Definition

Ein Kugelkoordinatensystem im dreidimensionalen euklidischen Raum wird festgelegt durch die Wahl

• eines Zentrums ${\displaystyle O}$ (Ursprung),
• einer gerichteten Gerade durch das Zentrum (Polachse), die die Polrichtung (oder Zenitrichtung) angibt, und durch diese festgelegt die Äquatorebene, die orthogonal zur Polrichtung durch das Zentrum verläuft, und
• einer Bezugsrichtung in der Äquatorebene.

Oft wird gleichzeitig ein kartesisches Koordinatensystem verwendet. Dann wird typischerweise der Ursprung des kartesischen Koordinatensystems als Zentrum gewählt, die z-Achse als Polachse (und damit die x-y-Ebene als Äquatorebene) und die x-Achse als Bezugsrichtung.

In der Version der Kugelkoordinaten, die in der Mathematik und in der Physik üblich ist, wird ein Punkt ${\displaystyle P}$ durch die folgenden drei Koordinaten festgelegt:

• ${\displaystyle r}$, der Radius, ist der Abstand des Punktes ${\displaystyle P}$ von ${\displaystyle O}$, hiermit wird die Kugeloberfläche festgelegt, auf der sich ${\displaystyle P}$ befindet.
• ${\displaystyle \theta }$ oder ${\displaystyle \vartheta }$, der Polarwinkel oder Poldistanzwinkel, ist der Winkel zwischen der Polrichtung und der Strecke ${\displaystyle OP}$, gezählt von ${\displaystyle 0}$ bis ${\displaystyle \pi }$ (0° bis 180°), hierdurch wird der Ort des Punktes ${\displaystyle P}$ auf eine Kreislinie der Kugeloberfläche festgelegt.
• ${\displaystyle \varphi }$ oder ${\displaystyle \phi }$, der Azimutwinkel, ist der Winkel zwischen der Bezugsrichtung und der Orthogonalprojektion der Strecke ${\displaystyle OP}$, gezählt von ${\displaystyle -\pi }$ bis ${\displaystyle \pi }$ (−180° bis 180°) oder von 0 bis ${\displaystyle 2\pi }$ (0° bis 360°) gegen den Uhrzeigersinn. Hierdurch wird der Ort des Punktes ${\displaystyle P}$ auf der Kreislinie eindeutig definiert.

Die nebenstehende Abbildung zeigt einen Punkt ${\displaystyle P}$ mit den Kugelkoordinaten ${\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}$. Die beiden Winkelgrößen ${\displaystyle \theta }$ und ${\displaystyle \varphi }$ werden auch als Winkelkoordinaten bezeichnet.

Umrechnungen

Jedem Koordinatentripel ${\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}$ wird ein Punkt im dreidimensionalen euklidischen Raum zugeordnet (Parametrisierung). Wählt man ein kartesisches Koordinatensystem wie oben, so kann die Zuordnung durch die folgenden Gleichungen beschrieben werden:

${\displaystyle {\begin{array}{cll}x&=&r\cdot \sin \theta \cdot \cos \varphi \\y&=&r\cdot \sin \theta \cdot \sin \varphi \\z&=&r\cdot \cos \theta \end{array}}}$

Bei diesen Gleichungen können für ${\displaystyle r}$, ${\displaystyle \theta }$ und ${\displaystyle \varphi }$ beliebige Zahlenwerte eingesetzt werden. Damit die Kugelkoordinaten eindeutig bestimmt sind, muss man den Wertebereich der Koordinaten einschränken. Üblicherweise wird der Radius ${\displaystyle r}$ auf nichtnegative Werte beschränkt, der Winkel ${\displaystyle \theta }$ auf das Intervall ${\displaystyle [0,\pi ]}$ bzw. [0, 180°] und der Winkel ${\displaystyle \varphi }$ entweder auf das Intervall ${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$ bzw. (−180°, 180°] oder das Intervall ${\displaystyle [0,2\pi )}$ bzw. [0, 360°). Auch dann gibt es ausgeartete Punkte, für die die Winkelkoordinaten nicht eindeutig sind. Für Punkte auf der z-Achse ist der Winkel ${\displaystyle \varphi }$ nicht festgelegt, also beliebig. Für den Ursprung ist auch ${\displaystyle \theta }$ beliebig. Um Eindeutigkeit zu erreichen, kann man für diese Punkte ${\displaystyle \varphi =0}$ festlegen und für den Ursprung zusätzlich ${\displaystyle \theta =0}$.

Für die anderen Punkte lassen sich die Kugelkoordinaten ${\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}$ aus den kartesischen Koordinaten ${\displaystyle (x,y,z)}$ durch die folgenden Gleichungen berechnen:

${\displaystyle {r}={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$

${\displaystyle {\theta }=\arccos {\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\ =\arccos {\frac {z}{r}}\ =\ \operatorname {arccot} {\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}$

${\displaystyle \varphi =\operatorname {atan2} (y,x)={\begin{cases}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&{\text{, wenn }}x>0,\\{\frac {\pi }{2}}\operatorname {sgn} y&{\text{, wenn }}x=0,\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)+\pi &{\text{, wenn }}x<0\land y\geq 0,\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\pi &{\text{, wenn }}x<0\land y<0.\end{cases}}}$

Die angegebenen Gleichungen für den Winkel ${\displaystyle \varphi }$ gelten, wenn ${\displaystyle \varphi }$ zwischen ${\displaystyle -\pi }$ und ${\displaystyle \pi }$ gewählt wird. Wählt man ${\displaystyle \varphi }$ zwischen 0 und ${\displaystyle 2\pi }$, so sind sie geeignet zu modifizieren.

In der Analysis und ihren Anwendungen werden Kugelkoordinaten-Winkel meist im Bogenmaß angegeben.

Jacobi-Matrix

Die lokalen Eigenschaften der Koordinatentransformation werden durch die Jacobi-Matrix beschrieben. Für die Transformation von Kugelkoordinaten in kartesische Koordinaten lautet diese

${\displaystyle J={\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi &r\cos \theta \cos \varphi &-r\sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &r\cos \theta \sin \varphi &r\sin \theta \cos \varphi \\\cos \theta &-r\sin \theta &0\end{pmatrix}}.}$

Die zugehörige Funktionaldeterminante lautet:

${\displaystyle \det J=r^{2}\sin \theta }$

Man berechnet die Jacobi-Matrix der entgegengesetzten Transformation am einfachsten als Inverse von ${\displaystyle J}$:

${\displaystyle J^{-1}={\frac {\partial (r,\theta ,\varphi )}{\partial (x,y,z)}}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi &\sin \theta \sin \varphi &\cos \theta \\{\frac {1}{r}}\cos \theta \cos \varphi &{\frac {1}{r}}\cos \theta \sin \varphi &-{\frac {1}{r}}\sin \theta \\-{\frac {1}{r}}{\frac {\sin \varphi }{\sin \theta }}&{\frac {1}{r}}{\frac {\cos \varphi }{\sin \theta }}&0\end{pmatrix}}.}$

Einige Komponenten dieser Matrix sind Brüche, an deren Nennern man die Uneindeutigkeit der Polarkoordinaten bei ${\displaystyle \textstyle r=0}$ und bei ${\displaystyle \textstyle \sin \theta =0}$ (also ${\displaystyle \textstyle \theta =0}$ oder ${\displaystyle \textstyle \pi }$) erkennt. Weniger gebräuchlich ist die Darstellung in kartesischen Koordinaten:

${\displaystyle J^{-1}={\begin{pmatrix}{\frac {x}{r}}&{\frac {y}{r}}&{\frac {z}{r}}\\\\{\frac {xz}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\frac {yz}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\frac {-(x^{2}+y^{2})}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}\\\\{\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}&{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}&0\end{pmatrix}}.}$

Differentiale, Volumenelement, Flächenelement, Linienelement

Die Jacobi-Matrix erlaubt es, die Umrechnung von Differentialen übersichtlich als lineare Abbildung zu schreiben:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathrm {d} x\\\mathrm {d} y\\\mathrm {d} z\end{pmatrix}}=J\cdot {\begin{pmatrix}\mathrm {d} r\\\mathrm {d} \theta \\\mathrm {d} \varphi \end{pmatrix}}}$

beziehungsweise

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathrm {d} r\\\mathrm {d} \theta \\\mathrm {d} \varphi \end{pmatrix}}=J^{-1}\cdot {\begin{pmatrix}\mathrm {d} x\\\mathrm {d} y\\\mathrm {d} z\end{pmatrix}}}$.

Das Volumenelement ${\displaystyle \mathrm {d} V=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z}$ lässt sich besonders einfach mit Hilfe der Funktionaldeterminante

${\displaystyle \det J=r^{2}\sin \theta }$

umrechnen:

${\displaystyle \,\mathrm {d} V=r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} r}$.

Durch Differentiation ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} r}}}$ erhält man für das Flächenelement ${\displaystyle \mathrm {d} A}$ auf einer Sphäre mit Radius ${\displaystyle r}$

${\displaystyle \mathrm {d} A=r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} \theta }$.

Das Linienelement ${\displaystyle \mathrm {d} s}$ errechnet man gemäß

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}+\mathrm {d} z^{2}=\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\mathrm {d} \theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \mathrm {d} \varphi ^{2}}$

Metrik und Rotationsmatrix

Im Fehlen gemischter Glieder im Linienelement ${\displaystyle \mathrm {d} s}$ spiegelt sich wider, dass der metrische Tensor

${\displaystyle g=J^{T}J={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&r^{2}&0\\0&0&r^{2}\sin ^{2}\theta \end{pmatrix}}}$

auch in Kugelkoordinaten keine Außerdiagonalelemente hat.

Der metrische Tensor ist offensichtlich das Quadrat der Diagonalmatrix

${\displaystyle h=\operatorname {diag} (1,r,r\sin \theta )}$.

Mit Hilfe dieser Matrix lässt sich die Jacobi-Matrix als ${\displaystyle J=Sh}$ schreiben, wobei ${\displaystyle S}$ die Rotationsmatrix

${\displaystyle S={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi &\cos \theta \cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &\cos \theta \sin \varphi &\cos \varphi \\\cos \theta &-\sin \theta &0\end{pmatrix}}}$

ist.

Transformation der Vektorraumbasis

Der Basisvektor ${\displaystyle \mathbf {e} _{\varphi }}$ zur Koordinate ${\displaystyle \varphi }$ gibt an, in welche Richtung sich ein Punkt ${\displaystyle P(r,\theta ,\varphi )}$ bewegt, wenn die Koordinate ${\displaystyle \varphi }$ um einen infinitesimalen Betrag ${\displaystyle d\varphi }$ verändert wird:

${\displaystyle \mathbf {e} _{\varphi }\sim {\frac {\partial \mathrm {P} }{\partial \varphi }}}$.

Daraus erhält man

${\displaystyle \mathbf {e} _{\varphi }\sim {\frac {\partial \mathrm {P} }{\partial \varphi }}={\frac {\partial x}{\partial \varphi }}\mathbf {e} _{x}+{\frac {\partial y}{\partial \varphi }}\mathbf {e} _{y}+{\frac {\partial z}{\partial \varphi }}\mathbf {e} _{z}=-r\sin \theta \sin \varphi \mathbf {e} _{x}+r\sin \theta \cos \varphi \mathbf {e} _{y}}$.

Um eine orthonormale Basis zu erhalten, muss ${\displaystyle e_{\varphi }}$ noch auf die Länge ${\displaystyle 1}$ normiert werden:

${\displaystyle \mathbf {e} _{\varphi }=-\sin \varphi \,\mathbf {e} _{x}+\cos \varphi \,\mathbf {e} _{y}}$.

Auf gleiche Weise erhält man die Basisvektoren ${\displaystyle e_{r}}$ und ${\displaystyle e_{\theta }}$:

${\displaystyle \mathbf {e} _{r}=\sin \theta \cos \varphi \,\mathbf {e} _{x}+\sin \theta \sin \varphi \,\mathbf {e} _{y}+\cos \theta \,\mathbf {e} _{z}}$

${\displaystyle \mathbf {e} _{\theta }=\cos \theta \cos \varphi \,\mathbf {e} _{x}+\cos \theta \sin \varphi \,\mathbf {e} _{y}-\sin \theta \,\mathbf {e} _{z}}$

Als Spaltenvektoren geschrieben:

${\displaystyle \mathbf {e} _{r}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi \\\sin \theta \sin \varphi \\\cos \theta \end{pmatrix}},\qquad \mathbf {e} _{\theta }={\begin{pmatrix}\cos \theta \cos \varphi \\\cos \theta \sin \varphi \\-\sin \theta \end{pmatrix}},\qquad \mathbf {e} _{\varphi }={\begin{pmatrix}-\sin \varphi \\\cos \varphi \\0\end{pmatrix}}}$

Diese Basisvektoren bilden in der Reihenfolge ${\displaystyle \mathbf {e} _{r},\mathbf {e} _{\theta },\mathbf {e} _{\varphi }}$ ein Rechtssystem.

Die zugehörigen Richtungen werden auch radial, meridional und azimutal genannt. Diese Begriffe spielen nicht nur in der Astronomie und den Geowissenschaften (z. B. Geographie, Geologie oder Geophysik) eine zentrale Rolle, sondern auch in Mathematik, Physik und verschiedenen Ingenieurwissenschaften, etwa bei der Ausstrahlung von elektromagnetischen Wellen („Hertzscher Dipol“) durch eine in z-Richtung aufgespannte Antenne, wo die Ausstrahlung in radialer Richtung erfolgt, während elektrisches bzw. magnetisches Feld in meridionaler bzw. azimutaler Richtung schwingen.

Mithilfe der oben eingeführten Rotationsmatrix ${\displaystyle S}$ lassen sich die Transformationen auch kompakt darstellen:

${\displaystyle (\mathbf {e} _{r},\mathbf {e} _{\theta },\mathbf {e} _{\varphi })=(\mathbf {e} _{x},\mathbf {e} _{y},\mathbf {e} _{z})\cdot S}$ .

In die Gegenrichtung lauten die Gleichungen dann:

${\displaystyle (\mathbf {e} _{x},\mathbf {e} _{y},\mathbf {e} _{z})=(\mathbf {e} _{r},\mathbf {e} _{\theta },\mathbf {e} _{\varphi })\cdot S^{T}}$.

(Dabei wird verwendet, dass ${\displaystyle S}$ orthogonal ist und deshalb ${\displaystyle S^{-1}=S^{T}}$.)

Transformation eines Vektorfeldes

Ein Vektor, als ein geometrisches Objekt, muss vom Koordinatensystem unabhängig sein:

${\displaystyle A_{x}\mathbf {e} _{x}+A_{y}\mathbf {e} _{y}+A_{z}\mathbf {e} _{z}=\mathbf {A} =A_{r}\mathbf {e} _{r}+A_{\theta }\mathbf {e} _{\theta }+A_{\varphi }\mathbf {e} _{\varphi }.}$

Diese Bedingung wird erfüllt durch

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{x}\\A_{y}\\A_{z}\end{pmatrix}}=S\cdot {\begin{pmatrix}A_{r}\\A_{\theta }\\A_{\varphi }\end{pmatrix}}}$   beziehungsweise   ${\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{r}\\A_{\theta }\\A_{\varphi }\end{pmatrix}}=S^{T}\cdot {\begin{pmatrix}A_{x}\\A_{y}\\A_{z}\end{pmatrix}}}$.

Transformation der partiellen Ableitungen

Die partiellen Ableitungen transformieren sich wie die Basisvektoren, aber ohne Normierung. Man kann genau wie oben rechnen, nur lässt man den Punkt ${\displaystyle P}$ im Zähler weg (tatsächlich werden in der modernen Formulierung der Differentialgeometrie die Koordinatenbasisvektoren des Tangentialraums und die partiellen Ableitungen gleichgesetzt) und verwendet die Jacobi-Matrix ${\displaystyle J=Sh}$ anstelle der Rotationsmatrix ${\displaystyle S}$. Die Transformation lautet also:

${\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial r}},{\frac {\partial }{\partial \theta }},{\frac {\partial }{\partial \varphi }}\right)=\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\cdot J}$,

und in die Gegenrichtung

${\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)=\left({\frac {\partial }{\partial r}},{\frac {\partial }{\partial \theta }},{\frac {\partial }{\partial \varphi }}\right)\cdot J^{-1}}$.

Transformation des Nabla-Operators

Der Nabla-Operator ${\displaystyle \nabla }$ hat nur in kartesischen Koordinaten die einfache Form

${\displaystyle \mathbf {\nabla } =\mathbf {e} _{x}{\frac {\partial }{\partial x}}+\mathbf {e} _{y}{\frac {\partial }{\partial y}}+\mathbf {e} _{z}{\frac {\partial }{\partial z}}}$.

Sowohl die partiellen Ableitungen als auch die Einheitsvektoren muss man in der oben hergeleiteten Weise transformieren. Man findet:

${\displaystyle \mathbf {\nabla } =\mathbf {e} _{r}{\frac {\partial }{\partial r}}+\mathbf {e} _{\theta }{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}+\mathbf {e} _{\varphi }{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \varphi }}}$.

In dieser Form kann der transformierte Nabla-Operator unmittelbar angewandt werden, um den Gradienten eines in Kugelkoordinaten gegebenen Skalarfeldes zu berechnen.

Um die Divergenz eines in Kugelkoordinaten gegebenen Vektorfeldes A zu berechnen, ist hingegen zu berücksichtigen, dass ${\displaystyle \nabla }$ nicht nur auf die Koeffizienten ${\displaystyle A_{r},A_{\theta },A_{\varphi }}$ wirkt, sondern auch auf die in A implizit enthaltenen Basisvektoren ${\displaystyle \mathbf {e} _{r},\mathbf {e} _{\theta },\mathbf {e} _{\varphi }}$

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} ={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}(r^{2}A_{r})+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}(\sin \theta A_{\theta })+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \varphi }}A_{\varphi }.}$

Um die Rotation eines in Kugelkoordinaten gegebenen Vektorfeldes A zu berechnen, ist dasselbe zu berücksichtigen:

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} ={1 \over r\sin \theta }\left({\partial \over \partial \theta }(A_{\varphi }\sin \theta )-{\partial A_{\theta } \over \partial \varphi }\right)\mathbf {e} _{r}+{1 \over r}\left({1 \over \sin \theta }{\partial A_{r} \over \partial \varphi }-{\partial \over \partial r}(rA_{\varphi })\right)\mathbf {e} _{\theta }+{1 \over r}\left({\partial \over \partial r}(rA_{\theta })-{\partial A_{r} \over \partial \theta }\right)\mathbf {e} _{\varphi }}$

Transformation des Laplace-Operators

Wenn man in der Divergenzformel als Vektorfeld A den Gradientenoperator ${\displaystyle \nabla }$ einsetzt, findet man den Laplace-Operator

${\displaystyle \mathbf {\Delta } =\mathbf {\nabla } ^{2}={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial }{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}}$.

bzw.

${\displaystyle \mathbf {\Delta } ={\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}}$.

Jacobi-Matrix

Die Jacobi-Matrix der Kugelkoordinaten lautet bezüglich der als oberes gegebenen Nummerierung:

${\displaystyle J=\left({\begin{matrix}\cos(\phi _{1})&-r\sin(\phi _{1})&0&0&\cdots &0\\\sin(\phi _{1})\cos(\phi _{2})&r\cos(\phi _{1})\cos(\phi _{2})&-r\sin(\phi _{1})\sin(\phi _{2})&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &0\\\sin(\phi _{1})\cdots \sin(\phi _{n-2})\cos(\phi _{n-1})&r\cos(\phi _{1})\cdots \sin(\phi _{n-2})\cos(\phi _{n-1})&\cdots &\cdots &\cdots &-r\sin(\phi _{1})\cdots \sin(\phi _{n-2})\sin(\phi _{n-1})\\\sin(\phi _{1})\cdots \sin(\phi _{n-2})\sin(\phi _{n-1})&r\cos(\phi _{1})\cdots \sin(\phi _{n-2})\sin(\phi _{n-1})&\cdots &\cdots &\cdots &r\sin(\phi _{1})\cdots \sin(\phi _{n-2})\cos(\phi _{n-1})\end{matrix}}\right)}$

Ihre Determinante beträgt:

${\displaystyle \det J_{(n)}=r^{n-1}\sin(\phi _{1})^{n-2}\sin(\phi _{2})^{n-3}\cdots \sin(\phi _{n-2})=\displaystyle r^{n-1}\cdot \prod _{k=2}^{n-1}\left(\sin(\phi _{n-k})\right)^{k-1}\quad n\geq 2}$

Das Integral über den Betrag dieser Determinante lässt sich mit der Gammafunktion ${\displaystyle \Gamma }$ angeben.

${\displaystyle \int _{0}^{R}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\dots \int _{0}^{\pi }|\det J_{(n)}|\,{\text{d}}\phi _{1}\dots {\text{d}}\phi _{n-2}{\text{d}}\phi _{n-1}{\text{d}}r={\frac {2\pi R^{n}}{n}}\cdot \prod _{k=2}^{n-1}\int _{0}^{\pi }(\sin(\phi _{n-k}))^{k-1}{\text{d}}\phi _{n-k}={\frac {2\pi R^{n}}{n}}\cdot \prod _{k=2}^{n-1}{\frac {{\sqrt {\pi }}\;\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {k+1}{2}}\right)}}={\frac {{\sqrt {\pi }}^{n}R^{n}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}\quad n\geq 2}$

Dies entspricht dem Kugelvolumen einer ${\displaystyle n}$-dimensionalen Hyperkugel:

${\displaystyle V_{n}(R)={\frac {{\sqrt {\pi }}^{n}R^{n}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}}$

Beispiel

Zuordnung am Beispiel ${\displaystyle n=3}$ mit den geläufigen Koordinatenachsen ${\displaystyle x,y,z}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{3}&=z=r\cos(\phi _{2})\\x_{2}&=x=r\sin(\phi _{2})\cos(\phi _{1})\\x_{1}&=y=r\sin(\phi _{2})\sin(\phi _{1})\\\end{aligned}}}$

Die Winkel sind dann:

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan(\phi _{2})={\frac {\left\Vert {\vec {L}}_{2}\right\Vert }{x_{3}}}&={\frac {\sqrt {x_{2}^{2}+x_{1}^{2}}}{x_{3}}}={\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}}\\\tan(\phi _{1})={\frac {\left\Vert {\vec {L}}_{1}\right\Vert }{x_{2}}}&={\frac {\sqrt {x_{1}^{2}}}{x_{2}}}={\frac {y}{x}}\end{aligned}}}$