Diskreter Fall

Gegeben sei eine Filtrierung ${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ und ein stochastischer Prozess ${\displaystyle X=(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$. Falls ${\displaystyle X_{0}}$ konstant ist und

${\displaystyle X_{n}{\text{ ist }}{\mathcal {F}}_{n-1}{\text{-messbar }}}$

für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} \setminus 0}$ gilt, so heißt der Prozess vorhersagbar, previsibel oder prognostizierbar.

Stetiger Fall

Im zeitstetigen Fall definiert man die vorhersagbare σ-Algebra auf ${\displaystyle \Omega \times [0,\infty )}$ als

${\displaystyle {\mathcal {P}}:=\sigma (X\,|\,X{\text{ ist adaptierter linksstetiger Prozess }})}$

(siehe adaptierter stochastischer Prozess, Linksstetiger Prozess). Ein Prozess heißt dann vorhersagbar, wenn ${\displaystyle (\omega ,t)\mapsto X_{t}(\omega )}$ eine ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$-messbare Abbildung ist.

Vorhersagbarer Sektionssatz

Für eine Stoppzeit ${\displaystyle S}$ definieren wir ihren Graphen ${\displaystyle [S]:=\{(\omega ,t)\in \Omega \times \mathbb {R} _{+}:S(\omega )=t\}}$, weiter definieren wir die kanonische Projektion ${\displaystyle \pi$ :\Omega \times \mathbb {R} _{+}\to \Omega } .

Sei ${\displaystyle A}$ eine vorhersagbare Menge. Für jedes ${\displaystyle \varepsilon >0}$ existiert eine vorhersagbare Stoppzeit ${\displaystyle T}$, so dass

1. für den Graphen ${\displaystyle [T]\subset A}$ gilt.
2. ${\displaystyle P[T<\infty ]\geq P(\pi (A))-\varepsilon .}$

Vorhersagbarer Projektionssatz

Sei ${\displaystyle X}$ ein messbarer Prozess der entweder positive oder beschränkt ist. Dann existiert ein eindeutiger (bis auf Ununterscheidbarkeit) vorhersagbarer Prozess ${\displaystyle Y}$, so dass

${\displaystyle \mathbb {E} [X_{T}1_{\{T<\infty \}}|{\mathcal {F}}_{T-}]=Y_{T}1_{\{T<\infty \}}}$ fast sicher für jede vorhersagbare Stoppzeit ${\displaystyle T}$.

Der Prozess ${\displaystyle Y}$ heißt vorhersagbare Projektion und wird auch mit ${\displaystyle ^{p}X}$ notiert.