Floer-Homologien (FH) bezeichnet in der Topologie und Differentialgeometrie eine Gruppe ähnlich konstruierter Homologie-Invarianten. Sie haben ihren Ursprung im Werk von Andreas Floer und sind seitdem ständig weiterentwickelt worden. Floer erweiterte die Morse-Homologie (Morse-Theorie) endlichdimensionaler Mannigfaltigkeiten auf Fälle, in denen die Morse-Funktion nicht mehr endliche, sondern nur noch „relativ endliche“ Indizes hat, insbesondere in symplektischen Mannigfaltigkeiten, wo die „Differentiale“ der Homologie-Konstruktion pseudoholomorphe Kurven abzählen.

Symplektische Floer-Homologie (SFH)

In diesem Fall ist die Floer-Homologie für eine symplektischen Mannigfaltigkeit (wie die Phasenräume der klassischen Mechanik) ${\displaystyle M}$ mit einem auf ihr operierenden nicht-entarteten Symplektomorphismus (sie erhält insbesondere das Volumen) ${\displaystyle F}$ definiert. „Nicht entartet“ bedeutet, dass die Eigenwerte der Ableitung ${\displaystyle dF}$ in den Fixpunkten von ${\displaystyle F}$ alle von 1 verschieden sind, die Fixpunkte also isolierte Punkte sind.

Falls ${\displaystyle F}$ durch einen Hamiltonschen Fluss definiert wird, kann auf dem Raum ${\displaystyle \Omega M}$ der geschlossenen Wege von ${\displaystyle M}$ (loop space) ein Wirkungsfunktional (action functional) definiert werden, und die SFH ergibt sich aus dem Studium dieses Funktionals. SFH ist invariant unter einer Hamiltonschen Isotopie von ${\displaystyle F}$.

Die SFH ist dann als Homologie des durch diese Fixpunkte definierten Kettenkomplexes (chain complex) definiert. Das „Differential“ in diesem Kettenkomplex („Differential“ im Sinn der algebraischen Topologie, so auch in den folgenden Kapiteln) zählt dabei bestimmte pseudoholomorphe Kurven im Produkt ${\displaystyle \mathbb {R} \times T}$, wobei ${\displaystyle T}$ der sogenannte Abbildungs-Torus von ${\displaystyle F}$ ist. ${\displaystyle T}$ ist selber eine symplektische Mannigfaltigkeit mit einer um 2 größeren Dimension als ${\displaystyle M}$. Für eine geeignete Wahl der fast-komplexen Struktur haben punktierte pseudo-holomorphe Kurven in ${\displaystyle \mathbb {R} \times T}$ asymptotisch zylindrische Enden, die den Fixpunkten von ${\displaystyle F}$ entsprechen. Die zentrale Idee von Floer war es, einen relativen Index zwischen Paaren von Fixpunkten zu definieren, und das „Differential“ zählt die Zahl pseudo-holomorpher Zylinder mit relativem Index 1.

Die SFH eines hamiltonschen Symplektomorphismus F ist isomorph zur singulären Homologie der zugrundeliegenden Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$. Daher liefern die Summen der Betti-Zahlen von ${\displaystyle M}$ eine untere Grenze für die Anzahl der Fixpunkte eines nicht-entarteten Symplektomorphismus ${\displaystyle F}$ (Arnold-Vermutung). Die SFH eines hamiltonschen Symplektomorphismus ${\displaystyle F}$ haben außerdem ein „pair of pants“-Produkt, das ein deformiertes Cup-Produkt äquivalent zur Quantenkohomologie ist.

Floer-Homologie von 3-Mannigfaltigkeiten

Die verschiedenen (vermutlich äquivalenten) Floer-Homologien für dreidimensionale Mannigfaltigkeiten liefern Homologiegruppen, die ein exaktes Dreieck (exact triangle) bilden. Die Heegaard-Floer-Homologie liefert außerdem Knoteninvarianten und ähnelt formal der kombinatorisch definierten Khovanov-Homologie.

Eine Besonderheit der FH von 3-Mannigfaltigkeiten tritt ein, falls diese Mannigfaltigkeiten Kontakt-Strukturen haben, denn dann lassen sich „eingebettete Kontakt-Homologien“ definieren.

So sollten sich auch für Invarianten für 4-Mannigfaltigkeiten ergeben über die Floer-Homologien der 3-dimensionalen Ränder dieser Mannigfaltigkeiten. Damit verbunden ist der Begriff der topologischen Quantenfeldtheorie.

Lagrange-Schnitt-FH (Lagrangian intersection Floer homology)

Der Kettenkomplex der Lagrange-FH zweier Lagrangescher Untermannigfaltigkeiten einer symplektischen Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ wird durch die Schnittpunkte der beiden Untermannigfaltigkeiten erzeugt. Ihr „Differential“ zählt pseudoholomorphe Whitney-Scheiben. Sie ist mit der SFH verbunden, da der Graph eines Symplektomorphismus von ${\displaystyle M}$ eine Lagrange-Untermannigfaltigkeit von ${\displaystyle M\times M}$ ist, und die Fixpunkte den Schnitten des Graphen mit der Diagonale, die ebenfalls eine Lagrange–Untermannigfaltigkeit ist, entsprechen. Sie hat schöne Anwendungen in der Heegaard-FH (s. u.) und in Arbeiten von Seidel-Smith und Manolescu, die Teile der kombinatorisch definierten Khovanov-Homologie als Lagrange-Schnitt-FH ausdrücken.

Es seien drei Lagrange-Untermannigfaltigkeiten ${\displaystyle L_{0},L_{1}}$ und ${\displaystyle L_{2}}$ einer symplektischen Mannigfaltigkeit gegeben. Dann gibt es eine Produktstruktur auf der Lagrange-FH:

${\displaystyle HF(L_{0},L_{1})\otimes HF(L_{1},L_{2})\rightarrow HF(L_{0},L_{2})}$,

die durch das Zählen von pseudo-holomorphen Dreiecken (d. h. pseudo-holomorphe Abbildungen von Dreiecken, deren Ecken und Kanten auf die entsprechenden Schnittpunkte und Lagrange-Untermannigfaltigkeiten abgebildet werden) definiert ist.

Arbeiten hierzu sind von Kenji Fukaya, Y. Oh, Kaoru Ono, und H. Ohta; oder in einem anderen Zugang in den Arbeiten zur „cluster Homologie“ von François Lalonde und Octav Cornea. Die FH von Paaren von Lagrange-Untermannigfaltigkeiten muss nicht immer existieren, aber wenn sie existiert, liefert sie eine Obstruktion für eine „Isotopie“ der einen Untermannigfaltigkeit in die andere mittels einer Hamiltonschen Isotopie.

Symplektische Feldtheorie (SFT)

Dies ist eine Invariante von Kontakt-Mannigfaltigkeiten (allgemeiner: Mannigfaltigkeiten mit einer stabilen Hamiltonischen Struktur) und der symplektischen Kobordismen zwischen ihnen. Sie stammt ursprünglich von Jakow Eliaschberg, Alexander Givental und Helmut Hofer. Sie ist – ebenso wie ihre Unterkomplexe, die rationale symplektische Feldtheorie und die Kontakt-Homologie – als Homologie von Differentialalgebren definiert, die durch geschlossenen Bahnen von Reeb-Vektorfeldern einer Kontaktform erzeugt werden. Das „Differential“ zählt hier bestimmte pseudo-holomorphe Kurven im Zylinder ${\displaystyle \mathbb {R} \times M}$ über der Kontakt-Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$, deren triviale Beispiele die verzweigten Überlagerungen von (trivialen) Zylindern über geschlossenen Reeb-Bahnen sind. Es gibt eine lineare Homologie-Theorie, genannt zylindrische oder linearisierte Kontakt-Homologie, deren Ketten-Gruppen die durch geschlossene Bahnen erzeugten Vektorräume sind und deren Differentiale nur pseudo-holomorphe Zylinder zählen. Aufgrund des Vorhandenseins pseudo-holomorpher Scheiben ist die zylindrische Kontakt-Homologie jedoch nicht immer definiert. Falls sie definiert ist, kann sie als (leicht modifizierte) „Morse-Homologie“ des Wirkungsfunktionals auf dem Schleifenraum gesehen werden, die einer Schleife das Integral einer Kontaktform über diese Schleife zuordnet. „Reeb-Bahnen“ sind die kritischen Punkte dieses Funktionals.

SFT assoziiert auch eine relative Invariante zu einer Legendre-Untermannigfaltigkeit einer Kontakt-Mannigfaltigkeit, die „relative Kontakt-Homologie“.

In der SFT können die Kontakt-Mannigfaltigkeiten durch Abbildungs-Tori (mapping tori) der symplektischen Mannigfaltigkeiten mit Symplektomorphismen ersetzt werden. Während die zylindrische Kontakt-Homologie wohldefiniert ist (und durch die SFH der Potenzen der Symplektomorphismen gegeben ist), können (rationale) symplektische Feldtheorie und Kontakt-Homologie als verallgemeinerte SFH betrachtet werden.

Ähnlich kann ein Analogon zur „eingebetteten Kontakt-Homologie“ (ECH) für die Abbildungs-Tori von Symplektomorphismen einer Fläche (auch mit Rand) definiert werden, die „Periodische FH“, die die SFH von Flächen-Symplektomorphismen verallgemeinert. Sie ist vermutlich mit der ECH verbunden.

Floer-Homotopie

Ein möglicher Weg, FH-Theorie für ein Objekt zu konstruieren, wäre die Konstruktion eines zugehörigen „Spektrums“, dessen gewöhnliche Homologie die gesuchte FH wäre. Andere Invarianten würden sich aus der Anwendung anderer Homologietheorien auf dieses Spektrum ergeben. Die Strategie wurde von Ralph Cohen, John D. S. Jones, and Graeme Segal vorgeschlagen und in bestimmten Fällen für die Seiberg-Witten-FH von Kronheimer und Manolescu und für die symplektische FH von Kotangentialbündeln von Cohen durchgeführt.

Weiterentwicklung von Techniken

Viele dieser FH sind nicht vollständig und streng konstruiert worden, und viele vermutete Äquivalenzen sind noch offen. Probleme ergeben sich aus technischen Schwierigkeiten z. B. in der Kompaktifizierung der Modulräume der pseudoholomorphen Kurven. Hofer hat zusammen mit Kris Wysocki und Eduard Zehnder neue Techniken mit ihren Theorien der Polyfaltigkeiten und der „verallgemeinerten Fredholm-Theorie“ entwickelt.

Berechnung

Floer-Homologien (FH) sind im Allgemeinen schwierig explizit zu berechnen. Beispielsweise ist die symplektische FH nicht einmal für alle Flächen-Symplektomorphismen bekannt. Die Heegaard-FH ist die Ausnahme – sie ist für verschiedene Klassen von 3-Mannigfaltigkeiten berechnet worden, und dabei wurde ihr Zusammenhang mit anderen Invarianten beleuchtet.

Literatur

Bücher und Überblicksartikel:

• Michael Atiyah: New invariants of 3- and 4-dimensional manifolds. In: The mathematical heritage of Hermann Weyl. (Proceedings of the Symposium on the Mathematical Heritage of Hermann Weyl. Held at the Duke University, Durham, North Carolina, May 12–16, 1987) (= Proceedings of Symposia in pure Mathematics. Bd. 48). American Mathematical Society, Durham NC 1988, ISBN 0-8218-1482-6, S. 285–299.
• Augustin Banyaga, David Hurtubise Lectures on Morse Homology (= Kluwer Texts in the Mathematical Sciences. Bd. 29). Kluwer Academic Publishers, Dordrecht u. a. 2004, ISBN 1-4020-2695-1.
• Simon K. Donaldson, M. Furuta, D. Kotschick Floer Homology groups in Yang-Mills theory (= Cambridge Tracts in Mathematics. Bd. 147). Cambridge University Press, Cambridge u. a. 2002, ISBN 0-521-80803-0.
• David A. Ellwood, Peter S. Ozsvath, Andras I. Stipsicz, Zoltan Szabo (Hrsg.): Floer Homology, Gauge Theory, and Low-dimensional. Proceedings of the Clay Mathematics Institute 2004 Summer School, Alfréd Rényi Institute of Mathematics, Budapest, Hungary, June 5–26, 2004 (= Clay Mathematics Proceedings. Bd. 5). American Mathematical Society u. a., Providence RI 2006, ISBN 0-8218-3845-8.
• Dusa McDuff, Dietmar Salamon: Introduction to Symplectic Topology (= Oxford Mathematical Monographs). 2nd edition. Clarendon Press, Oxford 1998, ISBN 0-19-850451-9.
• Dusa McDuff: Floer theory and low dimensional topology. In: Bulletin of the American Mathematical Society. Bd. 43, Nr. 1, 2006, ISSN 0273-0979, 25–42, (PDF; 323 kB).
• Matthias Schwarz: Morse Homology (= Progress in Mathematics. Bd. 111). Birkhäuser, Basel u. a. 1993, ISBN 3-7643-2904-1.

Artikel:

• Andreas Floer: The unregularized gradient flow of the symplectic action. In: Communications on Pure and Applied Mathematics. Bd. 41, Nr. 6, 1988, ISSN 0010-3640, S. 775–813, doi:10.1002/cpa.3160410603.
• Andreas Floer: An instanton-invariant for 3-manifolds. In: Communications in Mathematical Physics. Bd. 118, Nr. 2, 1988, ISSN 0010-3616, S. 215–240, Project Euclid.
• Andreas Floer: Morse theory for Lagrangian intersections. In: Journal of Differential Geometry. Bd. 28, 1988, ISSN 0022-040X, S. 513–547.
• Andreas Floer: Cuplength estimates on Lagrangian intersections. In: Communications on Pure and Applied Mathematics. Bd. 42, Nr. 4, 1989, S. 335–356, doi:10.1002/cpa.3160420402.
• Andreas Floer: Symplectic fixed points and holomorphic spheres. In: Communications in Mathematical Physics. Bd. 120, Nr. 4, 1989, S. 575–611, doi:10.1007/BF01260388.
• Andreas Floer: Witten's complex and infinite dimensional Morse Theory. In: Journal of Differential Geometry. Bd. 30, 1989, S. 202–221.
• Mikhail Gromov: Pseudo holomorphic curves in symplectic manifolds. In: Inventiones Mathematicae. Bd. 82, 1985, S. 307–347.
• Helmut Hofer, Kris Wysocki, Eduard Zehnder: A General Fredholm Theory I: A Splicing-Based Differential Geometry. online.
• Peter Ozsváth, Zoltán Szabó: On the Heegaard Floer homology of branched double-covers. In: Advances in Mathematics. Bd. 194, Nr. 1, 2005, S. 1–33, doi:10.1016/j.aim.2004.05.008, a preprint.

Weblinks

• Dusa McDuff Elliptic Methods in Symplectic Geometry, Bulletin AMS, Bd. 23, 1990, S. 311
• Dusa McDuff Floer theory and low dimensional topology, Bulletin AMS, Bd. 43, 2005, S. 25
• Peter Ozsváth, Zoltán Szabó: An introduction to Heegaard Floer homology
• Ciprian Manolescu: An introduction to knot Floer homology
• Ciprian Manolescu: Floer theory and its topological applications
• Yakov Eliashberg, Alexander Givental, Helmut Hofer: Introduction to symplectic field theory

Einzelnachweise

1. ↑ Eine Variante der Khovanov-Homologie ist nach Ozsvath-Szabo (2005) über eine Spektralsequenz mit der Heegaard-Floer-Homologie einer entlang eines Knotens verzweigten Überlagerung verbunden.
2. ↑ Peter Kronheimer, Tomasz Mrowka: Monopoles and Three-Manifolds (= New Mathematical Monographs. Bd. 10). Cambridge University Press, Cambridge 2007, ISBN 978-0-511-54311-1, Besprechung im Zentralblatt.