Der Weinberg-Winkel, nach Steven Weinberg, oder elektroschwache Mischungswinkel ${\displaystyle \theta _{\text{W}}}$ ist eine Größe in der Theorie der elektroschwachen Wechselwirkung, die dort in verschiedenen Zusammenhängen auftritt. Er ist eine der Größen, die im Standardmodell nicht vorhergesagt werden, sondern experimentell bestimmt werden müssen.

Der Kosinus des Weinberg-Winkels tritt als Quotient der Massen des W- und des Z-Bosons auf:

${\displaystyle \cos \theta _{\text{W}}={\frac {m_{W}}{m_{Z}}}}$

Hintergrund

In der elektroschwachen Wechselwirkung sind elektromagnetische und schwache Wechselwirkung vereinigt und werden durch vier masselose Bosonen vermittelt:

• ${\displaystyle W^{1,2,3}}$; sie koppeln jeweils mit der Stärke ${\displaystyle gT_{3}}$ an andere Teilchen (${\displaystyle T_{3}}$ ist der schwache Isospin)
• ${\displaystyle B}$; es koppelt mit der Stärke ${\displaystyle g'Y_{\text{W}}}$ an andere Teilchen (${\displaystyle Y_{\text{W}}}$ ist die schwache Hyperladung).

Durch den Higgs-Mechanismus wird die elektroschwache Wechselwirkung spontan gebrochen in

• die elektromagnetische Wechselwirkung mit dem masselosen Photon ${\displaystyle \gamma }$ als Austauschboson und
• die schwache Wechselwirkung mit den massiven ${\displaystyle W^{\pm }}$ und ${\displaystyle Z}$ als Austauschbosonen.

Dabei vermischen sich die neutralen Teilchen ${\displaystyle B}$ und ${\displaystyle W^{3}}$ zum ${\displaystyle \gamma }$ und zum ${\displaystyle Z}$:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos \theta _{\text{W}}&\sin \theta _{\text{W}}\\-\sin \theta _{\text{W}}&\cos \theta _{\text{W}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B\\W^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma \\Z\end{pmatrix}}}$

Die Transformationsmatrix zwischen diesen Zuständen kann aufgefasst werden als Rotation um den elektroschwachen Mischungswinkel ${\displaystyle \theta _{\text{W}}}$ in zwei Dimensionen.

Als Resultat dieser Mischung ergibt sich, dass

• das Photon mit einer Stärke ${\displaystyle gQ\sin \theta _{\text{W}}}$ an Fermionen koppelt, wobei ${\displaystyle Q}$ die elektrische Ladung (in Einheiten der Elementarladung ${\displaystyle e}$) bezeichnet
• das Z-Boson mit einer Stärke ${\displaystyle \textstyle {\frac {g}{\cos \theta _{\text{W}}}}\left(T_{3}-Q\sin ^{2}\theta _{\text{W}}\right)}$ an Fermionen koppelt.

Daraus folgt, dass gelten muss:

${\displaystyle e=g\sin \theta _{\text{W}}}$

Außerdem gilt:

${\displaystyle e=g'\cos \theta _{\text{W}}}$

Demgegenüber koppeln die geladenen W-Bosonen weiterhin mit einer Stärke ${\displaystyle gT_{3}}$, da sie nicht von der Mischung betroffen sind.

Die unterschiedlichen Kopplungen an das Higgs-Feld führen auch dazu, dass die Bosonen nicht dieselbe Masse besitzen. Das Photon ist masselos:

${\displaystyle m_{\gamma }=0}$,

und das ${\displaystyle Z}$ ist um einen Faktor ${\displaystyle (\cos \theta _{\text{W}})^{-1}}$ schwerer als die ${\displaystyle W^{\pm }}$:

${\displaystyle m_{Z}={\frac {m_{W}}{\cos \theta _{\text{W}}}}}$.

Die Schwäche der schwachen Wechselwirkung gegenüber der elektromagnetischen bei niedrigen Energien erklärt sich somit nicht – wie früher angenommen – über eine kleine Kopplungskonstante (e und g bzw. g' liegen jeweils in derselben Größenordnung, s. o.). Sie stammt stattdessen aus dem Propagatorterm, in dessen Nenner die große Masse der W- bzw. Z-Bosonen quadratisch eingeht, während die Masse des Photons Null ist.

Experimentelle Bestimmung

Der elektroschwache Mischungswinkel ist nicht direkt messbar, kann aber auf verschiedene Weise indirekt bestimmt werden. Da er in verschiedenen Zusammenhängen auftritt, ist die unabhängige Messung des Weinberg-Winkels ein wichtiger Präzisionstest für die Gültigkeit des Standardmodells.

Eine Möglichkeit ist beispielsweise, die Massen der W- und Z-Bosonen zu messen und daraus den Mischungswinkel zu berechnen. Präziser sind hingegen Streuexperimente, die sich die Mischung der Z-Bosonen und des Photons zunutze machen und die eine Asymmetrie im differentiellen Wirkungsquerschnitt messen.

Da die Kopplungskonstanten laufen, ist auch der Weinberg-Winkel abhängig von der betrachteten Energieskala. Des Weiteren ist aufgrund von Effekten höherer Ordnung in quantenfeldtheoretischer Störungstheorie der Weinberg-Winkel abhängig vom verwendeten Renormierungsschema.

Der aktuelle Wert für den effektiven Weinberg-Winkel beträgt nach der Particle Data Group im MS-bar-Schema

${\displaystyle \sin ^{2}\theta _{\text{W}}(m_{Z})=0{,}23122(4)}$

und nach CODATA im On-shell-Schema

${\displaystyle \sin ^{2}\theta _{\text{W}}=0{,}22290(30)}$.

Literatur

• Mattew D. Schwartz: Quantum Field Theory and the Standard Model. Cambridge University Press, Cambridge 2014, ISBN 978-1-107-03473-0 (englisch). 
• The ALEPH, DELPHI, L3, OPAL, SLD Collaborations, the LEP Electroweak Working Group und the SLD Electroweak and Heavy Flavour Groups: Precision Electroweak Measurements on the Z Resonance. In: Phys. Rept. Band 427, Nr. 5 – 6, 2006, S. 257 – 451, doi:10.1016/j.physrep.2005.12.006, arxiv:hep-ex/0509008 (englisch). 

Einzelnachweise

1. ↑ Particle Data Group: Particle Physics Booklet. 15. November 2018, S. 7. 
2. ↑ CODATA Recommended Values. NIST, abgerufen am 4. Februar 2023 (englisch).