebswelle drehen sich entgegengesetzt, Minusgetriebe
• ${\displaystyle i_{0}}$ > 0: Antriebs- und Abtriebswelle drehen sich gleichsinnig, Plusgetriebe
• −1 < ${\displaystyle i_{0}}$ < 1: Je nachdem, wie man Antriebs- und Abtriebsdrehzahl dividiert, kommt ${\displaystyle i_{0}}$ oder ${\displaystyle {\frac {1}{i_{0}}}}$ heraus, beides beschreibt kinematisch gleichwertige Getriebe. Es ist aber üblich |${\displaystyle i_{0}}$| ≥ 1 anzugeben.
• ${\displaystyle i_{0}}$ = 0 ist mit einem Planetengetriebe nicht möglich, dies kann nur ein IVT

Ein spezielles Planetengetriebe mit ${\displaystyle i_{0}=-1}$ ist das Differentialgetriebe.

Die Bedeutung von ${\displaystyle i_{0}}$ lässt sich dadurch erklären, dass jede Bewegung eines Planetengetriebes als Superposition (Überlagerung) von zwei Teildrehungen betrachtet werden kann:

• Eine Teildrehung ergibt sich bei festgehaltenem Steg mit der Standübersetzung ${\displaystyle i_{0}}$ .
• Diese wird überlagert durch die Drehung des gesamten Planetengetriebes mit Steg

Im Folgenden wird die für die Willis-Gleichung benötigte Standübersetzung ${\displaystyle i_{0}}$ aus den Wälzradien der Getrieberäder bestimmt. Dazu wird der Ansatz verwendet, der dem Kutzbachplan zu Grunde liegt: Die Geschwindigkeit eines Umlaufrades U (vgl. Abbildungen unter Grundlegender Aufbau) verläuft längs seines rot dargestellten Radius (einschließlich seiner rückwärtigen Ergänzung zum Durchmesser) linear. Das gilt allgemein für rotierende Kreisflächen, deren Mittelpunkt senkrecht zum Radius bewegt wird. Bei Vorgabe von zwei der drei Umfangsgeschwindigkeiten ${\displaystyle u_{1},u_{2}}$ und ${\displaystyle u_{S}}$ kann aus der zugehörigen Verbindungsgeraden auf die dritte Umfangsgeschwindigkeit geschlossen werden.

Für die Bauarten mit Hohlrad oder Umlaufradpaaren (vgl. Bilder am Artikelanfang) erhält man die Umfangsgeschwindigkeit des jeweiligen 1. Zentralrades nach der Zwei-Punkte-Form der Geradengleichung zu

${\displaystyle u_{1}=2u_{S}-u_{2}}$ bzw. ${\displaystyle u_{1}=u_{S}+{\frac {u_{2}-u_{S}}{r_{U2}}}r_{U1}}$.

Durch Übergang auf die entsprechenden Drehzahlen ${\displaystyle n={\frac {u}{2\pi r}}}$ folgt

${\displaystyle n_{1}=-{\frac {r_{2}}{r_{1}}}n_{2}+2{\frac {r_{S}}{r_{1}}}n_{S}}$ bzw. ${\displaystyle n_{1}={\frac {r_{U1}}{r_{U2}}}{\frac {r_{2}}{r_{1}}}n_{2}+\left(1-{\frac {r_{U1}}{r_{U2}}}\right){\frac {r_{S}}{r_{1}}}n_{S}}$.

Für die Standübersetzung ${\displaystyle i_{0}={\frac {n_{1}}{n_{2}}}{\bigg \vert }_{n_{S}=0}}$ (d. h. für festgebremsten Steg) folgt daraus

${\displaystyle i_{0}=-{\frac {r_{2}}{r_{1}}}}$ bzw. ${\displaystyle i_{0}={\frac {r_{U1}}{r_{U2}}}{\frac {r_{2}}{r_{1}}}}$.

Dieser Parameter erlaubt, beide Bauarten mit der nach R. Willis benannten Gleichung ${\displaystyle n_{1}=i_{0}n_{2}+(1-i_{0})n_{S}}$ zu beschreiben.

Die Willis-Gleichung gilt unabhängig davon, wie das Umlaufrädergetriebe im Inneren aufgebaut ist. Die umlaufenden Räder werden von ihr nicht erfasst. Mit der Standübersetzung zwischen zwei der drei gestellfesten Wellen sind die übrigen Drehzahlverhältnisse zwischen den gestellfesten Wellen bestimmt.

Im Zweiwellenbetrieb gibt es sechs Kombinationen für eine treibende, eine getriebene und eine festgehaltene Welle. In der folgenden Tabelle ist die Willis-Gleichung beispielsweise für jeden dieser sechs Fälle umgestellt, wobei als Standübersetzung diejenige zwischen Sonnenrad (treibend) und Hohlrad (getrieben) gewählt ist:

${\displaystyle i_{0}={\frac {n_{1}}{n_{2}}}={\frac {n_{\text{Sonnenrad}}}{n_{\text{Planetenrad}}}}{\frac {n_{\text{Planetenrad}}}{n_{\text{Hohlrad}}}}=\left(-{\frac {z_{\text{Planetenrad}}}{z_{\text{Sonnenrad}}}}\right)\left(-{\frac {-z_{\text{Hohlrad}}}{z_{\text{Planetenrad}}}}\right)=-{\frac {z_{\text{Hohlrad}}}{z_{\text{Sonnenrad}}}}}$   (Zähnezahl Stirnräder positives Vorzeichen, Zähnezahl Hohlräder negatives Voreichen; ${\displaystyle i_{0}}$ im Beispiel negativ: Minusgetriebe).

Steg fest			Hohlrad fest			Sonnenrad fest
Antrieb / Abtrieb	Übersetzung		Antrieb / Abtrieb	Übersetzung		Antrieb / Abtrieb	Übersetzung
Sonnenrad / Hohlrad	${\displaystyle i={\frac {n_{1}}{n_{2}}}=i_{0}}$		Sonnenrad / Steg	${\displaystyle i={\frac {n_{1}}{n_{\mathrm {S} }}}=1-i_{0}}$		Hohlrad / Steg	${\displaystyle i={\frac {n_{2}}{n_{\mathrm {S} }}}=1-{\frac {1}{i_{0}}}}$
Hohlrad / Sonnenrad	${\displaystyle i={\frac {n_{2}}{n_{1}}}={\frac {1}{i_{0}}}}$		Steg / Sonnenrad	${\displaystyle i={\frac {n_{\mathrm {S} }}{n_{1}}}={\frac {1}{1-i_{0}}}}$		Steg / Hohlrad	${\displaystyle i={\frac {n_{\mathrm {S} }}{n_{2}}}={\frac {1}{1-{\frac {1}{i_{0}}}}}={\frac {i_{0}}{{i_{0}}-1}}}$
Antrieb / Abtrieb	Übersetzungs­verhältnis		Antrieb / Abtrieb	Übersetzungs­verhältnis		Antrieb / Abtrieb	Übersetzungs­verhältnis
Sonnenrad / Hohlrad	${\displaystyle -i>1}$		Sonnenrad / Steg	${\displaystyle i>1}$		Hohlrad / Steg	${\displaystyle i>1}$
Hohlrad / Sonnenrad	${\displaystyle -i<1}$		Steg / Sonnenrad	${\displaystyle i<1}$		Steg / Hohlrad	${\displaystyle i<1}$

Bei nicht gestuften umlaufenden Rädern errechnet sich die Relativdrehzahl ${\displaystyle (n_{\mathrm {Pl} }-n_{\mathrm {S} })}$ des umlaufenden Rads gegenüber dem Steg (Minusradsatz) aus:

${\displaystyle (n_{\mathrm {Pl} }-n_{\mathrm {S} })=(n_{2}-n_{\mathrm {S} })\cdot {\frac {\left|z_{\mathrm {Hohlrad} }\right|}{z_{\mathrm {Pl} }}}}$

Diese Formel kann auch für die Berechnung der Relativdrehzahl ${\displaystyle (n_{\mathrm {Pl} }-n_{\mathrm {S} })}$ des mit dem Hohlrad kämmenden umlaufenden Rads eines Plusradsatzes verwendet werden.

Die Zähnezahl ${\displaystyle z_{\mathrm {Pl} }}$ und die Anzahl der umlaufenden Räder ist ohne Bedeutung für die Standübersetzung ${\displaystyle i_{0}}$, hat aber einen Einfluss auf die Drehzahl der umlaufenden Räder und die maximal übertragbaren Drehmomente.

Drehmomentübersetzung

Die Verhältnisse der Drehmomente untereinander lassen sich mit einem einfachen Hebelmodell oder aus einer Leistungsbilanz herleiten. Vorausgesetzt wird hier ein reibungsfreies Getriebe, also ein Wirkungsgrad von 100 %. Das rechts abgebildete Hebelmodell gilt drehzahlunabhängig. Mit Vorgabe des Drehmoments ${\displaystyle M_{S}}$ der Stegwelle erhält man ${\displaystyle M_{1}=-{\frac {M_{S}}{2r_{S}}}r_{1}}$ und ${\displaystyle M_{2}=-{\frac {M_{S}}{2r_{S}}}r_{2}}$. Mit der oben definierten Standübersetzung ${\displaystyle i_{0}}$ folgen daraus die Drehmomentübersetzungen

${\displaystyle {\frac {M_{1}}{M_{S}}}={\frac {1}{i_{0}-1}}}$

und

${\displaystyle {\frac {M_{2}}{M_{S}}}={\frac {i_{0}}{1-i_{0}}}}$.

Daraus folgt für das dritte Verhältnis

${\displaystyle {\frac {M_{2}}{M_{1}}}=-i_{0}}$.

In den Leistungsbilanzen ${\displaystyle M_{1}n_{1}=-M_{S}n_{S}}$ und ${\displaystyle M_{2}n_{2}=-M_{S}n_{S}}$ ist das Hohlrad 2 bzw. das Sonnenrad 1 ruhend vorausgesetzt. Die ruhenden Räder übertragen keine Leistung. Damit ergeben sich dieselben Drehmomentübersetzungen. Aus den letzten beiden Gleichungen ist abzulesen, dass die für alle Drehzahlen gültigen Drehmomentübersetzungen gleich dem negativen Kehrwert der Drehzahlübersetzungen in den entsprechenden Standfällen sind.

Um den Betriebszustand eines Planetengetriebes zu beschreiben genügen ein Drehmoment und zwei Drehzahlen (vgl. Willis-Gleichung).

Leistungsfluss

Jede Welle eines Planetengetriebes kann alleinige An- oder Abtriebswelle sein. Somit sind jeweils drei Wellenkombinationen bei Leistungsverzweigung bzw. Leistungssummierung möglich. Die Graphik rechts ordnet die sechs verschiedenen Betriebsarten in die ${\displaystyle n_{2}}$-${\displaystyle n_{S}}$-Ebene ein. Die Leistungen sind als Rechts- und Hoch-Komponenten der roten Pfeile (${\displaystyle P_{2}}$ bzw. ${\displaystyle P_{S}}$) und als blaue Pfeile (${\displaystyle P_{1}}$) maßstäblich und vorzeichenbehaftet dargestellt. Das Drehmoment jeder Welle ist in allen Betriebspunkten konstant, wobei ${\displaystyle M_{2}<0}$ gesetzt ist; d. h. in der rechten Halbebene ${\displaystyle n_{2}>0}$ ist die Hohlwelle 2 Abtriebswelle. In den Getriebesymbolen am Bildrand sind die Antriebswellen schwarz und die Abtriebswellen cyan gefärbt. Die vorausgesetzte Standübersetzung ist ${\displaystyle i_{0}=-2{,}6}$. Die von ${\displaystyle n_{2}}$ und ${\displaystyle n_{S}}$ gemäß Willis-Gleichung abhängige Sonnenraddrehzahl ${\displaystyle n_{1}}$ ist in Form von parallelen Isolinien in der Einheit 100/min eingetragen. Weitere Erläuterungen siehe Bildbeschreibung unter Wikimedia-Commons.

Kutzbachplan

Die Übersetzungen ${\displaystyle i}$ am Umlaufrädergetriebe können anschaulich mit Hilfe des Kutzbachplanes dargestellt und graphisch ermittelt werden.

Kompakte Bauweise

• geringes Volumen (insbesondere bei Verwendung eines Hohlrades)
• koaxiale Wellen
• Übertragung hoher Drehmomente (Vervielfachung durch mehrere parallele Zahnpaarungen mit mehreren Umlaufrädern)
• Geringe Unwucht (etwa im Vergleich zu Exzentergetrieben)

Zwei- und/oder Dreiwellenbetrieb

• Zweiwellenbetrieb: Die Auswahl zweier von drei Wellen und die Umkehr zwischen treibender und getriebener Welle ergibt 6 mögliche Getriebe.
• Zeitweiser Dreiwellenbetrieb: Ist die dritte Welle im Betrieb durch eine Reibungskupplung fixiert, so kann der Zweiwellenbetrieb durch Entkuppeln und Kuppeln unter Last unterbrochen und wiederhergestellt werden.
• Dreiwellenbetrieb: Addition zweier Drehbewegungen (Summiergetriebe) zu einer dritten oder Verteilung (Verteilgetriebe) einer Drehbewegung auf zwei andere.

Nachteile

Die wesentlichen Nachteile sind

• Im Vergleich zu einer einfachen Stirnradstufe wird die Leistung über mindestens zwei Zahneingriffe geführt, so dass sich die Verlustleistung verdoppelt. Dies kann dazu führen, dass Selbsthemmung in einer Antriebsrichtung eintritt.
• Aufwändige Bauweise
• Aufwändige Lagerung, vor allem wenn das Getriebe als Dreiwellengetriebe genutzt wird, so dass auf wenigstens einer Seite mit zwei Wellen (Vollwelle in einer Hohlwelle) oder einem zusätzlichen Leistungsabgriff (Verzahnung mit weiterem Verlust) gearbeitet werden muss.
• Axiale Baugröße für hohe Übersetzungen relativ hoch
• Versatz der von außen angekoppelten Antriebsstrangelemente darf gewisse Grenzen nicht überschreiten

Nabengetriebe

Eine häufige Anwendung des Umlaufrädergetriebe sind in Radnaben integrierte Gangschaltungen. Bei Fahrrädern gibt es diese Anwendung schon lange (seit etwa 1900).

Verteilgetriebe

Klassischer Anwendungsfall für ein Verteilgetriebe ist die Leistungsverteilung auf zwei Räder in der Antriebsachse eines Automobils. Dieses sogenannte Differentialgetriebe ist bei heute mehrheitlichem Vorderradantrieb in manchen Fällen nicht mehr mit Kegelrädern, sondern mit Stirnzahnrädern versehen und erfüllt in dieser Form das anschauliche Umlaufrädergetriebekonzept. In Allradfahrzeugen kommt zu zwei sogenannten Achsdifferentialen noch ein Zentraldifferential hinzu.

Bei Hybridelektrokraftfahrzeugen gibt es eine Kombinationsvariante, in der die Leistung des Verbrennungsmotors auf die Räder und einen elektrischen Generator verteilt wird.

Bei Flugzeugtriebwerken mit koaxialen Luftschrauben erfolgt die Leistungsverteilung vom Antrieb auf die zwei gegenläufigen Propeller mit einem Umlaufräder-Verteilgetriebe (z. B. Iwtschenko Progress D-27).

Summiergetriebe

Bei einem Summiergetriebe werden zwei Leistungen zu einer zusammengefasst. In Hybridelektrokraftfahrzeugen ist das die als paralleler Hybrid bezeichnete Kombinationsvariante eines Verbrennungs- und eines Elektromotors. Läuft der Elektromotor zunächst rückwärts, dann lässt sich sogar ein kupplungsfreies Anfahren realisieren.

Bei dem rechts schematisch skizzierten kupplungsfreien Hybridantrieb (Toyota Prius, 1. Generation) ist der Verbrennungsmotor mit dem Steg S und der kleinere Motorgenerator MG1 mit dem Sonnenrad verbunden. MG1 erzeugt normalerweise den Ladestrom für den Akkumulator. Bei Volllast und hoher Beschleunigung schaltet die Antriebsteuerung MG1 zur Unterstützung des Verbrennungsmotors in den Motorbetrieb. Unabhängig vom inneren Getriebezustand kommt die Leistung des großen Motorgenerators MG2 hinzu, der direkt auf die Antriebsachse wirkt.

Ein Beispiel ist auch der Antrieb einer Schiffsschraube durch zwei Motoren über ein Summiergetriebe.

Andere Anwendungen haben einen Motor, der große Leistungen bei konstanter Drehzahl liefert. Mit einem kleineren Motor, der sich leicht in der Drehzahl regeln lässt, und einem Summiergetriebe kann auf diese Art eine Drehzahländerung am Ausgang erreicht werden, zum Beispiel in einem Walzwerk, um die Geschwindigkeit bei der Umformung zu variieren.

Im Flugzeugbau sind Anwendungen bekannt, bei denen aus Sicherheitsgründen zwei Elektromotoren eine Kraftstoffpumpe über ein Summiergetriebe antreiben. Fällt einer der Motoren aus (bleibt stehen), kann der andere immer noch die Pumpe mit halber Drehzahl antreiben.

Windkraftanlagen

Planetengetriebe werden besonders bei Windkraftanlagen höherer Leistung eingesetzt, um deren mit den Rotorblättern langsam drehende Nabe mit der Antriebswelle eines schnell rotierenden Generators zu verbinden. Dabei ist das Hohlrad Teil des stehenden Gehäuses. Die Nabe treibt den Steg des Getriebes an und das Sonnenrad den Generatorläufer. Nach Bedarf können mehrere Stufen in Reihe angeordnet werden.

Kuppeln und Schalten

Der Zweiwellenbetrieb wird unterbrochen, wenn die dritte Welle des Umlaufrädergetriebes vorübergehend nicht festgehalten wird. Diese Möglichkeit wird als generelle Kupplung oder zum Schalten der Gänge in einem Wechselgetriebe genutzt.

Vorwiegend in der Landtechnik gibt es unter Last schaltbare Kupplungen, die so funktionieren. So wird beispielsweise die Zapfwelle ein- und ausgeschaltet. Das Hohlrad wird fest gebremst beziehungsweise drehbar gelassen.

Klassische Automatikgetriebe in Kraftfahrzeugen haben mehrere hintereinander angeordnete Umlaufrädergetriebe. Zum Gangwechsel wird durch Öffnen und Schließen von Reibkupplungen und -bremsen eine andere Übersetzung geschaltet. Dies geschieht als Lastschaltung, es gibt keine Zugkraftunterbrechung.

Stufenlose Drehzahlveränderung

Mit einem prinzipiell für große Leistungen nicht geeigneten stufenlosen Getriebe lässt sich die Drehzahl einer mit großer Leistung versehenen Drehübertragung wie folgt variieren (allerdings bei reduziertem Drehzahlbereich): Zunächst wird die Drehübertragung mit einem Umlaufrädergetriebe aufgeteilt. Ein Nebenzweig mit geringerer Leistung wird über ein stufenloses Getriebe zu einem zweiten Umlaufrädergetriebe geführt, wo es dann mit der Leistung aus dem Hauptzweig des ersten Umlaufrädergetriebes wieder summiert wird.