In der Mathematik ist ein Wendepunkt ein Punkt auf einem Funktionsgraphen, an dem der Graph sein Krümmungsverhalten ändert: Der Graph wechselt hier entweder von einer Rechts- in eine Linkskurve oder umgekehrt. Dieser Wechsel wird auch Bogenwechsel genannt. Die Ermittlung von Wendepunkten ist Bestandteil einer Kurvendiskussion.

Ein Wendepunkt ${\displaystyle W\left(x_{W}|f(x_{W})\right)}$ an der Wendestelle ${\displaystyle \ x_{W}}$ liegt vor, wenn die Krümmung des Funktionsgraphen an der Stelle ${\displaystyle x_{W}}$ ihr Vorzeichen wechselt. Daraus lassen sich verschiedene hinreichende Kriterien zur Bestimmung von Wendepunkten ableiten. Ein Kriterium fordert, dass die zweite Ableitung der differenzierbaren Funktion ${\displaystyle f}$ an der Stelle ${\displaystyle \ x_{W}}$ ihr Vorzeichen wechselt. Andere Kriterien fordern nur, dass die zweite Ableitung der Funktion Null ist und dass bestimmte höhere Ableitungen ungleich Null sind.

Betrachtet man die zweite Ableitung einer Funktion ${\displaystyle f}$ als „Steigung ihrer Steigung“, lassen sich ihre Wendestellen auch als Extremstellen, das heißt lokale Maxima oder Minima, ihrer Steigung interpretieren.

Tangenten durch einen Wendepunkt (im Bild rot gezeichnet) heißen Wendetangenten. Wendepunkte, in denen diese Wendetangenten horizontal verlaufen, werden Sattel-, Terrassen- oder Horizontalwendepunkte genannt.

Analog zum Begriff Extremwert scheint der Begriff Wendewert für den entsprechenden Funktionswert ${\displaystyle f(x_{W})}$ intuitiv plausibel und wird auch in manchen Quellen verwendet. Allerdings wird dabei direkt oder indirekt (durch Nutzung von bspw. Anführungszeichen) darauf hingewiesen, dass es sich hierbei um einen tendenziell unüblichen Terminus handelt.

Definition

Sei ${\displaystyle {]a,b[}\subset \mathbb {R} }$ ein offenes Intervall und ${\displaystyle f\colon {]a,b[}\to \mathbb {R} }$ eine stetige Funktion. Man sagt, ${\displaystyle f}$ habe in ${\displaystyle x_{0}}$ einen Wendepunkt, wenn es Intervalle ${\displaystyle ]\alpha ,x_{0}[}$ und ${\displaystyle ]x_{0},\beta [}$ gibt, so dass entweder

• ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle ]\alpha ,x_{0}[}$ strikt konvex und in ${\displaystyle ]x_{0},\beta [}$ strikt konkav ist, oder dass
• ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle ]\alpha ,x_{0}[}$ strikt konkav und in ${\displaystyle ]x_{0},\beta [}$ strikt konvex ist.

Anschaulich bedeutet dies, dass der Graph der Funktion ${\displaystyle f}$ im Punkt ${\displaystyle x_{0}}$ das Vorzeichen seiner Krümmung ändert. Die Krümmung einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion wird durch ihre zweite Ableitung beschrieben.

Kriterien zur Bestimmung von Wendepunkten

Im Folgenden wird angenommen, dass die Funktion ${\displaystyle f\colon {]a,b[}\to \mathbb {R} }$ hinreichend oft differenzierbar ist. Gilt dies nicht, so sind die folgenden Kriterien bei der Suche nach Wendepunkten nicht anwendbar. Zuerst wird ein notwendiges Kriterium vorgestellt, das heißt jede zweimal stetig differenzierbare Funktion muss dieses Kriterium an einer Stelle ${\displaystyle x_{W}}$ erfüllen, damit unter Umständen an diesem Punkt ein Wendepunkt vorliegt. Danach werden einige hinreichende Kriterien angegeben. Sind diese Kriterien erfüllt, so liegt sicher ein Wendepunkt vor, jedoch gibt es auch Wendepunkte, die diese hinreichenden Kriterien nicht erfüllen.

Beispiel

${\displaystyle {f(x)}={1 \over 3}\cdot x^{3}-2\cdot x^{2}+3\cdot x}$

Dann ist die zweite Ableitung der Funktion gegeben durch:

${\displaystyle {f''(x)}={2\cdot x-4}}$

Eine Wendestelle ${\displaystyle x_{W}}$ muss die Bedingung

${\displaystyle {f''(x)}=0}$ bzw.

${\displaystyle {2\cdot x-4}=0}$

erfüllen. Daraus folgt ${\displaystyle x_{W}=2}$. Um zu klären, ob an dieser Stelle tatsächlich ein Wendepunkt vorliegt, untersucht man nun auch die dritte Ableitung:

${\displaystyle {f'''(x)}=2\,}$

Aus ${\displaystyle f\,'''(x_{W})=f'''(2)=2\neq 0}$ ist zu schließen, dass es sich um einen Wendepunkt handelt. Diese Tatsache ist auch ohne Verwendung der dritten Ableitung zu erkennen: Wegen ${\displaystyle f\,''(x)=2\cdot x-4<0}$ für ${\displaystyle x<2}$ und ${\displaystyle f\,''(x)=2\cdot x-4>0}$ für ${\displaystyle x>2}$ ändert sich das Krümmungsverhalten; daher muss ein Wendepunkt vorliegen.

Die ${\displaystyle y}$-Koordinate dieses Wendepunkts erhält man durch Einsetzen von ${\displaystyle x=2}$ in die Funktionsgleichung.

${\displaystyle y_{W}=f(2)={1 \over 3}\cdot 2^{3}-2\cdot 2^{2}+3\cdot 2={2 \over 3}}$

Die Gleichung der Wendetangente kann bestimmt werden, indem man die x-Koordinate des Wendepunktes (2) in die erste Ableitung einsetzt. Somit erhält man die Steigung (m). Danach setzt man in die Funktionsbestimmung (y = mx + b) die ermittelte x- & y-Koordinate des Wendepunkts und den m- (Steigungs-)Wert ein. Man erhält dann den Schnittpunkt mit der y-Achse (b) und somit die komplette Gleichung der Wendetangente.

${\displaystyle f\,'(x)=x^{2}-4\cdot x+3}$

${\displaystyle f\,'(2)=2^{2}-4\cdot 2+3=-1}$

Wendetangente: ${\displaystyle y=-x+{8 \over 3}}$

Besondere Fälle

Der Graph der Funktion ${\displaystyle f(x)=(x-2)\cdot e^{|x|}}$ ändert bei ${\displaystyle x=0}$ sein Krümmungsverhalten (Übergang von Rechts- in Linkskrümmung). Die erste Ableitung an der Stelle ${\displaystyle x=0}$ existiert nicht, der obige Formalismus ist damit nicht anwendbar. Dennoch hat die Funktion bei ${\displaystyle x=0}$ einen Wendepunkt.

Der Graph der Funktion mit der Gleichung ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ im positiven und ${\displaystyle f(x)=-x^{2}}$ im negativen Bereich und bei ${\displaystyle x=0}$, d. h. ${\displaystyle f(x)=x|x|}$, hat zwar eine erste, aber keine zweite Ableitung an der Stelle ${\displaystyle 0}$, gleichwohl liegt ein Wendepunkt vor.

Siehe auch

• Flachpunkt, ein Punkt an dem ${\displaystyle f''=0}$ ist (bzw. an dem ${\displaystyle f''=0}$ ist, aber sich das Krümmungsverhalten nicht ändert – je nach Definition)

Literatur

• Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis, Teil 1. 11. Auflage, S. 293.

Weblinks

Einzelnachweise

1. ↑ Österreichisches Bundesministerium für Bildung, Wissenschaft und Kultur (Hg.): Wissenschaftliche Nachrichten; Nr. 122, Juli/August 2003, S. 40.
2. ↑ Wendewert im Mathe-Lexikon der Mathe-AC Lernwerkstatt Aachen (Abruf: 11. Februar 2019 19:59).
3. ↑ W. Gellert, H. Küstner, M. Hellwich, H. Kästner: Kleine Enzyklopädie Mathematik; Leipzig 1970, S. 433–434.