Tristan Buckmaster (* 1985 in Melbourne) ist ein australischer Mathematiker, der sich mit partiellen Differentialgleichungen befasst.

Buckmaster wurde 2014 bei László Székelyhidi an der Universität Leipzig promoviert (Onsager's conjecture), wobei er auch am Max-Planck-Institut für Mathematik in den Naturwissenschaften in Leipzig war. Danach war er drei Jahre Courant Instructor an der New York University. Er wurde 2017 Assistant Professor an der Princeton University.

Buckmaster bewies 2017 mit Vlad Vicol, dass es Anfangsbedingungen gibt, bei denen schwache Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen in der Hydrodynamik – sie werden üblicherweise zur Modellierung von Flüssigkeiten mit Reibung verwendet und insbesondere für Turbulenz – nicht eindeutig sind.

Eines der Millennium-Probleme ist es zu zeigen, dass die Navier-Stokes-Gleichungen keine glatten Lösungen mit pathologischem Verhalten (Blow up, Divergenz in endlicher Zeit) zeigen. Seit Jean Leray (1934) werden häufig zunächst schwache Lösungen (von denen es mehrere Definitionsmöglichkeiten gibt, die aber generell aus der glatten, in jedem Punkt definierten Lösung durch Mittelung über eine Umgebung entstehen) betrachtet. Leray hatte in zwei Dimensionen gezeigt, dass bei Betrachtung der von ihm eingeführten schwachen Lösungen mit endlicher Energie kein Blow up der Navier-Stokes-Gleichungen auftritt – die schwachen Lösungen existieren für alle Zeiten. Dann kann man im nächsten Schritt den Übergang von schwachen zu glatten Lösungen untersuchen, um das angesprochene Millennium-Problem zu lösen (das allerdings zusätzlich drei Dimensionen verlangt).

Buckmaster und Vicol betrachteten eine noch allgemeinere Klasse schwacher Lösungen als Leray, die zuvor in den Untersuchungen von László Székelyhidi und Camillo De Lellis zu den Gleichungen der Hydrodynamik eingeführt wurden (Aufweichung der Energieungleichung und Verwendung konvexer Integration). Dann zeigten sie, dass schwache Lösungen der dreidimensionalen Navier-Stokes-Gleichungen nicht eindeutig sind. Das tritt sogar im Fall einer ruhenden Flüssigkeit als Anfangsbedingung auf. In diesem Fall gibt es zwei mögliche Lösungen, bei anderen Anfangsbedingungen mehr. Der nächste Schritt wäre zu zeigen, dass dies auch für die allgemeineren schwachen Lösungen nach Leray gilt. Würde sich das auch auf glatte Lösungen übertragen, wäre das ein entscheidender Beitrag zu dem zugehörigen Millennium-Problem, und die Navier-Stokes-Gleichungen oder deren Anwendungsgrenzen müssten dann aus mathematischer Sicht eventuell modifiziert werden.

Er spielte eine wichtige Rolle bei der endgültigen Lösung der Onsager-Vermutung (Lars Onsager 1949) über eine untere Schranke in der Hölder-Stetigkeit der schwachen Lösungen der inkompressiblen dreidimensionalen Eulergleichung mit Energieerhaltung, die Gegenstand seiner Dissertation war und vollständig von Philip Isett bewiesen wurde. Unterhalb dieser Schranke gibt es Lösungen mit anomaler Dissipation (nicht-verschwindende Dissipation der Energie im Grenzwert verschwindender Viskosität der Navier-Stokes-Gleichung, also Übergang zur Eulergleichung), die die Energieerhaltung verletzen.

Buckmaster befasste sich auch mit den Differentialgleichungen in der quasigeostrophischen Theorie (wie der für zweidimensionale Oberflächen SQG), der im Übergang verschwindender Viskosität aus der Navier-Stokes-Gleichung entstehenden Eulergleichung, der Korteweg-de-Vries-Gleichung, der Gleichungen der Magnetohydrodynamik (MHD) und der nichtlinearen Schrödingergleichung. Auch hier standen besonders Regularitätsfragen im Zentrum.

2019 erhielt er den Clay Research Award mit Philip Isett und Vlad Vicol. Buckmaster und Vicol erhielten ihn dafür, dass sie zeigten, dass schwache Lösungen der Navier-Stokes-Gleichung überraschend wild sein können (starke Abweichung von Glattheit und stark mehrdeutig). Isett erhielt den Preis für die oben erwähnte vollständige Lösung der Onsager-Vermutung.

Er ist Principal Researcher der Simons Collaboration for Wave Turbulence.

Schriften (Auswahl)

  • Onsager's conjecture almost everywhere in time, Communications in Mathematical Physics, Band 333, 2015, S. 1175–1198, Arxiv 2013
  • mit Camillo De Lellis, László Székelyhidi Jr.: Dissipative Euler Flows with Onsager-Critical Spatial Regularity, Communications on Pure and Applied Mathematics, Band 69, 2016, S. 1613–1670
  • mit Camillo De Lellis, László Székelyhidi Jr., Vlad Vicol: Onsager's conjecture for admissible weak solutions, Communications on Pure and Applied Mathematics, Arxiv 2017
  • mit C. De Lellis, P. Isett, L. Székelyhidi Jr.: Anomalous dissipation for 1/5-Hölder Euler flows , Annals of Mathematics, Band 182, 2015, S. 127–172
  • mit Vlad Vicol: Nonuniqueness of weak solutions to the Navier-Stokes equation, Annals of Mathematics, Band 189, 2019, S. 101–144, Arxiv
  • mit Maria Colombo, Vlad Vicol: Wild solutions of the Navier-Stokes equations whose singular sets in time have Hausdorff dimension strictly less than 1, Arxiv 2018
  • mit Vlad Vicol: Convex integration and phenomenologies in turbulence, EMS Surveys in Mathematical Sciences, 2019, Arxiv 2019

Einzelnachweise

  1. ↑ Tristan Buckmaster im Mathematics Genealogy Project (englisch)
  2. ↑ Isett, A proof of Onsager’s conjecture, Annals of Mathematics, Band 188, 2018, S. 871–963
  3. ↑ Clay Research Award 2019
  4. ↑ Simons Collaboration for Wave Turbulence, mit Biografie von Buckmaster
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