Verbund zweier topologischer Räume

Es seien ${\displaystyle X_{1}}$ und ${\displaystyle X_{2}}$ zwei topologische Räume. Ihr Verbund ${\displaystyle X=X_{1}*X_{2}}$ wird wie folgt definiert. Die Elemente von ${\displaystyle X}$ sind die Paare

${\displaystyle (t_{1}x_{1},t_{2}x_{2})}$ mit ${\displaystyle x_{1}\in X_{1},x_{2}\in X_{2},t_{1},t_{2}\in \left[0,1\right],t_{1}+t_{2}=1}$,

wobei ${\displaystyle t_{i}x_{i}}$ eine abkürzende Bezeichnung für das Paar ${\displaystyle (t_{i},x_{i})}$ ist und für alle ${\displaystyle x_{1},x_{1}^{\prime }\in X_{1}}$ und alle ${\displaystyle x_{2},x_{2}^{\prime }\in X_{2}}$

${\displaystyle (0x_{1},1x_{2})=(0x_{1}^{\prime },1x_{2})}$ und ${\displaystyle (1x_{1},0x_{2})=(1x_{1},0x_{2}^{\prime })}$

gesetzt wird. (Anschaulich werden also alle Punkte aus ${\displaystyle X_{1}}$ mit allen Punkten aus ${\displaystyle X_{2}}$ durch Strecken der Länge ${\displaystyle 1}$ verbunden.)

Die Topologie auf ${\displaystyle X}$ ist per definitionem die gröbste Topologie (die Topologie mit den wenigsten offenen Mengen), bezüglich der alle Koordinatenabbildungen

${\displaystyle t_{i}\colon X\to \left[0,1\right]}$

${\displaystyle (t_{1}x_{1},t_{2}x_{2})\to t_{i}\quad (i=1,2)}$

und

${\displaystyle x_{i}\colon \left\{(t_{1}x_{1},t_{2}x_{2})\colon t_{i}\not =0\right\}\to X_{i}}$

${\displaystyle (t_{1}x_{1},t_{2}x_{2})\to x_{i}\quad (i=1,2)}$

stetig sind.

Verbund unendlich vieler topologischer Räume

Es sei ${\displaystyle \left\{X_{j}\colon j\in J\right\}}$ eine Familie topologischer Räume. Die Elemente des Verbundes ${\displaystyle X=*_{j\in J}X_{j}}$ sind die ${\displaystyle J}$-Tupel

${\displaystyle (t_{j}x_{j}\colon j\in J)}$ mit ${\displaystyle t_{j}\in \left[0,1\right],x_{j}\in X_{j},\sum _{j\in J}t_{j}=1,}$ fast alle ${\displaystyle t_{j}=0}$.

Zwei Tupel ${\displaystyle (t_{j}x_{j})}$ und ${\displaystyle (u_{j}y_{j})}$ definieren genau dann dasselbe Element, wenn gilt:

• Für alle ${\displaystyle j\in J}$ ist ${\displaystyle t_{j}=u_{j}}$.
• Für alle ${\displaystyle j\in J}$ gilt: ${\displaystyle t_{j}\not =0\Longrightarrow x_{j}=y_{j}}$.

Die Topologie auf ${\displaystyle X}$ ist die gröbste Topologie (die Topologie mit den wenigsten offenen Mengen), bezüglich der alle Koordinatenabbildungen

${\displaystyle t_{j}\colon X\to \left[0,1\right]}$

${\displaystyle (t_{i}x_{i})\to t_{j}\quad (j\in J)}$

und

${\displaystyle x_{j}\colon \left\{(t_{i}x_{i})\colon t_{j}\not =0\right\}\to X_{j}}$

${\displaystyle (t_{i}x_{i})\to x_{j}\quad (j\in J)}$

stetig sind.