Arithmetik

Auf SoRNs lässt sich die Arithmetik der Unums fortsetzen: Sind ${\displaystyle U}$ und ${\displaystyle V}$ zwei SoRNs, so ist ${\displaystyle U+V}$ das SoRN, das aus den Unums ${\displaystyle u+v}$ mit ${\displaystyle u}$ aus ${\displaystyle U}$ und ${\displaystyle v}$ aus ${\displaystyle V}$ besteht. Analog wird Multiplikation definiert; Subtraktion und Division ergibt sich als ${\displaystyle U-V}$ gemäß ${\displaystyle U+(-V)}$ und entsprechend ${\displaystyle U/V}$ gemäß ${\displaystyle U\cdot V^{-1}}$. Die einstelligen Operationen ${\displaystyle -V}$ und ${\displaystyle V^{-1}}$ werden auf die Einzelelemente angewendet. In mathematischer Notation:

${\displaystyle U+V=\{\,u+v\,|\,u\in U{\text{ und }}v\in V\,\}}$

${\displaystyle U-V=\{\,u-v\,|\,u\in U{\text{ und }}v\in V\,\}}$

${\displaystyle U\cdot V=\{\,u\cdot v\,|\,u\in U{\text{ und }}v\in V\,\}}$

${\displaystyle U/V=\{\,u/v\,|\,u\in U{\text{ und }}v\in V\,\}}$

${\displaystyle -U=\{\,-u\,|\,u\in U\,\}}$

${\displaystyle U^{-1}=\{\,u^{-1}\,|\,u\in U\,\}}$

Mit SoRNs sind auch Operationen möglich, deren Ergebnis auch im mathematischen Sinn nicht immer eine einzelne Zahl ist. Beispielsweise ist die Quadratwurzel-Funktion für negative Eingaben undefiniert. Als Operation auf SoRNs liefert ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ entsprechend das leere SoRN. Grundsätzlich ist es zwar möglich, auf jede undefinierte Operation das leere Ergebnis zu liefern, aber in gewisser Hinsicht sind andere Ergebnisse oft besser. Beispielsweise ist ${\displaystyle a/b}$ die Antwort auf Frage: Welche Zahl ${\displaystyle x}$ löst die Gleichung ${\displaystyle a=b\cdot x}$? Für ${\displaystyle a=0}$ und ${\displaystyle b=0}$ ist diese Antwort: jede Zahl. Daher ergibt ${\displaystyle 0/0}$ das volle SoRN. Dasselbe gilt für ${\displaystyle \infty +\infty }$ und ${\displaystyle \infty -\infty }$ (was dasselbe sein muss, da ${\displaystyle +\infty =-\infty }$). Ein Beispiel für eine undefinierte Operation, die weder das leere noch das volle SoRN liefert, ist ${\displaystyle 1^{\infty }}$ mit der Lösungsmenge ${\displaystyle \lbrack 0,\infty \rbrack }$, also einem SoRN, das ${\displaystyle \lbrace \pm \infty \rbrace }$, ${\displaystyle \lbrace 0\rbrace }$ und alle positiven Intervalle umfasst.

Beispielsweise gegeben das SoRN ${\displaystyle (0,+\infty )}$. Der Logarithmus davon (egal zu welcher Basis) ergibt ${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$. Das Quadrat von diesem Ergebnis ist ${\displaystyle \lbrack 0,+\infty )}$.

Ein weiteres Beispiel sei die Funktion ${\displaystyle f}$ mit ${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{{\tfrac {1}{x}}+{\tfrac {1}{2}}}}}$. Was ist ${\displaystyle f(0)}$? Eine Rechnung mit Unums ergibt ${\displaystyle {\tfrac {1}{{\tfrac {1}{0}}+{\tfrac {1}{2}}}}={\tfrac {1}{\infty +{\tfrac {1}{2}}}}={\tfrac {1}{\infty }}=0}$. Nun ist es so, dass auch ${\displaystyle f(x)={\tfrac {2x}{2+x}}}$ ist, wodurch die Definitionslücke bei 0 verschwindet, und das Ergebnis bestätigt. Doch was, wenn die Eingabe nicht genau bekannt war, sondern als das SoRN ${\displaystyle (-1,2\rbrack }$ gegeben wird? Wird die erste Darstellung von ${\displaystyle f}$ verwendet, liefern die Operationen auf 4-Bit-Unums exakte Ergebnisse und das Ergebnis-SoRN repräsentiert die Aussage ${\displaystyle -2<f(x)\leq 1}$. Für den zweiten Ausdruck mit traditioneller Intervallarithmetik wird zuerst das Eingabeintervall ${\displaystyle (-1,2\rbrack }$ zu ${\displaystyle \lbrack -1,2\rbrack }$ abgeschlossen (da traditionelle Intervallarithmetik nur mit abgeschlossenen Intervallen arbeitet). Das Ergebnis ist dann ernüchternd: ${\displaystyle \lbrack -2,4\rbrack }$. In der zweiten Darstellung kommt ${\displaystyle x}$ zweimal vor; dass es sich dabei zweimal um derselben Wert (innerhalb der Grenzen) handeln muss und nicht um zwei unabhängige Werte mit denselben Grenzen, wird aber beim mechanischen Auswerten nicht berücksichtigt.

Lauflängen-Kodierung

Ein SoRN gilt als zusammenhängend, wenn in seiner Darstellung alle Einsen gepackt nebeneinander stehen (schließt das leere SoRN mit ein). Weil ${\displaystyle \infty }$ an beiden Enden des Zahlenstrahls liegt, aber nur einmal im SoRN kodiert wird, ist das SoRN ${\displaystyle [-\infty ,0]\cup [1,+\infty ]}$ im mathematischen Sinn zwar nicht zusammenhängend (genauer: im Sinne der projektiven Geraden ist die Menge schon zusammenhängend, aber nicht im Sinne eines Zahlenstrahls mit Endpunkten), wohl aber das SoRN, das es darstellt. Die arithmetischen Grundoperationen und viele andere wie die Wurzel erhalten zusammenhängende SoRNs, das heißt, für zusammenhängende SoRNs als Eingaben liefern sie zusammenhängende SoRNs als Ergebnis. Daher bietet sich eine sogenannte Lauflängen-Kodierung (engl. run-length encoding) an. Statt mit beliebigen SoRNs werden damit nur zusammenhängende dargestellt. Die Lauflängen-Kodierung speichert den Beginn und die Länge der Einser-Kolonne. Für 256 Stellen genügen 8 Bit für je den Beginn und die Länge, somit benötigt die Lauflängen-Kodierung insgesamt 16 Bit. Nur das volle SoRN ist zusammenhängend, kann aber streng genommen nicht so dargestellt werden, da seine Länge (256 Einsen) gerade das Maximum (255) in der Längendarstellung überschreitet. Dem kann abgeholfen werden, da für das leere SoRN formal mehrere Darstellungen existieren, nämlich alle mit Länge 0. Davon wird eine für das volle SoRN umgedeutet.

Insbesondere ist eine Lauflängen-Kodierung für SoRNs effektiver, je höher die Anzahl der Bits ist. Für 16-Bit-Unums wäre ein allgemeines SoRN 65.536 Bit breit, also knapp 8 KiB groß. Die Lauflängen-Kodierung benötigt nur 32 Bit.

Beispiel

Für das Beispiel wird ein 4-Bit-Typ-II-Unum verwendet, wobei die einzige wählbare Zahl 2 ist. Es gibt die 16 Intervalle ${\displaystyle \lbrace \pm \infty \rbrace }$, ${\displaystyle (-\infty ,-2)}$, ${\displaystyle \lbrace -2\rbrace }$, ${\displaystyle (-2,-1)}$, ${\displaystyle \lbrace -1\rbrace }$, ${\displaystyle (-1,-{\tfrac {1}{2}})}$, ${\displaystyle \lbrace -{\tfrac {1}{2}}\rbrace }$, ${\displaystyle (-{\tfrac {1}{2}},0)}$, ${\displaystyle \lbrace 0\rbrace }$, ${\displaystyle (0,+{\tfrac {1}{2}})}$, ${\displaystyle \lbrace +{\tfrac {1}{2}}\rbrace }$, ${\displaystyle (+{\tfrac {1}{2}},+1)}$, ${\displaystyle \lbrace +1\rbrace }$, ${\displaystyle (+1,+2)}$, ${\displaystyle \lbrace +2\rbrace }$ und ${\displaystyle (+2,+\infty )}$. Ein Teilmengen-Wort besteht damit aus ${\displaystyle 2^{4}=16}$ Bit.

Allgemein braucht es die Lauflängen-Kodierung von ${\displaystyle 2^{n}}$ Bit genau ${\displaystyle 2n}$ Bits.

Beispielformat

Gegeben das Format mit ${\displaystyle 16}$ Bits und ${\displaystyle E_{\text{max}}=2}$. Hat ein solches Posit ${\displaystyle 4}$ Regime-Bits, ergibt sich die Verteilung 1 : 4 : 2 : 9 auf Vorzeichen, Regime, Exponent und Mantisse. Hat es 12 Regime-Bits ist die Verteilung 1 : 12 : 2 : 1 und bei 14 Regime-Bits 1 : 14 : 1 : 0.

Kennzahlen

Aus der Anzahl der Gesamtbits und der maximalen Exponentenbits ergibt sich die Kennzahl des ${\displaystyle useed}$ (u für Unum und engl. seed für Samen oder Keim) als ${\displaystyle useed=2^{E_{\text{max}}}}$. Für ein Unum-Format mit bis zu ${\displaystyle 2}$ Exponentenbits beträgt ${\displaystyle useed=2^{2^{2}}=2^{4}=16}$. Bei bis zu 3 Exponentenbits beträgt das ${\displaystyle useed=265}$ und bei ${\displaystyle 4}$ schon ${\displaystyle useed=65536}$.

Im Unterschied zu IEEE 754 haben Unums keinen Exponenten-Bias oder eine vergleichbare Größe.

Menge der Zahlen

Da die negativen Zahlen und die Bitmuster ihrer Darstellungen aus den positiven hervorgehen, müssen nur letztere beschrieben werden. Die Menge der ${\displaystyle n}$‑Bit-Unums wird iterativ erzeugt, wobei ${\displaystyle n\geq 3}$ sein muss. Ausgehend vom einfachsten Format bestehend aus ${\displaystyle 3}$-Bit-Unums, die jeweils nur aus Vorzeichen (1 Bit) und Regime (min. ${\displaystyle 2}$ Bit, s. unten für eine Begründung), wird das Format für ${\displaystyle n+1}$ Bits durch Anfügen eines Bits an das Format mit ${\displaystyle n}$ Bits definiert. Mit ${\displaystyle max}$ wird die größte positive und mit ${\displaystyle min}$ die kleinste positive Zahl im aktuellen Format bezeichnet. Zwar gilt ${\displaystyle min\approx max^{-1}}$, die Gleichheit gilt jedoch nur, falls es Zweierpotenzen sind.

Die Menge der ${\displaystyle 3}$-Bit-Unums besteht aus ${\displaystyle 8}$ Elementen: ${\displaystyle 0}$ und ${\displaystyle \infty }$, ${\displaystyle -1}$ und ${\displaystyle +1}$ sind fest vorgegeben; dazu kommt das von der maximalen Anzahl ${\displaystyle E_{\text{max}}}$ von Exponentenbits abhängige ${\displaystyle useed}$, zusammen mit ${\displaystyle -useed}$, ${\displaystyle useed^{-1}}$ und ${\displaystyle -useed^{-1}}$. (Dabei ist ${\displaystyle E_{\text{max}}\geq 0}$ frei wählbar.) Auch wenn keine Darstellung im ${\displaystyle 3}$‑Bit-Format Exponentenbits nutzt, weil die Regime-Bits „immer alles auffressen“, wird ${\displaystyle E_{\text{max}}}$ festgelegt, da der Wert von ${\displaystyle useed}$ davon abhängt. Bei der iterativen Darstellung der Zahlenmenge bleibt ${\displaystyle E_{\text{max}}}$ gleich, nur die Bitanzahl wird erhöht. Das ${\displaystyle 3}$‑Bit-Unum ist lediglich der Startpunkt der Konstruktion. Im ${\displaystyle 3}$‑Bit-Format ist ${\displaystyle max=useed}$.

Für den Schritt vom ${\displaystyle n}$‑Bit-Unum zum ${\displaystyle (n+1)}$‑Bit-Unum wird an jede Darstellung ein Bit angefügt. Ist dieses Bit 0, bleibt der repräsentierte Wert derselbe, unabhängig ob das Bit dem Regime, dem Exponenten oder der Mantisse zufällt. Ist das Bit 1, so stellt das Bitmuster eine neue Zahl dar, die zwischen den beiden Zahlen liegt, deren Darstellungen, interpretiert als ganze Zahl, je um ${\displaystyle 1}$ größer und kleiner sind:

• Zwischen ${\displaystyle max}$ und ${\displaystyle \infty }$ wird ${\displaystyle max\cdot useed}$ eingefügt und entsprechend ${\displaystyle max/useed}$ zwischen ${\displaystyle min}$ und ${\displaystyle 0}$. Das hinzugefügte Bit wird Teil des Regimes.
• Zwischen ${\displaystyle 2^{m}}$ und ${\displaystyle 2^{n}}$, wobei ${\displaystyle m}$ und ${\displaystyle n}$ mehr als ${\displaystyle 1}$ auseinanderliegen, wird das geometrische Mittel von ${\displaystyle 2^{m}}$ und ${\displaystyle 2^{n}}$ eingefügt: ${\displaystyle 2^{(m+n)/2}}$. Das hinzugefügte Bit wird Teil des Exponenten.
• Andernfalls wird zwischen ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ ihr arithmetisches Mittel ${\displaystyle {\tfrac {x+y}{2}}}$ hinzugefügt. Das hinzugefügte Bit wird Teil der Mantisse.

Der erste Punkt fügt viele exponentiell auseinanderliegende Zahlen an den extremen Rändern hinzu. In einem gewissen Sinne approximieren sie ${\displaystyle 0}$ und ${\displaystyle \infty }$ damit gut. Der letzte Punkt fügt viele linear auseinanderliegende Zahlen um ${\displaystyle 1}$ ein. Exponentiell bzw. linear auseinanderliegend bedeutet: Sind ${\displaystyle x<y<z}$ aufeinanderfolgend, so ist im ersten Fall ${\displaystyle z=y\cdot {\tfrac {y}{x}}}$ und im zweiten Fall ${\displaystyle z=y+(y-x)}$. Konstruktionsbedingt ist die Summe ${\displaystyle m+n}$ im zweiten Punkt eine gerade ganze Zahl, deren Hälfte somit eine ganze Zahl ist.

Die ersten Konstruktionsschritte für die positiven Posits mit ${\displaystyle E_{\text{max}}=1}$, das heißt mit ${\displaystyle useed=2^{4}}$, sind:

• Ausgangsformat mit ${\displaystyle 3}$ Bits

${\displaystyle \lbrace 0,1/useed,1,useed,\infty \rbrace }$

${\displaystyle =\lbrace 0,2^{-4},2^{0},2^{4},\infty \rbrace }$; ${\displaystyle min=2^{-4}}$ und ${\displaystyle max=2^{4}}$.

• Format mit ${\displaystyle 4}$ Bits:

${\displaystyle \lbrace 0,min/useed,2^{-4},2^{(-4+0)/2},2^{0},2^{(0+4)/2},2^{4},max\cdot useed,\infty \rbrace }$

${\displaystyle =\lbrace 0,2^{-8},2^{-4},2^{-2},2^{0},2^{2},2^{4},2^{8},\infty \rbrace }$; ${\displaystyle min=2^{-8}}$ und ${\displaystyle max=2^{8}}$.

• Format mit ${\displaystyle 5}$ Bits:

${\displaystyle \lbrace 0,min/useed,2^{-8},2^{(-8-4)/2},2^{-4},2^{(-4-2)/2},2^{-2},2^{(-2+0)/2},2^{0},2^{(0+2)/2},2^{2},2^{(2+4)/2},2^{4},2^{(4+8)/2},2^{8},max\cdot useed,\infty \rbrace }$

${\displaystyle =\lbrace 0,2^{-12},2^{-8},2^{-6},2^{-4},2^{-3},2^{-2},2^{-1},2^{0},2^{1},2^{2},2^{3},2^{4},2^{6},2^{8},2^{12},\infty \rbrace }$; ${\displaystyle min=2^{-12}}$ und ${\displaystyle max=2^{12}}$.

• Format mit ${\displaystyle 6}$ Bits:

${\displaystyle \lbrace 0,min/useed}$, ${\displaystyle 2^{-12}}$, ${\displaystyle 2^{(-12-8)/2}}$, ${\displaystyle 2^{-8}}$, ${\displaystyle 2^{(-8-6)/2}}$, ${\displaystyle 2^{-6}}$, ${\displaystyle 2^{(-6-4)/2}}$, ${\displaystyle 2^{-4}}$, ${\displaystyle {\tfrac {2^{-4}+2^{-3}}{2}}}$, ${\displaystyle 2^{-3}}$, ${\displaystyle {\tfrac {2^{-3}+2^{-2}}{2}}}$, ${\displaystyle 2^{-2}}$, ${\displaystyle {\tfrac {2^{-2}+2^{-1}}{2}}}$, ${\displaystyle 2^{-1}}$, ${\displaystyle {\tfrac {2^{-1}+2^{0}}{2}}}$, ${\displaystyle 2^{0}}$, ${\displaystyle {\tfrac {2^{0}+2^{1}}{2}}}$, ${\displaystyle 2^{1}}$, ${\displaystyle {\tfrac {2^{1}+2^{2}}{2}}}$, ${\displaystyle 2^{2}}$, ${\displaystyle {\tfrac {2^{2}+2^{3}}{2}},}$ ${\displaystyle 2^{3}}$, ${\displaystyle {\tfrac {2^{3}+2^{4}}{2}}}$, ${\displaystyle 2^{4}}$, ${\displaystyle 2^{(4+6)/2}}$, ${\displaystyle 2^{6}}$, ${\displaystyle 2^{(6+8)/2}}$, ${\displaystyle 2^{8}}$, ${\displaystyle 2^{(8+12)/2}}$, ${\displaystyle 2^{12}}$, ${\displaystyle max\cdot useed}$, ${\displaystyle \infty \rbrace }$

${\displaystyle =\lbrace 0}$, ${\displaystyle 2^{-16}}$, ${\displaystyle 2^{-12}}$, ${\displaystyle 2^{-10}}$, ${\displaystyle 2^{-8}}$, ${\displaystyle 2^{-7}}$, ${\displaystyle 2^{-6}}$, ${\displaystyle 2^{-5}}$, ${\displaystyle 2^{-4}}$, ${\displaystyle 1{\tfrac {1}{2}}\cdot 2^{-4}}$, ${\displaystyle 2^{-3}}$, ${\displaystyle 1{\tfrac {1}{2}}\cdot 2^{-3}}$, ${\displaystyle 2^{-2}}$, ${\displaystyle 1{\tfrac {1}{2}}\cdot 2^{-2}}$, ${\displaystyle 2^{-1}}$, ${\displaystyle 1{\tfrac {1}{2}}\cdot 2^{-1}}$, ${\displaystyle 2^{0}}$, ${\displaystyle 1{\tfrac {1}{2}}}$, ${\displaystyle 2^{1}}$, ${\displaystyle 1{\tfrac {1}{2}}\cdot 2^{1}}$, ${\displaystyle 2^{2}}$, ${\displaystyle 1{\tfrac {1}{2}}\cdot 2^{2}}$, ${\displaystyle 2^{3}}$, ${\displaystyle 1{\tfrac {1}{2}}\cdot 2^{3}}$, ${\displaystyle 2^{4}}$, ${\displaystyle 2^{5}}$, ${\displaystyle 2^{6}}$, ${\displaystyle 2^{7}}$, ${\displaystyle 2^{8}}$, ${\displaystyle 2^{10}}$, ${\displaystyle 2^{12}}$, ${\displaystyle 2^{16}}$, ${\displaystyle \infty \rbrace }$; ${\displaystyle min=2^{-16}}$ und ${\displaystyle max=2^{16}}$.

Ist ${\displaystyle U_{n}^{E_{\text{max}}}}$ die Menge der ${\displaystyle n}$‑Bit-Unum mit höchstens ${\displaystyle E_{\text{max}}}$ Exponentenbits, so gilt

${\displaystyle \left|U_{n}^{E_{\text{max}}}\right|=2^{n}}$,

das heißt, es werden keine Bitmuster verschwendet. Außerdem ist durch die Beziehung

${\displaystyle U_{n}^{E_{\text{max}}}\subsetneq U_{n+1}^{E_{\text{max}}}}$

gesichert, dass eine Erhöhung der Bitanzahl nur mehr Zahlen dargestellt werden können, aber keine verschwinden.

Die Menge

${\displaystyle U_{\infty }^{E_{\text{max}}}=\bigcup _{n\geq 3}U_{n}^{E_{\text{max}}}}$

der durch Unums darstellbaren projektiven reellen Zahlen liegt dicht in ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\infty \}}$, was bedeutet, dass sich jede reelle Zahl beliebig genau durch ein Unum approximieren lässt.

Interpretation eines Bitmusters

Ausgenommen ${\displaystyle \infty }$ soll die Ordnung auf Postits mit der Ordnung auf ihren Darstellungen übereinstimmen, wobei die Darstellungen als vorzeichenbehaftete ganze Zahlen in Zweierkomplement-Darstellung interpretiert werden. Aus der Menge der Zahlen und dieser Voraussetzung ergibt sich bereits eindeutig, welche Zahl von einer beliebigen Postits-Darstellung beschrieben wird. Hier folgt ein anschauliches, effektives Verfahren.

Besteht das Bitmuster aus 00…0, so repräsentiert es ${\displaystyle 0}$; besteht es aus 10…0, so repräsentiert es ${\displaystyle \infty }$. Nachfolgend werden diese beiden Fälle ausgeschlossen.

Das Vorzeichen ist das erste (= höchstwertige) Bit ${\displaystyle s}$. Wie bei IEEE 754 ist die Interpretation, dass für ${\displaystyle s=0}$ die Zahl positiv und für ${\displaystyle s=1}$ negativ ist. Davon ausgenommen sind die Werte ${\displaystyle 0}$ und ${\displaystyle \infty }$; tatsächlich hat ${\displaystyle 0}$ technisch gesehen das Vorzeichenbit 0 und ${\displaystyle \infty }$ das Vorzeichenbit 1, dennoch werden beide als weder positiv noch negativ bezeichnet. Im Unterschied zu IEEE-Gleitkommazahlen speichern Posits nicht ein Vorzeichen und einen Betrag.

Die folgenden Betrachtungen werden für ${\displaystyle s=0}$ angegeben. Ist ${\displaystyle s=1}$, so wird die Zahl vor dem Bestimmen der Kennzahlen per Zweierkomplement nicht-negativ gemacht.

Die Lauflänge ${\displaystyle k}$ (engl. run-length) einer konkreten Zahl ergibt sich aus den Regime-Bits. Das Regime folgt auf das Vorzeichen und besteht aus einer Folge gleicher Binärziffern, die durch die jeweils andere Binärziffer beendet wird oder bis zum Ende läuft. Das Regime hat also immer die Form 0…01 oder 1…10 oder, falls das Regime den kompletten Rest der Zahl einnimmt, 1…11 und die kürzestmögliche Formen sind 01, 10 und 11. Für Gesamtlänge 5 sind die möglichen Regimes zwischen 2 und 4 Bits lang, konkret 0001, 001, 01, 10, 110, 1110 und 1111. Führen Nullen das Regime an, so ist ${\displaystyle -k}$ die Anzahl dieser Nullen, also ist ${\displaystyle k}$ negativ. Für 0001 ist ${\displaystyle k=-3}$ usw. bis 01 für ${\displaystyle k=-1}$. Führen hingegen Einsen das Regime an, so ist ${\displaystyle k+1}$ die Anzahl dieser Einsen, also ist ${\displaystyle k}$ positiv oder null. Für 10 ist ${\displaystyle k=0,}$ für 110 ist ${\displaystyle k=1}$ usw. bis 1111 für ${\displaystyle k=3}$. Das Regime kann nicht aus nur Nullen bestehen, denn dann wäre das Bitmuster (je nach Vorzeichenbit) das für ${\displaystyle 0}$ oder ${\displaystyle \infty }$ (s. oben).

Es bezeichnet ${\displaystyle e}$ den numerischen Wert der Exponentenbits, ggf. ergänzt um Nullen, interpretiert als vorzeichenlose binäre Zahl. Ist nämlich die Anzahl der Exponentenbits kleiner als ${\displaystyle E_{\text{max}}}$, werden für die Bestimmung von ${\displaystyle e}$ fiktive Nullen an das Bitmuster angefügt, sodass die vorzeichenlose Zahl aus genau ${\displaystyle E_{\text{max}}}$ binären Ziffern besteht.

Sind in der Darstellung am Ende noch Bits übrig, die nicht vergeben wurden, so entfallen sie auf die Mantisse. Gibt es ${\displaystyle F}$ Mantissenbits und ist ${\displaystyle F>0}$, so sei ${\displaystyle f}$ der numerische Wert der Mantissenbits, interpretiert als vorzeichenlose binäre Zahl; andernfalls setze ${\displaystyle f=0}$.

Für die Bestimmung des numerischen Werts eines Unums aus seinem Bitmuster ist

${\displaystyle (-1)^{s}\cdot useed^{k}\cdot 2^{e}\cdot (1+f/2^{F})}$.

Anschaulich trägt die Mantisse den Faktor ${\displaystyle 1,f_{1}\ldots f_{F}}$ (in Binärdarstellung) bei, wobei ${\displaystyle f_{i}}$ die binären Ziffern in der Mantisse bezeichnen. In den Begriffen von IEEE 754 ist das Hidden Bit immer 1 und Unums haben generell auch keine subnormalen Zahlen. Der Wert von ${\displaystyle useed}$ ist so gewählt, dass ${\displaystyle 2^{|e|}<useed}$ gilt. Dadurch ist die Darstellung auch eindeutig.

Die Lauflänge erzeugt sehr schnell sehr große oder kleine Beträge auf Kosten der Genauigkeit in der Mantisse, jedoch lassen kurze Regimes, also Lauflängen nahe ${\displaystyle 0}$ und somit Zahlen nahe ${\displaystyle 1}$, viel Platz für Mantissenbits. Dadurch lassen sich im Vergleich zu IEEE-754-Gleitkommazahlen bei derselben Gesamtbitzahl sowohl betragsmäßig größere Zahlen darstellen als auch Zahlen um ${\displaystyle 1}$ genauer auflösen.

Konsequenzen der Darstellung

Ein Posit wird negiert, indem seine Darstellung als Ganzzahl gemäß Zweierkomplement negiert wird. Da die Zweierkomplement-Operation sowohl die Darstellung der ${\displaystyle 0}$ als auch die Darstellung von ${\displaystyle \infty }$ gleich lässt, wird für deren Negation keine Sonderfallbehandlung gebraucht.

Durch die Zweierkomplement-Darstellung ist der Größer-/Kleiner-Vergleich ohne Bestimmung der Kennzahlen möglich (sofern das Format, also Gesamtbreite und ${\displaystyle E_{\text{max}}}$, gleich ist). Mit Ausnahme von ${\displaystyle \infty }$ ist ein Posit kleiner bzw. größer als ein anderes, falls ihre Darstellungen interpretiert als vorzeichenbehaftete Ganzzahlen dieselbe Relation haben. Die Zahlen müssen nicht aufwendig decodiert werden.

Beispielbitmuster

Als Typ setze ein 16-Bit-Unum mit Exponentenlänge ${\displaystyle E_{\text{max}}=3}$ ein. Die Zahl hat das Bitmuster 0:0001:101:11011101, dabei trennt der Doppelpunkt Vorzeichen-, Regime-, Exponenten- und Mantissenbits.

1. Sonderfälle 0 und ${\displaystyle \infty }$: Liegen nicht vor.
2. Bestimme ${\displaystyle useed=2^{2^{3}}=256}$.
3. Vorzeichen 0: ${\displaystyle s=0}$.
4. Laufweite 0001: ${\displaystyle k}$: Es führen 3 Nullen, somit ${\displaystyle -k=3}$, d. h, ${\displaystyle k=-3}$.
5. Exponent 101: ${\displaystyle e=101_{2}=5_{10}}$.
6. Mantisse 11011101: ${\displaystyle f=11011101_{2}=221_{10}}$ mit ${\displaystyle F=8}$.

Daraus ergibt sich

${\displaystyle (-1)^{s}\cdot useed^{k}\cdot 2^{e}\cdot (1+f/2^{F})=}$

${\displaystyle (-1)^{0}\cdot 256^{-3}\cdot 2^{5}\cdot (1+221/2^{8})=}$

${\displaystyle 1\cdot 2^{-24}\cdot 2^{5}\cdot (1+221/2^{8})}$

Der letzte Ausdruck ergibt ${\displaystyle 3{,}553926944732666015625\cdot 10^{-6}}$.

Tabelle mit Beispielwerten

Für ein weiteres Beispiel betrachten wir das Format mit 8 Bits und ${\displaystyle E_{\text{max}}=3}$ sowie ${\displaystyle E_{\text{max}}=1}$. Dann ist ${\displaystyle useed=256}$ bzw. ${\displaystyle E_{\text{max}}=4}$. Einige Zahlen und ihre Werte sind in der Tabelle unten eingetragen.

Falls die Anzahl der Exponentenbits kleiner als ${\displaystyle E_{\text{max}}}$ ist, werden die impliziten Exponentenbits unterstrichen.

Werte von ${\displaystyle s}$, ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle e}$, ${\displaystyle F}$ und ${\displaystyle f}$ für ${\displaystyle E_{\text{max}}=3}$	Interpretation für ${\displaystyle E_{\text{max}}=3}$	Bitmuster		Werte von ${\displaystyle s}$, ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle e}$, ${\displaystyle F}$ und ${\displaystyle f}$ für ${\displaystyle E_{\text{max}}=1}$	Interpretation für ${\displaystyle E_{\text{max}}=1}$
nicht definiert	${\displaystyle \infty }$	10000000		nicht definiert	${\displaystyle \infty }$
${\displaystyle k=6}$	${\displaystyle useed^{6}=2^{48}\approx 2{,}81\cdot 10^{14}}$	01111111		${\displaystyle k=6,\,e={\underline {0}}_{2}=0}$	${\displaystyle useed^{6}=2^{12}=4096}$
${\displaystyle k=5}$	${\displaystyle useed^{5}=2^{40}\approx 1{,}10\cdot 10^{12}}$	01111110		${\displaystyle k=5,\,e={\underline {0}}_{2}=0}$	${\displaystyle useed^{5}=2^{10}=1024}$
${\displaystyle k=4,\,e=1{\underline {00}}_{2}=4}$	${\displaystyle useed^{4}\cdot 2^{4}=2^{8\cdot 4+4}=2^{36}\approx 6{,}87\cdot 10^{10}}$	01111101		${\displaystyle k=4,\,e=1}$	${\displaystyle useed^{4}\cdot 2^{1}=2^{2\cdot 4+1}=512}$
…
${\displaystyle k=3,\,e=01{\underline {0}}_{2}=2}$	${\displaystyle useed^{3}\cdot 2^{2}=2^{8\cdot 3+2}=2^{26}\approx 6{,}71\cdot 10^{7}}$	01111001	01111001	${\displaystyle k=3,\,e=0,\,F=1,\,f=1}$	${\displaystyle useed^{3}\cdot 2^{0}\cdot (1+1/2^{1})=96}$
…
${\displaystyle k=2,\,e=101_{2}=5}$	${\displaystyle useed^{2}\cdot 2^{5}=2^{8\cdot 2+5}=2^{21}=2\,097\,152}$	01110101	01110101	${\displaystyle k=2,\,e=1,\,F=2,\,f=1}$	${\displaystyle useed^{2}\cdot 2^{1}\cdot (1+1/2^{2})=40}$
…
${\displaystyle k=1,\,e=6,\,F=1,\,f=1}$	${\displaystyle useed^{1}\cdot 2^{6}\cdot 1{\tfrac {1}{2}}=2^{8\cdot 1+6}\cdot 1{\tfrac {1}{2}}=2^{14}\cdot 1{\tfrac {1}{2}}=2^{14}\cdot 2^{13}=24\,576}$	01101101	01101101	${\displaystyle k=1,\,e=1,\,F=3,\,f=101_{2}=5}$	${\displaystyle useed^{1}\cdot 2^{1}\cdot (1+5/2^{3})=8\cdot 1{\tfrac {5}{8}}=13}$
…
${\displaystyle k=1,\,e=5,\,F=1,\,f=0}$	${\displaystyle useed^{1}\cdot 2^{5}=2^{8\cdot 1+5}=8192}$	01101010	01101010	${\displaystyle k=1,\,e=1,\,F=3,\,f=010_{2}=2}$	${\displaystyle useed^{1}\cdot 2^{1}\cdot (1+2/2^{3})=8\cdot 1{\tfrac {1}{4}}=10}$
…
${\displaystyle k=0,\,e=3,\,F=2,\,f=2}$	${\displaystyle useed^{0}\cdot 2^{3}\cdot 1{\tfrac {1}{2}}=12}$	01001110	01001110	${\displaystyle k=0,\,e=0,\,F=4,\,f=14}$	${\displaystyle 1+14/2^{4}=1{,}875}$
${\displaystyle k=0,\,e=3,\,F=2,\,f=1}$	${\displaystyle 8\cdot 1{\tfrac {1}{4}}=10}$	01001101	01001101	${\displaystyle k=0,\,e=0,\,F=4,\,f=13}$	${\displaystyle 1+13/2^{4}=1{,}8125}$
…
${\displaystyle k=0,\,e=0,\,F=2,\,f=3}$	${\displaystyle 2^{0}\cdot 1{\tfrac {3}{4}}=1{\tfrac {3}{4}}=1{,}75}$	01000011	01000011	${\displaystyle k=0,\,e=0,\,F=4,\,f=3}$	${\displaystyle 1+3/16=1{,}1875}$
${\displaystyle k=0,\,e=0,\,F=2,\,f=2}$	${\displaystyle 1{\tfrac {1}{2}}=1{,}5}$	01000010	01000010	${\displaystyle k=0,\,e=0,\,F=4,\,f=2}$	${\displaystyle 1+2/16=1{,}125}$
${\displaystyle k=0,\,e=0,\,F=2,\,f=1}$	${\displaystyle 1{\tfrac {1}{4}}=1{,}25}$	01000001	01000001	${\displaystyle k=0,\,e=0,\,F=4,\,f=1}$	${\displaystyle 1+1/16=1{,}0625}$
${\displaystyle k=0,\,e=0,\,F=2,\,f=0}$	${\displaystyle 1}$	01000000	01000000	${\displaystyle k=0,\,e=0,\,F=4,\,f=0}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle k=-1,\,e=7,\,F=2,\,f=3}$	${\displaystyle useed^{-1}\cdot 2^{7}\cdot 1{\tfrac {3}{4}}=2^{8-7}\cdot 1{\tfrac {3}{4}}=(1{\tfrac {3}{4}})/2=0{,}875}$	00111111	00111111	${\displaystyle k=-1,\,e=1,\,F=4,\,f=15}$	${\displaystyle useed^{-1}\cdot 2^{1}\cdot (1+15/16)=(1+15/16)/2=0{,}96875}$
${\displaystyle k=-1,\,e=7,\,F=2,\,f=2}$	${\displaystyle useed^{-1}\cdot 2^{7}\cdot 1{\tfrac {1}{2}}=2^{8-7}\cdot 1{\tfrac {1}{2}}=(1{\tfrac {1}{2}})/2=0{,}75}$	00111110	00111110	${\displaystyle k=-1,\,e=1,\,F=4,\,f=14}$	${\displaystyle useed^{-1}\cdot 2^{1}\cdot (1+14/16)=(1+14/16)/2=0{,}9375}$
${\displaystyle k=-1,\,e=7,\,F=2,\,f=2}$	${\displaystyle useed^{-1}\cdot 2^{7}\cdot 1{\tfrac {1}{4}}=2^{8-7}\cdot 1{\tfrac {1}{4}}=(1{\tfrac {1}{4}})/2=0{,}625}$	00111101	00111101	${\displaystyle k=-1,\,e=1,\,F=4,\,f=13}$	${\displaystyle useed^{-1}\cdot 2^{1}\cdot (1+13/16)=(1+13/16)/2=0{,}90625}$
…
${\displaystyle k=-1,\,e=4,\,F=2,\,f=2}$	${\displaystyle useed^{-1}\cdot 2^{4}\cdot 1{\tfrac {1}{2}}=1{\tfrac {1}{2}}/16=0{,}09375}$	00110010	00110010	${\displaystyle k=-1,\,e=1,\,F=4,\,f=2}$	${\displaystyle useed^{-1}\cdot 2\cdot 1{\tfrac {1}{8}}=1{\tfrac {1}{8}}/2=0{,}564}$
…
${\displaystyle k=-1,\,e=1,\,F=2,\,f=1}$	${\displaystyle useed^{-1}\cdot 2^{1}\cdot 1{\tfrac {1}{4}}=2^{-7}\cdot 1{\tfrac {1}{4}}=0{,}009765625}$	00100101	00100101	${\displaystyle k=-1,\,e=0,\,F=4,\,f=5}$	${\displaystyle useed^{-1}\cdot (1+5/16)=(1+5/16)/4=0{,}328125}$
…
${\displaystyle k=-2,\,e=7,\,F=1,\,f=1}$	${\displaystyle useed^{-2}\cdot 2^{7}\cdot 1{\tfrac {1}{2}}=2^{-9}\cdot 1{\tfrac {1}{2}}\approx 0{,}0029297}$	00011111	00011111	${\displaystyle k=-2,\,e=1,\,F=3,\,f=7}$	${\displaystyle useed^{-2}\cdot 2\cdot 1{\tfrac {7}{8}}=2^{-3}\cdot 1{\tfrac {7}{8}}=0{,}234375}$
…
${\displaystyle k=-2,\,e=2,\,F=1,\,f=1}$	${\displaystyle useed^{-2}\cdot 2^{5}\cdot 1{\tfrac {1}{2}}=0{,}000732421875}$	00010101	00010101	${\displaystyle k=-2,\,e=0,\,F=3,\,f=5}$	${\displaystyle useed^{-2}\cdot 1{\tfrac {5}{8}}=1{\tfrac {5}{8}}/16=0{,}1015625}$
…
${\displaystyle k=-3,\,e=6}$	${\displaystyle useed^{-3}\cdot 2^{6}=2^{-8\cdot 3+6}=2^{-18}\approx 3{,}8147\cdot 10^{-6}}$	00001110	00001110	${\displaystyle k=-3,\,e=1,\,F=2,\,f=2}$	${\displaystyle useed^{-3}\cdot 2\cdot 1{\tfrac {1}{2}}=2^{-5}\cdot 1{\tfrac {1}{2}}=0{,}046875}$
…
${\displaystyle k=-4,\,e=01{\underline {0}}_{2}=4}$	${\displaystyle useed^{-4}\cdot 2^{4}=2^{-8\cdot 4+4}=2^{-28}\approx 3{,}73\cdot 10^{-9}}$	00000101	00000101	${\displaystyle k=-4,\,e=0,\,F=1,\,f=1}$	${\displaystyle useed^{-4}\cdot 1{\tfrac {1}{2}}=1{\tfrac {1}{2}}/2^{-8}=0{,}005859375}$
…
${\displaystyle k=-5,\,e=1{\underline {00}}_{2}=4}$	${\displaystyle useed^{-5}\cdot 2^{4}=2^{-36}\approx 1{,}46\cdot 10^{-11}}$	00000011		${\displaystyle k=-5,\,e=1}$	${\displaystyle useed^{-5}\cdot 2^{1}=2^{-11}\approx 4{,}88\cdot 10^{-4}}$
${\displaystyle k=-5,\,e=000_{2}=0}$	${\displaystyle useed^{-5}=2^{-40}\approx 9{,}09\cdot 10^{-13}}$	00000010		${\displaystyle k=-5,\,e=0}$	${\displaystyle useed^{-5}=2^{-10}\approx 9{,}77\cdot 10^{-4}}$
${\displaystyle k=-6}$	${\displaystyle useed^{-6}=2^{-48}\approx 3{,}55\cdot 10^{-15}}$	00000001		${\displaystyle k=-6}$	${\displaystyle useed^{-6}=2^{-12}\approx 2{,}44\cdot 10^{-4}}$
nicht definiert	0	00000000		nicht definiert	0