Allgemeine Formulierung des Induktionsgesetzes für eine Leiterschleife

Obwohl die allgemeine Formulierung des Induktionsgesetzes keine Leiterschleife erfordert, soll zunächst wie in vielen einführenden Lehrbüchern üblich die Induktion an einer aus dünnem, gut leitfähigem Draht bestehenden Leiterschleife betrachtet werden. Hierdurch lassen sich eine große Anzahl technischer Anwendungen wie beispielsweise Motoren und Generatoren für Dreh- und Wechselstrom beschreiben und verstehen, ohne dass dazu eine Behandlung der relativistischen Aspekte der Feldtheorie oder die Anwendung der Lorentztransformation erforderlich wäre.

Für die zwischen beiden Drahtenden mit einem im Laborsystem ruhenden oder auch bewegten Messgerät (beispielsweise mit einem Oszilloskop) messbare elektrische Spannung ${\displaystyle U}$ ergibt sich unter den Voraussetzungen, die im nebenstehenden Bild gekennzeichnet sind:

${\displaystyle U=+{\frac {{\text{d}}\Phi }{{\text{d}}t}}.}$

Hierbei ist ${\displaystyle \Phi }$ der magnetische Fluss

${\displaystyle \Phi =\int \limits _{{\mathcal {A}}(t)}{\vec {B}}\cdot {\text{d}}{\vec {A}},}$

der durch eine (beliebige) von der Leiterschleife, den Zuleitungen zum Messgerät und den Leitungen im Messgerät begrenzte Fläche ${\displaystyle {\mathcal {A}}(t)}$ hindurchtritt. Es kann gezeigt werden, dass es bei der Berechnung des Flusses nicht auf die Form der Fläche, sondern ausschließlich auf deren Berandung ankommt. Ebenso ist es bei der Rechnung nicht notwendig zu unterscheiden, ob die elektrische Spannung der Anordnung durch eine Änderung der Flussdichte oder durch eine Bewegung des Leiters erzeugt wird.

Bei der Festlegung des Vorzeichens in der Gleichung ${\displaystyle U={\tfrac {{\text{d}}\Phi }{{\text{d}}t}}}$ ist zu beachten, dass das Vorzeichen sowohl von der Einbaurichtung des Messgerätes, als auch von der Flächenorientierung abhängt und daher immer zusammen mit dem zugehörigen Schaltbild gelesen werden muss.

Die Flächenorientierung ist im Schaltbild durch den eingezeichneten Pfeil beim Flächenelement ${\displaystyle {\text{d}}{\vec {A}}}$ gekennzeichnet. Der Pfeil bei der Spannungsangabe ${\displaystyle U}$ definiert wiederum die Einbaurichtung des Messgerätes. Die vorliegende Bepfeilung bei der Spannung (Pfeil zeigt von oben nach unten) bedeutet, dass an der oberen Anschlussklemme das rote Anschlusskabel des Digitalvoltmeters und an der unteren Anschlussklemme das schwarze Anschlusskabel des Digitalvoltmeters angeschlossen wird. Würde man das Messgerät herumdrehen (Spannungspfeil von unten nach oben) oder die Flächenorientierung umgekehrt wählen, so würde sich in der Gleichung ein negatives Vorzeichen ergeben. Ein positives Vorzeichen ergäbe sich hingegen wiederum, wenn man sowohl die Orientierung des Spannungspfeils als auch die Flächenorientierung herumdrehen würde.

Beispiel: Induktion durch Bewegung des Leiters

Der im nebenstehenden Bild skizzierte Messaufbau besteht aus einer ruhenden elektrisch leitfähigen Schienenanordnung, über die mit der Geschwindigkeit ${\displaystyle v}$ ein Leiterstab gleitet. Die Anordnung befindet sich in einem örtlich und zeitlich konstanten magnetischen Feld mit der Flussdichte ${\displaystyle {\vec {B}}_{0}}$, das durch einen ruhenden Permanentmagneten oder eine ruhende mit Gleichstrom betriebene Spulenanordnung hervorgerufen wird. Die Spannung zwischen den beiden Schienen wird mit einem Voltmeter gemessen.

Die Spannung ${\displaystyle U}$ hängt von der Stärke der magnetischen Flussdichte ${\displaystyle B}$, der Geschwindigkeit ${\displaystyle v}$ und dem Schienenabstand ${\displaystyle L}$ ab:

${\displaystyle U=L\cdot B_{0}\cdot v}$

Diese Spannung kann mithilfe des zuvor formulierten Induktionsgesetzes für eine Leiterschleife verstanden werden. Da die magnetischen Feldlinien die aufgespannte Fläche senkrecht durchstoßen, kann der magnetische Fluss berechnet werden als

${\displaystyle \Phi =B_{0}\cdot A,}$

wobei die Fläche eine rechteckige Fläche mit dem Flächeninhalt

${\displaystyle A=L\cdot x}$

ist.

Der von den Leitern eingeschlossene magnetische Fluss beträgt folglich:

${\displaystyle \Phi =B_{0}\cdot A=B_{0}\underbrace {Lx} _{=A}=B_{0}\cdot L\cdot x}$

Da die Geschwindigkeit definiert ist als

${\displaystyle v={\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}t}},}$

kann man auch schreiben:

${\displaystyle U={\frac {{\text{d}}\Phi }{{\text{d}}t}}=B_{0}\cdot L\cdot {\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}t}}=B_{0}\cdot L\cdot v}$

Man spricht in diesem Fall von der sogenannten Bewegungsinduktion, da die Spannung einzig durch die Bewegung des Leiters entstanden ist und die zeitliche Änderung der Flussdichte keine Rolle spielte.

Bei Bewegungsinduktion lässt sich die Entstehung der Spannung immer als Folge der Lorentzkraft auf die im Leiterstab vorhandenen Leitungselektronen verstehen. Im vorliegenden Beispiel erklärt sich die Entstehung der Spannung wie folgt:

• Die Lorentzkraft übt auf die Elektronen eine Kraft ${\textstyle {\vec {F}}_{\mathrm {L} }=q\cdot \left({\vec {v}}\times {\vec {B}}_{0}\right)}$ aus, wobei ${\displaystyle q=-1{,}602\cdot 10^{-19}\ \mathrm {C} }$ die Ladung eines Elektrons und ${\displaystyle {\vec {v}}}$ die Geschwindigkeit des Elektrons ist.
• Die Richtung der Kraft lässt sich mit der UVW-Regel oder der Rechte-Hand-Regel nachvollziehen. In der Zeichnung wird der Leiter von links nach rechts bewegt (${\displaystyle \Rightarrow }$ Daumen der rechten Hand zeigt nach rechts). Das schwachgraue Muster im Hintergrund des Bildes symbolisiert Feldlinien des Magnetfeldes ${\displaystyle {\vec {B}}_{0}}$, die senkrecht zur Ebene der Schienenanordnung vom Betrachter weg verlaufen (${\displaystyle \Rightarrow }$ Zeigefinger zeigt in die Zeichenebene hinein). Der Mittelfinger zeigt dementsprechend in Richtung der Kraftrichtung, die auf positive Ladungsträger ausgeübt würde (${\displaystyle \Rightarrow }$ Mittelfinger zeigt von der unteren Schiene auf die obere Schiene). Folglich werden negativ geladene Elektronen zur unteren Schiene hin verschoben.
• Aufgrund der Lorentzkraft verschieben sich die Elektronen so, dass auf der oberen Schiene ein Elektronenmangel und auf der unteren Schiene ein Elektronenüberschuss entsteht.
• Aus der ungleichmäßigen Ladungsverteilung ergibt sich ein elektrisches Feld, das der Lorentzkraft entgegenwirkt.
• Im Gleichgewichtsfall sind die Lorentzkraft ${\displaystyle {\vec {F}}_{\mathrm {L} }}$ und die Coulombkraft ${\displaystyle {\vec {F}}_{\mathrm {C} }}$ entgegengesetzt gleich, und es gilt:

${\displaystyle {\vec {E}}=-{\vec {v}}\times {\vec {B}}_{0}}$

Die elektrische Feldstärke zeigt in Richtung auf die untere Schiene und erklärt die auftretende Klemmenspannung.

Beispiel: Induktion durch Flussdichteänderung

Eine Änderung des magnetischen Flusses lässt sich auch dadurch erreichen, dass man die magnetische Flussdichte ändert. Dies geschieht im nebenstehenden Beispiel dadurch, dass man einen Magneten von links kommend unter der Leiterschleife hindurchschiebt. Die Darstellung wurde so gewählt, dass sich die gleiche Flussänderung wie beim Beispiel „Induktion durch Bewegung des Leiters“ ergibt. Folglich ergibt sich an den Klemmen der Anordnung auch die gleiche Spannung:

${\displaystyle U=-{\frac {{\text{d}}\Phi }{{\text{d}}t}}=-B_{0}\cdot L{\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}t}}=-B_{0}\cdot L\cdot v}$

Obwohl bei beiden Experimenten die gleiche Flussänderung und die gleiche Spannung auftreten, unterscheiden sich beide Experimente ansonsten sehr stark. Dies gilt insbesondere im Hinblick auf das elektrische Feld: Beim Beispiel „Induktion durch Bewegung des Leiters“ liegt ein elektrostatisches Feld vor, während beim Beispiel „Induktion durch Flussdichteänderung“ ein elektrisches Feld mit starken Wirbelanteilen vorliegt.

Technische Anwendungen

In der Technik findet das Induktionsgesetz in vielfacher Hinsicht Anwendung. Allen Beispielen ist gemein, dass durch Änderung des magnetischen Flusses eine stromtreibende Wirkung erzielt wird. Dies geschieht entweder durch Bewegung eines Leiters in einem magnetischen Feld (Bewegungsinduktion) oder durch Änderungen des Magnetfeldes:

• Induktionsschleife für Kfz zur Steuerung von Verkehrsampelanlagen und Schranken
• Dynamisches Mikrofon
• Dynamisches (Magnet-)Tonabnehmersystem für Plattenspieler
• Tonabnehmer für elektrische Saiteninstrumente (z. B. E-Gitarre und E-Bass)
• Tonkopf zur Abtastung von Magnetbändern
• Generator = Dynamo = Lichtmaschine
• RFID-Tag (beispielsweise Ski-Pass)
• Transkranielle Magnetstimulation
• Induktionsgeber (auch induktiver Impulsgeber) als Drehzahlsensor (z. B. im Kfz-Bereich)
• Induktionshärten
• Induktionslampe
• Induktionssender
• Transformator
• Ringschleifenanlage für die Übertragung von Audiosignalen in Hörgeräte
• Aufwärtswandler
• Betatron
• Induktions-Linearbeschleuniger
• Induktive Erwärmung durch Wirbelströme: Induktionsofen, Induktionshärten, das Induktionsfeld, Induktionskochfeld

Erkennen der Flussänderung

Wenn an den Klemmen einer starren Leiterschleife eine Spannung abgreifbar ist, so kann diese dem Induktionsgesetz für Leiterschleifen entsprechend immer auf eine Flussänderung in der Leiterschleife zurückgeführt werden.

• Bei der Bewegung der Leiterschleife tritt eine Flussänderung auf.
• Bei der Bewegung der Leiterschleife tritt ebenfalls eine Flussänderung auf, die aber oft nicht erkannt wird.
• Die magnetische Flussdichte in den Schenkeln des Hufeisenmagneten ist nicht konstant.

Hübel weist unter dem Stichwort „Hufeisenparadoxon“ darauf hin, dass diese Flussänderung in manchen Fällen dem ungeübten Auge verborgen bleibt und diskutiert die Probleme anhand verschiedener Anordnungen mit Hufeisenmagneten, wie sie typischerweise im Schulunterricht verwendet werden (vgl. nebenstehende Bilder).

Während die Flussänderung in der Leiterschleife in der ersten Anordnung für Anfänger normalerweise leicht erkennbar ist, misslingt dies vielen Lernenden bei dem zweiten Bild. Die Lernenden konzentrieren sich auf den mit Luft erfüllten Bereich der Anordnung und berücksichtigen nicht, dass die Flussdichte zum Pol des Permanentmagneten hin nur im Innenbereich kontinuierlich zunimmt, während sie maßgeblich zu den Polen hin im Magneten abnimmt (siehe drittes Bild).

Anordnung mit Rollkontakten – Versuch von Hering

Das nebenstehend dargestellte Experiment zum Heringschen Paradoxon, benannt nach Carl Hering, zeigt, dass am Spannungsmessgerät kein Ausschlag stattfindet, obwohl bei einer bestimmten Betrachtung eine Flussänderung vorliegt.

Anordnung: Ein elektrisch ideal leitfähiger Permanentmagnet wird mit der Geschwindigkeit ${\displaystyle v}$ in eine Leiterschleife hineinbewegt. Die obere und untere Kontaktfläche des Magneten sind über feststehende Rollen elektrisch leitend mit den eingezeichneten Leiterdrähten verbunden.

Paradoxon: Der scheinbare Widerspruch des Experimentes zum Induktionsgesetz ist durch eine formale Betrachtung auflösbar. Dabei führen Form I und Form II mit ruhender oder auch konvektiver (im Magneten mitwandernder) Umlaufkurve zum (gemessenen) Ergebnis, dass keine Spannung induziert wird. Die Tabelle gibt exemplarisch die Terme an, die bei Form II anfallen.

Anordnung von C. Hering – Zwei Varianten der Spannungsberechnung

Induktionsgesetz Form II	${\displaystyle \textstyle \partial {\mathcal {A}}}$	${\displaystyle \textstyle {\vec {u}}}$	${\displaystyle \textstyle \int _{\mathrm {C} DAB}{\vec {E}}\cdot {\text{d}}{\vec {s}}}$	${\displaystyle \textstyle \int _{\mathrm {B} C}{\vec {E}}\cdot {\text{d}}{\vec {s}}}$	${\displaystyle \textstyle \int \limits _{\mathrm {B} C}{\vec {u}}\times {\vec {B}}\cdot {\text{d}}{\vec {s}}}$	${\displaystyle \textstyle -{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\int \limits _{{\mathcal {A}}(t)}{\vec {B}}\cdot {\text{d}}{\vec {A}}}$
${\displaystyle \textstyle \oint \limits _{\partial {\mathcal {A}}}{({\vec {E}}+{\vec {u}}\times {\vec {B}})\cdot {\text{d}}{\vec {s}}}=-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\int \limits _{\mathcal {A}}{\vec {B}}\cdot {\text{d}}{\vec {A}}\quad \quad }$	ruhend	0	${\displaystyle \textstyle U}$	${\displaystyle \textstyle -vBL}$	0	${\displaystyle \textstyle -vBL}$
${\displaystyle \textstyle \oint \limits _{\partial {\mathcal {A}}(t)}{({\vec {E}}+{\vec {u}}\times {\vec {B}})\cdot {\text{d}}{\vec {s}}}=-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\int \limits _{{\mathcal {A}}(t)}{\vec {B}}\cdot {\text{d}}{\vec {A}}\quad \quad }$	konvektiv	${\displaystyle \textstyle {\vec {v}}}$	${\displaystyle \textstyle U}$	${\displaystyle \textstyle -vBL}$	${\displaystyle \textstyle +vBL}$	0

Gegenüber dem hohen Innenwiderstand des Spannungsmessers sind die auf die ruhende Messleitung und den bewegten Magneten entfallenden Widerstände vernachlässigbar. Deshalb kann im ruhenden Teil CDAB nur im Spannungsmesser eine elektrische Feldstärke existieren, sodass dort der Beitrag zum Umlaufintegral von ${\displaystyle \textstyle {\vec {E}}}$ gleich ${\displaystyle \textstyle U}$ ist (4. Spalte der Tabelle). Der Term ${\displaystyle \textstyle -vLB}$ in der 5. Spalte rührt daher, dass der bewegte magnetisierte Körper im Laborsystem elektrisch polarisiert erscheint. Der Term gibt die entsprechende elektrische Spannung an. Zum gleichen Resultat führt auch die Transformationsbeziehung zwischen elektrischer Feldstärke und magnetischer Flussdichte ${\displaystyle \textstyle {\vec {E}}'={\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}}}$ nach Lorentz bei ${\displaystyle \textstyle {\vec {E}}'=0}$. In den magnetischen Schwund in der Spalte rechts außen geht die Bewegung der Randlinie ein. Bei bewegtem Abschnitt BC bleibt der Fluss konstant. Ruhende oder bewegte Randlinie führen mit den angegebenen Termen zum (auch gemessenen) Resultat ${\displaystyle \textstyle U=0}$.

Induktionsgesetz in differentieller Form

Das Induktionsgesetz in differentieller Form lautet:

${\displaystyle \operatorname {rot} {\vec {E}}=-{\dot {\vec {B}}}}$

Das Vorhandensein von elektrischen Wirbeln bzw. einer zeitveränderlichen magnetischen Flussdichte ist das wesentliche Kennzeichen von Induktion. In elektrischen Feldern ohne Induktion (z. B. in dem Feld unbewegter Ladungen) existieren keine geschlossenen Feldlinien der elektrischen Feldstärke ${\displaystyle E}$, und das Umlaufintegral der elektrischen Feldstärke ergibt immer null.

Seine Hauptanwendung findet das Induktionsgesetz in differentieller Form einerseits bei theoretischen Herleitungen und in der numerischen Feldberechnung, andererseits (jedoch seltener) in der analytischen Berechnung konkreter technischer Fragestellungen.

Wie in Einsteins erstem Werk über die spezielle Relativitätstheorie gezeigt wurde, stehen die Maxwellgleichungen in differentieller Form in Übereinstimmung mit der speziellen Relativitätstheorie. Eine an den heutigen Sprachgebrauch angepasste Herleitung hierzu findet sich in dem inzwischen vergriffenen Lehrbuch von Simonyi.

Übergang von der differentiellen Form zur Integralform

Der Zusammenhang zwischen der Integralform und der differentiellen Form kann mithilfe des Satzes von Stokes mathematisch beschrieben werden. Dabei werden die globalen Wirbel- und Quellenstärken in lokale, diskrete Wirbel- bzw. Quellendichten, die einzelnen Raumpunkten (Punkten eines Vektorfeldes) zugeordnet sind, übergeführt.

Ausgangspunkt ist das Induktionsgesetz in differentieller Form:

${\displaystyle \operatorname {rot} {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}}$

Zur Überführung in die integrale Form wird der Satz von Stokes verwendet, der aus naheliegenden Gründen mit der Variablen ${\displaystyle {\vec {E}}}$ formuliert wird:

${\displaystyle \oint \limits _{\partial {\mathcal {A}}}{\vec {E}}\,{\text{d}}{\vec {s}}=\int \limits _{\mathcal {A}}\operatorname {rot} {\vec {E}}\,{\text{d}}{\vec {A}}}$

Ersetzt man im rechten Term des Stokesschen Gesetzes das Vektorfeld ${\displaystyle {\vec {E}}}$ entsprechend dem Induktionsgesetz in differentieller Form durch den Term ${\displaystyle -{\tfrac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}}$, so ergibt sich:

${\displaystyle \oint \limits _{\partial {\mathcal {A}}}{\vec {E}}\,{\text{d}}{\vec {s}}=-\int \limits _{\mathcal {A}}{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}\,{\text{d}}{\vec {A}}}$

Das ist eine mögliche allgemeine Form des Induktionsgesetzes in Integralform, die entgegen vielen anderslautenden Behauptungen sowohl für Konturlinien in ruhenden Körpern als auch in bewegten Körpern angewendet werden kann.

Um eine Formulierung zu erhalten, die den magnetischen Fluss ${\displaystyle \Phi =\int \limits _{\mathcal {A}}{\vec {B}}\,{\text{d}}{\vec {A}}}$ enthält, addiert man auf beiden Seiten der Gleichung den Term ${\displaystyle \oint \limits _{\partial {\mathcal {A}}}({\vec {u}}\times {\vec {B}})\,{\text{d}}{\vec {s}}}$. Dabei ergibt sich:

${\displaystyle \oint \limits _{\partial {\mathcal {A}}}\left({\vec {E}}+{\vec {u}}\times {\vec {B}}\right)\,{\text{d}}{\vec {s}}=-\int \limits _{\mathcal {A}}{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}\,{\text{d}}{\vec {A}}+\oint \limits _{\partial {\mathcal {A}}}({\vec {u}}\times {\vec {B}})\,{\text{d}}{\vec {s}}}$

Der rechte Teil der Gleichung entspricht wegen ${\displaystyle \operatorname {div} {\vec {B}}=0}$ der negativen zeitlichen Änderung des magnetischen Flusses, sodass das Induktionsgesetz in Integralform in voller Allgemeingültigkeit auch folgendermaßen notiert werden kann:

${\displaystyle \oint \limits _{\partial {\mathcal {A}}}\left({\vec {E}}+{\vec {u}}\times {\vec {B}}\right)\,{\text{d}}{\vec {s}}=-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\int \limits _{\mathcal {A}}{\vec {B}}\,{\text{d}}{\vec {A}}}$

In vielen Lehrbüchern werden diese Zusammenhänge leider nicht richtig notiert, was daran erkennbar ist, dass der auf der linken Gleichungsseite notierte Term ${\displaystyle {\vec {u}}\times {\vec {B}}}$ fehlt. In der neuen Auflage ist der Fehler behoben. Richtig notiert wird das Induktionsgesetz hingegen beispielsweise bei Fließbach.

Der Irrtum besteht wahrscheinlich darin, dass der fehlende Term irrtümlich der elektrischen Feldstärke zugeschlagen wird. (Manche Autoren sprechen in diesem Zusammenhang auch von einer effektiven elektrischen Feldstärke.) In seiner Konsequenz führt das Weglassen des Terms ${\displaystyle {\vec {u}}\times {\vec {B}}}$ dazu, dass die Größe ${\displaystyle E}$ inkonsistent verwendet wird und je nach Zusammenhang eine unterschiedliche Bedeutung hat.

Induktionsgesetz in Integralform

Im folgenden Abschnitt wird die erste Integralform des Induktionsgesetzes betrachtet:

${\displaystyle \oint \limits _{\partial {\mathcal {A}}}{\vec {E}}\,\mathrm {d} {\vec {s}}=-\int \limits _{\mathcal {A}}{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} {\vec {A}}}$

Entsprechend der mathematischen Formulierung des Integrals wird die Fläche ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ zu einem konstanten Zeitpunkt betrachtet und deren zeitliche Änderung nicht berücksichtigt.

Im Hinblick auf den Begriff der induzierten Spannung – das Integral über die elektrische Feldstärke – wird zunächst die im nebenstehenden Bild eingezeichnete Verbindungslinie zwischen den Punkten A und B in einem elektrischen Feld betrachtet.

Die Spannung zwischen den Punkten A und B („äußerer Pole“ einer „Steckdose“) kann man näherungsweise berechnen, indem man den Weg in viele kleine Wegelemente ${\displaystyle {\text{d}}{\vec {r}}}$ unterteilt. Da man aufgrund der nur geringen Länge näherungsweise von einer konstanten elektrischen Feldstärke entlang eines solchen Wegstückes ausgehen kann, ergibt sich für die Teilspannung entlang eines Wegelementes im Innern der Wert

${\displaystyle {\text{d}}U\approx +{\vec {E}}(x,y,z)\cdot {\text{d}}{\vec {r}}={+{E}_{\text{tan}}}\,{\text{d}}r.}$

Als Gesamtspannung zwischen beiden Punkten ergibt sich somit

${\displaystyle \Delta U\approx +{\vec {E}}({{x}_{1}},{{y}_{1}},{{z}_{1}})\cdot {\text{d}}{{\vec {r}}_{1}}+{\vec {E}}({{x}_{2}},{{y}_{2}},{{z}_{2}})\cdot {\text{d}}{{\vec {r}}_{2}}+\dotsb +{\vec {E}}({{x}_{n}},{{y}_{n}},{{z}_{n}})\cdot {\text{d}}{{\vec {r}}_{n}}.}$

Die exakte Darstellung wird mithilfe eines Integrals definiert. Dieses kann man sich als Grenzwert für unendlich viele Wegstücke mit unendlich kleiner Länge ${\displaystyle \left|{\text{d}}{\vec {r}}\right|\to 0}$ vorstellen. Zur Berechnung definiert man i. A. eine von einem Parameter ${\displaystyle \xi }$ abhängige Funktion ${\displaystyle {\vec {r}}(\xi )}$, die im Bereich ${\displaystyle \xi =0\dots 1}$ die Punkte entlang der Wegstrecke beschreibt (im Innern also in Pfeilrichtung). Die Spannung zwischen beiden Punkten kann dann über ein Kurvenintegral formal erfasst werden:

${\displaystyle \Delta U=\int _{\xi =0}^{1}{{\vec {E}}(}{\vec {r}})\cdot {\frac {\partial {\vec {r}}(\xi )}{\partial \xi }}{\text{d}}\xi =:\int _{A}^{B}{\vec {E}}\cdot {\text{d}}{\vec {r}}\,,}$ berechnet in Pfeilrichtung

Lässt man nun den Punkt entlang der Kontur ${\displaystyle C=\partial {\mathcal {A}}}$ eines Gesamtumlaufes weiterwandern, bis er die eingeschlossene Fläche genau einmal umrundet hat und wieder mit Ausgangspunkt identisch wird ${\displaystyle (B=A),}$ ergibt sich als Gesamtwert die in der geschlossenen Leiterschleife induzierte Umlaufspannung ${\displaystyle U_{\text{ind}}}$:

${\displaystyle U_{\text{ind}}=\oint _{C}E_{\text{tan}}{\text{d}}r=\oint _{C}{\vec {E}}\cdot {\text{d}}{\vec {r}}}$

Hinsichtlich des Vorzeichens ist zu berücksichtigen, dass die Kontur die Fläche dabei im Sinne der Rechte-Hand-Regel umrundet.

Der dritte Ausdruck obiger Gleichungen ist dabei die dem zweiten Ausdruck gleichwertige vektorielle Darstellung des tangentialen Feldstärkeanteils mithilfe des Skalarproduktes, und die beiden Integrale sind sogenannte Ringintegrale, die immer dann verwendet werden, wenn (wie hier) längs eines geschlossenen Weges integriert wird, in diesem Fall entlang der Kontur der Leiterschleife ${\displaystyle C.}$

Die induzierte Spannung lässt sich bei einer nichtbewegten Leiterschleife näherungsweise als Spannungsabfall mit einem Spannungsmessgerät messen, wenn man entlang der geschlossenen Linie eine Leiterschleife anbringt und diese an einer Stelle auftrennt. Da über dem Leiterdraht nahezu keine elektrische Spannung abfällt, liegt die ganze induzierte Spannung zwischen den Klemmen.

Induktionsbeispiel: Bewegter Leiterstab im Magnetfeld (mit Stromfluss)

In Abänderung des weiter oben diskutierten Beispiels eines „bewegten Leiterstabes im homogenen Magnetfeld“ wird hier ein Stromkreis mit endlichem Widerstand betrachtet, sodass es bei der Bewegung des Leiterstabes im Magnetfeld zu einem Stromfluss kommt. Für die Stromstärke gilt:

${\displaystyle I={\frac {U}{R}}={\frac {\frac {{\text{d}}\Phi }{{\text{d}}t}}{R}}}$

Hierbei wird die gesamte Flussänderung in der Leiterschleife betrachtet. Da aber die Induktivität ${\displaystyle L_{\Phi }\approx 0}$ für eine Leiteranordnung wie hier genähert werden kann, ist auch der stromabhängige magnetische Fluss ${\displaystyle \Phi _{L}=L_{\Phi }I\approx 0}$ und die dazugehörige Flussänderung ${\displaystyle {\tfrac {{\text{d}}\Phi _{L}}{{\text{d}}t}}=L_{\Phi }{\tfrac {{\text{d}}I}{{\text{d}}t}}\approx 0}$ vernachlässigbar. Die induzierte Stromstärke ist damit:

${\displaystyle I={\frac {vLB_{0}}{R}}}$

Wird der Leiterstab mit der konstanten Geschwindigkeit ${\displaystyle v}$ bewegt, wird mechanische Arbeit verrichtet. Die Kraft ist die Lorentzkraft auf einen stromdurchflossenen Leiter der Länge ${\displaystyle L}$ im Magnetfeld der Flussdichte ${\displaystyle B_{0}}$:

${\displaystyle {\vec {F}}=I{\vec {L}}\times {\vec {B}}_{0},}$ hier: ${\displaystyle F=I\,L\,B_{0}}$

Für die elektrische Leistung, die im Widerstand umgesetzt wird, gilt ${\displaystyle P=UI}$ und für die mechanische Leistung einer solchen gleichförmigen Bewegung gilt ${\displaystyle P=vF=vILB_{0}={\frac {U}{LB_{0}}}ILB_{0}=UI}$, nachdem man die entsprechenden Größen von oben eingesetzt hat. Es wird also mechanische Arbeit in elektrische umgewandelt.

Induktionsbeispiel: Leiterschleife im Magnetfeld

Dreht sich eine Leiterschleife mit der Winkelgeschwindigkeit ${\displaystyle \omega =2\pi f}$ in einem aus dem Laborsystem betrachtet zeitlich konstanten Magnetfeld, so verändert sich aus Sicht der Leiterschleife die magnetische Flussdichte ständig, und es ergibt sich ein veränderter magnetischer Fluss durch die Leiterschleife.

Die an den Klemmen im sich drehenden System gemessene Spannung kann folgendermaßen berechnet werden:

• Die durch die Leiterschleife berandete ebene Fläche hat den Flächeninhalt ${\displaystyle A=l_{1}l_{2}}$.
• Die magnetische Flussdichte ändert im Koordinatensystem des mitbewegten Beobachters ständig ihren Betrag und ihre Richtung. Nimmt man an, dass das Bild die Fläche zum Zeitpunkt ${\displaystyle t=0}$ zeigt, so beträgt der senkrecht auf die Fläche auftretende Anteil der Flussdichte ${\displaystyle B_{\mathrm {senkr} }(t)=\cos(2\pi ft)B}$.
• Der durch die Fläche ${\displaystyle A}$ hindurchstoßende magnetische Fluss beträgt dementsprechend ${\displaystyle \Phi (t)=BA\cos(2\pi ft)}$.
• Für die Spannung ${\displaystyle U}$ folgt somit mit Hilfe der Kettenregel:

${\displaystyle U={\frac {{\text{d}}\Phi }{{\text{d}}t}}=BA(-2\pi f)\sin(2\pi ft)}$

Induktionsbeispiel: Induktion bei einer elektrischen Spule mit mehreren Windungen

Das Induktionsgesetz ist auch für elektrische Spulen mit mehreren Windungen anwendbar. Die zur Berechnung des magnetischen Flusses erforderliche Fläche wird im nebenstehenden Bild veranschaulicht. Das Induktionsgesetz in seiner allgemeinen Form erfordert daher keinen Faktor ${\displaystyle N}$ für die Windungszahl der Spule, auch wenn der Spulendraht im konkreten Fall einen Zylinder mehrfach umläuft.

In den meisten Veröffentlichungen zur elektromagnetischen Induktion bei elektrischen Spulen wird der Einfachheit halber der Faktor ${\displaystyle N}$ für die Windungszahl eingeführt, und das Induktionsgesetz wird in der Form

${\displaystyle U={\frac {{\text{d}}\Psi }{{\text{d}}t}}\approx N{\frac {{\text{d}}\Phi _{\text{w}}}{{\text{d}}t}}}$

angegeben. Hierbei bezeichnet ${\displaystyle \Psi }$ den Fluss durch eine von dem Spulendraht und den Anschlüssen berandete Fläche, ${\displaystyle \Phi _{\text{w}}}$ den von einer einzelnen Windung umschlossenen magnetischen Fluss, und ${\displaystyle U}$ ist die gemessene Spannung.

Formulierungsvariante: ohmsches Gesetz für bewegte Leiter

Die Zusammenhänge bei Bewegungsinduktion lassen sich relativ leicht auch über das ohmsche Gesetz für bewegte Leiter erfassen. Im Unterschied zu einem ruhenden Leiter, bei dem ausschließlich die elektrische Feldstärke stromtreibend wirkt, wirkt auf die Ladungen in einem bewegten Leiter die komplette Lorentzkraft

${\displaystyle {\vec {F}}_{\mathrm {L} }=q({\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}}).}$

Für nichtrelativistische Geschwindigkeiten ${\displaystyle v\ll c}$ ist die im ruhenden Bezugssystem gemessene Lorentzkraft gleich groß wie die Kraft, die die Ladung im mitbewegten System erfährt.

Für bewegte Materialien, für die das ohmsche Gesetz gilt, kann die spezifische Leitfähigkeit ${\displaystyle \kappa }$ durch die Gleichung

${\displaystyle {\vec {J}}=\kappa ({\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}})}$

mit der elektrischen Feldstärke ${\displaystyle {\vec {E}}}$, der Geschwindigkeit ${\displaystyle {\vec {v}}}$ des jeweiligen Leiterelements und der magnetischen Flussdichte ${\displaystyle {\vec {B}}}$ definiert werden. Das ohmsche Gesetz lautet dann wie im Falle unbewegter Materialien

${\displaystyle {\begin{aligned}\kappa ={\text{konstant}}\end{aligned}}.}$

Formulierungsvariante: Zeitlich integrierte Form, Spannungszeitfläche

Durch Integration über die Zeit lässt sich das Induktionsgesetz für Leiterschleifen folgendermaßen umformen:

${\displaystyle \Phi _{\text{w}}(t)=\Phi _{\text{w}}(0)+{\frac {1}{N}}\cdot \int \limits _{0}^{t}U_{\mathrm {i} }(\tau )\,{\text{d}}\tau }$

Diese Beziehung beschreibt den Flussverlauf als Integralfunktion des Spannungsverlaufs.

Betrachtet man den Vorgang in einem Zeitintervall von ${\displaystyle 0}$ bis ${\displaystyle T}$ bei konstanter Fläche, durch die der magnetische Fluss tritt – das Zeitintervall kann sich beispielsweise über eine Halbperiode einer Wechselspannung erstrecken –, so folgt daraus für den sich dann ergebenden Fluss

${\displaystyle \Phi _{\mathrm {w} }(T)-\Phi _{\mathrm {w} }(0)={\frac {1}{N}}\cdot \int _{0}^{T}U_{\mathrm {i} }(\tau )\,\mathrm {d} \tau .}$

Für den Fall ${\displaystyle \Phi _{\mathrm {w} }(0)=0}$ bedeutet das, dass der magnetische Fluss durch eine Leiterschleife bzw. eine Flussänderung in dieser, wie sie sich durch Anlegen einer Spannung nach der gegebenen Zeit ${\displaystyle T}$ dort einstellt, immer von dem Spannungszeitintegral in den angegebenen Grenzen ${\displaystyle 0}$ bis ${\displaystyle T}$ verursacht sein und diesem auch entsprechen muss. Die dafür relevante Spannung ist jeweils die induzierte Spannung ${\displaystyle U_{\mathrm {i} }}$. Diese entspricht der angelegten Spannung abzüglich ohmscher Spannungsabfälle ${\displaystyle (I\cdot R),}$ soweit diese nicht zu vernachlässigen sind.

Zu veranschaulichen ist das Spannungszeitintegral auch als Fläche zwischen dem Spannungsgraphen und der Zeitachse über dem Intervall ${\displaystyle [0;T],}$ weshalb man es bisweilen auch als Spannungszeitfläche oder Spannungszeitsumme bezeichnet, in meist älterer Literatur in Anlehnung an den Begriff des Kraftstoßes auch als Spannungsstoß. Ursächlich hierfür ist der Umstand, dass messtechnisch früher die Integration von induzierten Spannungsimpulsen mittels ballistischer Galvanometer durchgeführt wurde, vgl. auch Veranschaulichung des magnetischen Kraftflusses.

Beispiel für 50 Hz bei ${\displaystyle U_{\text{eff}}=230\,{\text{V}}}$: Auf grafische Weise durch Auszählen der kleinen Quadrate ermittelt, erhält man das Ergebnis von ca. 1,05 Voltsekunden zum Bild rechts oben, für eine Sinushalbschwingung folglich 2,1 Voltsekunden. Das ist die Spannungszeitfläche, welche die Induktion im Eisenkern eines Transformators von einem Ende der Hysteresekurve zum anderen Ende transportiert. Wenn ein Transformator passend zu den 230 V bei 50 Hz ausgelegt ist, läuft die Induktion im Dauerbetrieb hauptsächlich im senkrechten Bereich der Hysteresekurve. Höhere Spannung oder niedrigere Frequenz führt zum Übersteuern der Hysteresekurve in die waagerecht verlaufenden Bereiche, zur Kernsättigung, was dann auch in der Praxis durch den Anstieg des Magnetisierungsstromes anschaulich beobachtbar ist.

Als weiteres Beispiel kann ein vielfach praktiziertes Messprinzip für den magnetischen Fluss dienen: Hier wird der zu messende Fluss von einer Messspule erfasst und die Spannung an der Spule auf einen Integrator gegeben, der an seinem Ausgang als Ergebnis unmittelbar den Fluss anzeigt.

Formulierungsvariante: Flussregel

Die Flussregel ${\displaystyle U_{i}=-{\dot {\Phi }}}$ formuliert das Induktionsgesetz in Integralform für den Spezialfall einer Leiterschleife: Sie gilt für geschlossene Umlaufwege, die ganz in elektrisch leitendem (auch bewegtem) Material im (auch zeit- und ortsveränderlichen) Magnetfeld verlaufen, vorzugsweise in Leiterschleifen mit geringem Querschnitt. Im Fall bewegter Leiterschleifen muss sich die festgelegte Umlaufkurve zeitlich stetig und konvektiv (s. u.) ohne Unterbrechungen entwickeln. Die Geschwindigkeiten in der Anordnung müssen deutlich kleiner als die Lichtgeschwindigkeit sein.

Herleitung: Über den Umlaufweg im Induktionsgesetz Form II kann weitgehend frei verfügt werden. Im zur Flussregel führenden Ansatz wird allen Elementen ${\displaystyle {\text{d}}{\vec {s}}}$ des Umlaufwegs die lokale Stoffgeschwindigkeit ${\displaystyle {\vec {v}}}$ vorgegeben (konvektive Linienelemente, ${\displaystyle {\vec {u}}={\vec {v}}}$). Damit gilt:

${\displaystyle \oint \limits _{\partial {\mathcal {A}}(t)}{({\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}})\cdot {\text{d}}{\vec {s}}}=-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\int \limits _{{\mathcal {A}}(t)}{\vec {B}}\cdot {\text{d}}{\vec {A}}}$.

Der Integrand des Linksterms ist nach den Transformationsgleichungen von Lorentz gleich der elektrischen Feldstärke ${\displaystyle {\vec {E}}'}$ im Ruhesystem jedes Linienelements, sodass auch

${\displaystyle \oint \limits _{\partial {\mathcal {A}}(t)}{{\vec {E}}'\cdot {\text{d}}{\vec {s}}}=-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\int \limits _{{\mathcal {A}}(t)}{\vec {B}}(t)\cdot {\text{d}}{\vec {A}}\quad (*)}$

oder kürzer

${\displaystyle U_{i}=-{\dot {\Phi }}}$

geschrieben werden kann. Die letzten beiden gleichwertigen Gleichungen sind zunächst für die oben genannten Voraussetzungen zugeschnittene Formen des Induktionsgesetzes. Die letzte Gleichung wird als Flussregel bezeichnet, wenn sie auf einen unverzweigten Stromkreis angewandt wird. Die als induzierte Spannung bezeichnete stromtreibend wirkende elektromagnetische Größe ${\displaystyle U_{i}}$ – ihrer Definition nach eine Ringspannung – erweist sich als wertgleich mit dem magnetischen Schwund ${\displaystyle -{\dot {\Phi }}}$. Ein irgendwo im Leiterkreis eingebauter Spannungsmesser, dessen Innenwiderstand groß gegen den Widerstand des restlichen Kreises ist, zeigt den Wert von ${\displaystyle U_{i}}$ an.

Dass der magnetische Schwund ${\displaystyle -{\dot {\Phi }}}$ (in Gl. (${\displaystyle *}$) der Rechtsterm) einen elektrischen Strom durch den elektrischen Widerstand in der Leiterschleife antreiben kann, illustriert die Form des Linksterms: Dort steht die ladungsbezogene Arbeit, welche die Lorentzkraft an der Ladung bei einem Schleifenumlauf verrichtet. Der Anwendungskomfort der Flussregel liegt darin, dass die stromtreibende induzierte Spannung ${\displaystyle U_{i}}$ in einer ruhenden oder auch bewegten Leiterschleife allein aus dem Magnetfeld bestimmt werden kann: Die elektrische Feldstärke im Laborsystem ${\displaystyle {\vec {E}}}$ und jene im Ruhesystem der Linienelemente ${\displaystyle {\vec {E}}'}$ kommt in der Formel nicht vor.

Die Wicklungen von Transformatoren, Elektromotoren und Generatoren zur Stromerzeugung sind Leiterschleifen im Sinne der Flussregel.