Die Von-Neumann-Spur ist ein Begriff aus der Mathematik, der insbesondere bei der Berechnung von L²-Betti-Zahlen Verwendung findet.

Definition

Für eine abzählbare Gruppe ${\displaystyle \Gamma }$ mit Gruppen-Von-Neumann-Algebra ${\displaystyle N\Gamma \subset B(l^{2}\Gamma )}$ definiert man die Von-Neumann-Spur

${\displaystyle tr_{\Gamma }\colon N\Gamma \to \mathbb {C} }$

durch

${\displaystyle tr_{\Gamma }(a)=\langle e,a(e)\rangle }$,

wobei ${\displaystyle e=1\cdot e_{\Gamma }\in \mathbb {C} \Gamma \subset l^{2}\Gamma }$ das neutrale Element und ${\displaystyle \langle .,.\rangle }$ das Skalarprodukt auf dem Hilbert-Modul ${\displaystyle l^{2}\Gamma }$ ist.

Eigenschaften

• Für alle ${\displaystyle a,b\in N\Gamma }$ ist ${\displaystyle tr_{\Gamma }(ab)=tr_{\Gamma }(ba)}$.
• Für ${\displaystyle a\in N\Gamma }$ und den adjungierten Operator ${\displaystyle a^{*}}$ gilt: ${\displaystyle tr_{\Gamma }(aa^{*})=0\Longleftrightarrow a=0}$.
• Wenn ${\displaystyle \langle x,a(x)\rangle \geq 0}$ für alle ${\displaystyle x\in l^{2}\Gamma }$, dann ist ${\displaystyle tr_{\Gamma }(a)\geq 0}$.

Beispiele

• Für eine endliche Gruppe ${\displaystyle \Gamma }$ ist ${\displaystyle N\Gamma =\mathbb {C} \Gamma }$ und ${\displaystyle tr_{\Gamma }(\sum _{g\in \Gamma }a_{g}\cdot g)=a_{e}}$.
• Für ${\displaystyle \Gamma =\mathbb {Z} }$ ist ${\displaystyle N\mathbb {Z} }$ via Fourier-Transformation isomorph zu ${\displaystyle L^{\infty }(\left[-\pi ,\pi \right],\mathbb {C} )}$, die Wirkung auf ${\displaystyle l^{2}\Gamma \simeq L^{2}(\left[-\pi ,\pi \right],\mathbb {C} )}$ ist durch punktweise Multiplikation, und die Von-Neumann-Spur ist ${\displaystyle tr_{\Gamma }(f)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }fd\mu }$.

Fortsetzung auf Matrizen

Für eine Matrix ${\displaystyle A\in Mat(n\times n,N\Gamma )}$ ist die Von-Neumann-Spur definiert durch

${\displaystyle tr_{\Gamma }(A)=\sum _{j=1}^{n}tr_{\Gamma }(A_{jj})}$.

Literatur

• W. Lück: L²-invariants: Theory and applications to geometry and K-theory. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. 44. Berlin: Springer (2002).
• H. Kammeyer: Introduction to l²-invariants. Lecture Notes in Mathematics 2247. Cham: Springer (2019).
• C. Löh: Ergodic theoretic methods in group homology. A minicourse on L²-Betti numbers in group theory. SpringerBriefs in Mathematics. Cham: Springer (2020).