Beispiel 1: Primzahlen

Mit der Funktion Prime[k] wird die k-te Primzahl berechnet und angezeigt, zum Beispiel

In[1]:= Prime[15]

Out[1]= 47

Man beachte: Präfixe werden von Mathematica in kleiner Schrift und in bläulicher Farbe ausgeschrieben (sind also keine Links).

Eine Liste von Primzahlen kann auf mehrere Arten erzeugt werden, zum Beispiel die Liste der ersten 15 Primzahlen.

1. Variante: Die Funktion Table anwenden

In[1]:= Table[Prime[i],{i,15}]

Out[1]= {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47}

2. Variante: Die Funktion Range anwenden

In[1]:= Prime /@ Range[15]

Out[1]= {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47}

3. Variante: Primzahlen in Datenfeldern speichern

In[1]:= f[n_]:=Table[Prime[i],{i,n}]

In[2]:= f[15]

Out[2]= {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47}

4. Variante: Die Liste der Primzahlen blockweise über Primzahlstufen selektieren

In[1]:= tm = 2; p = {}; k = 1; Do[

  Do[If[t > 0, 
    For[i = 1, (s = p[[i]]) <= t + 1, i++, 
     If[GCD[k - s, 2 s - 1] != 1, Goto[l]]]]; p = AppendTo[p, k]; 
   Label[l]; k++, {4 (t + 1)}], {t, 0, tm}]; p *= 2; p--; p[[1]]++; p

Out[1]= {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47}

Die 4. Variante vermittelt einen Eindruck von Mathematica als Programmiersprache.

Es gibt weitere Primzahl-Funktionen. Die Funktion PrimePi[x] gibt die Anzahl der Primzahlen kleiner oder gleich x zurück, zum Beispiel

In[1]:= PrimePi[50]

Out[1}= 15

Ob die Ganzzahl n eine Primzahl ist, kann man mit der Funktion PrimeQ[n] abfragen. Zum Beispiel: Ist die Jahreszahl 2017 eine Primzahl?

n[1]:= PrimeQ[2017]

Out[1]= True

Ist die Jahreszahl 2023 eine Primzahl?

In[1]:= PrimeQ[2023]

Out[1]= False

Welche Teiler hat 2023?

In[1]:= Divisors[2023]

Out[1]= {1,7,17,119,289,2023}

Beispiel 2: Mittelwertberechnung

Untenstehend drei Arten, mit Mathematica den Mittelwert einer Werteliste zu berechnen. Im interaktiven Modus nummeriert Mathematica die Ein- und Ausgaben und liefert die Ergebnisse direkt.

Werteliste definieren:

In[1]:= myData = Range[8]

Out[1]= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

Mathematica-eigene Funktion benutzen:

In[2]:= Mean[myData]

Out[2]= 9/2

Listenmanipulation benutzen:

In[3]:= Plus@@myData / Length[myData]

Out[3]= 9/2

Prozedurales Vorgehen:

In[4]:= summe = 0

Out[4]= 0

In[5]:= For[ j=1,j <= Length[myData], j++, summe += myData[[j]] ]

In[6]:= summe / Length[myData]

Out[6]= 9/2

Beispiel 3: Matrizen

Mathematica enthält eine Vielzahl von Funktionen, um Matrizen zu erzeugen, etwa eine Hilbert-Matrix oder eine Hankel-Matrix, und solche, um Matrizen zu manipulieren. Die Matrixelemente können sowohl Zahlen als auch Symbole sein. Verwenden wir im nachfolgenden Beispiel Symbole und geben der Matrix den Namen FeldX. Die Matrixelemente werden in einer speziellen Syntax Zeile für Zeile eingegeben. Mit der Funktion MatrixForm wird die Matrix in der üblichen Form angezeigt:

In[1]:= MatrixForm [FeldX={{a, b, 0}, {c, a, b}, {0, c, a}}]

Out[1]//MatrixForm=

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b&0\\c&a&b\\0&c&a\\\end{pmatrix}}}$

Diese Matrix ist eine Tridiagonal-Toeplitz-Matrix. Für die Matrizenmultiplikation wird zwischen die Feldnamen ein schlichter Punkt (.) gesetzt. Zum Beispiel für die Multiplikation des Felds FeldX mit sich selbst sieht die Syntax so aus:

In[2]:= MatrixForm [FeldX.FeldX]

Out[2]//MatrixForm=

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a^{2}+bc&2ab&b^{2}\\2ac&a^{2}+bc&2ab\\c^{2}&2ac&a^{2}+bc\\\end{pmatrix}}}$

Die Transponierte der Matrix FeldX erzeugt man so:

In[3]:= MatrixForm [Transpose[FeldX]]

Out[3]//MatrixForm=

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&c&0\\b&a&c\\0&b&a\\\end{pmatrix}}}$

Die Determinante der Matrix wird mit der Funktion Det[FeldX] berechnet:

In[4]:= Det[FeldX]

Out[4]= a³-2abc

Die Inverse der Matrix FeldX erhält man mit der Funktion Inverse[FeldX]:

In[5]:= MatrixForm [Inverse[FeldX]]

Out[5]//MatrixForm=

${\displaystyle {\frac {1}{a^{3}-2abc}}{\begin{pmatrix}a^{2}-bc&-ab&b^{2}\\-ac&a^{2}&-ab\\c^{2}&-ac&a^{2}-bc\\\end{pmatrix}}}$

Die Eigenwerte werden mit der Funktion Eigenvalues[FeldX] berechnet:

In[6]:= Eigenvalues[FeldX]

Out[6]= {a, a - ${\displaystyle {\mathsf {{\sqrt {2}}\;{\sqrt {b}}\;{\sqrt {c}}}}}$, ${\displaystyle {\mathsf {a+{\sqrt {2}}\;{\sqrt {b}}\;{\sqrt {c}}}}}$}

Sind a, b und c reell und die Vorzeichen von a und b unterschiedlich, sind zwei Eigenwerte komplex und sie sind konjugiert komplex. Analog können die Eigenvektoren mit der Funktion Eigenvectors[FeldX] berechnet werden.

Beispiel 4: Platonische Körper zeichnen

Platonische Körper sind Polyeder, die von mehreren deckungsgleichen ebenen regelmäßigen Vielecken begrenzt werden. Andere Namen sind reguläre Körper oder reguläre Polyeder. Es gibt fünf solche regulären Körper (Tetraeder, Würfel, Oktaeder, Dodekaeder, Ikosaeder). Um diese zu zeichnen, enthält Mathematica die Funktion Polyhedron. Als Argument (Option) ist der englische Name des Polyeders anzugeben. Es gibt weitere verwandte Funktionen, zum Beispiel die Funktion Truncate, die einen Polyederstumpf (Tetraederstumpf, Hexaederstumpf, Oktaederstumpf, Dodekaederstumpf, Ikosaederstumpf) zeichnet, der durch Abschneiden der Ecken entsteht.

Vor Eingabe der ersten Funktion muss das Paket Polyheda geladen werden.

In[1]:= << Graphics`Polyhedra`

In[2]:= Show[Polyhedron[Tetrahedron]]

Dann können nacheinander die anderen regulären Polyeder und ihre Stümpfe gezeichnet werden, die die Grafik zeigt.

Show[Polyhedron[Cube]]
Show[Polyhedron[Octahedron]]
Show[Polyhedron[Dodecahedron]]
Show[Polyhedron[Icosahedron]]
Show[Truncate[Polyhedron[Tetrahedron]]]
Show[Truncate[Polyhedron[Cube]]]
Show[Truncate[Polyhedron[Octahedron]]]
Show[Truncate[Polyhedron[Dodecahedron]]]
Show[Truncate[Polyhedron[Icosahedron]]]

In diesem Fall ist die Anwendung von Mathematica sehr einfach. Für dieses Beispiel wurde die Version 3.0 (1996) von Mathematica verwendet. Ab der Version 12.0 (2019) ist die Syntax der Funktion Polyhedron geändert worden.