Die Zeitreihenanalyse befasst sich in der Statistik mit der inferenzstatistischen Analyse von Zeitreihen und der Vorhersage von Trends (Trendextrapolation) zu ihrer künftigen Entwicklung. Sie ist eine Spezialform der Regressionsanalyse.

Begriff der Zeitreihe

Eine Zeitreihe ist eine zeitlich geordnete Folge (meist aber keine Reihe im mathematischen Sinne) von Zahlen oder Beobachtungen, bei der sich die Anordnung der Merkmalsausprägungen zwingend aus dem Zeitablauf ergibt (etwa Aktienkurse, Börsenkurse allgemein, Bevölkerungsentwicklung, Preisindex, Wahlabsichtsbefragungen, Wetterdaten, Zinsindex).

Die einzelnen Zeitpunkte werden zu einer Menge von Beobachtungszeitpunkten ${\displaystyle T}$ zusammengefasst, bei der für jeden Zeitpunkt ${\displaystyle t\in T}$ genau eine Beobachtung vorliegt. Zeitreihen treten in allen Bereichen der Wissenschaft auf.

Zeitreihen: Nähere Begriffsbestimmung, Einteilung und Beispiele

Der Begriff Zeitreihe setzt voraus, dass Daten nicht kontinuierlich, sondern diskret aber in endlichen zeitlichen Abständen anfallen. Aus einem zeitkontinuierlichen Messsignal (oder der kontinuierlichen Aufzeichnung eines Messsignals, zum Beispiel mit einem analogen t-y-Schreiber oder einem analogen Magnetbandgerät) kann eine Zeitreihe durch Abtastung gewonnen werden.

Die Zeitpunkte, denen Datenpunkte zugeordnet werden, können äquidistant, also in konstanten Abständen (beispielsweise alle 5 Sekunden), in anderer Regelmäßigkeit (beispielsweise werktäglich) oder unregelmäßig angeordnet sein. Ein Datenpunkt kann aus einer einzelnen Zahl (skalare Werte, univariate Zeitreihe) oder aus einer Mehrzahl (Tupel) von Zahlenwerten (vektorielle Werte, multivariate Zeitreihe) bestehen. Jedoch müssen alle Datenpunkte in gleicher Weise aus Einzelwerten aufgebaut sein. Typische Zeitreihen entstehen aus dem Zusammenwirken regelhafter und zufälliger Ursachen. Die regelhaften Ursachen können periodisch (saisonal) variieren und/oder langfristige Trends enthalten. Zufällige Einflüsse werden oft als Rauschen bezeichnet.

Gegeben sei ein ${\displaystyle T}$-dimensionaler Vektor von Zufallsvariablen ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{T}}$ mit einer zugehörigen multivariaten Verteilung. Dies kann auch als eine Folge von Zufallsvariablen ${\displaystyle \{x_{t}\}_{t=1}^{T}}$ oder als stochastischer Prozess aufgefasst werden. Eine Stichprobe daraus ergibt als ein mögliches Ergebnis die T reellen Zahlen ${\displaystyle \left\{x_{1}^{(1)},x_{2}^{(1)},\dotsc ,x_{T}^{(1)}\right\}}$. Selbst bei unendlich langer Beobachtung wäre ${\displaystyle \left\{x_{t}^{(1)}\right\}_{t=1}^{\infty }}$ nur eine einzige Realisierung des stochastischen Prozesses. Solch ein Prozess hat jedoch nicht nur eine Realisierung, sondern im Allgemeinen beliebig viele mit gleichen statistischen Eigenschaften. Eine Zeitreihe ist als eine Realisierung des datengenerierenden Prozesses definiert. Statt stochastische Prozesse der Dimension T anhand ihrer T-dimensionalen Verteilungsfunktion zu beschreiben, kann man ihn durch die Momente erster und zweiter Ordnung erfassen, also durch

${\displaystyle T}$ Erwartungswerte: ${\displaystyle \operatorname {E} (x_{i})\quad ,i=1,2,\dots ,T,}$

${\displaystyle T}$ Varianzen:${\displaystyle \operatorname {Var} (x_{i})=\operatorname {E} ((x_{i}-\operatorname {E} (x_{i}))^{2})\quad ,i=1,2,\dotsc ,T,}$

${\displaystyle {\frac {T(T-1)}{2}}}$ Kovarianzen: ${\displaystyle \operatorname {Cov} (x_{i},x_{j})=\operatorname {E} ((x_{i}-\operatorname {E} (x_{i}))(x_{j}-\operatorname {E} (x_{j}))),\quad i<j.}$

Man spricht auch von Autokovarianzen, da es sich um Kovarianzen desselben Prozesses handelt. Im Spezialfall der mehrdimensionalen Normalverteilung des stochastischen Prozesses gilt, dass er durch die Momente erster und zweiter Ordnung eindeutig festgelegt ist. Für die statistische Inferenz mit Zeitreihen müssen Annahmen getroffen werden, da in der Praxis meist nur eine Realisierung des die Zeitreihe generierenden Prozesses vorliegt. Die Annahme der Ergodizität bedeutet, dass Stichprobenmomente, die aus einer endlichen Zeitreihe gewonnen werden, für ${\displaystyle T\rightarrow \infty }$ quasi gegen die Momente der Grundgesamtheit konvergieren.

Zeitreihen fallen in vielen Bereichen an:

• in der Finanzmathematik und der Finanzwirtschaft: Börsenkurse; Liquiditätsentwicklungen
• in der Ökonometrie: Bruttosozialprodukt, Arbeitslosenquote
• in der Biometrie: EEG
• in der Meteorologie: Temperatur, Windrichtung und -geschwindigkeit usw.
• in der Fernerkundung: Vegetationsentwicklung und Aspektfolge
• in der Polemologie (Quantitative Kriegs- und Friedensforschung): Dyadische Konfliktanalysen

Eine besonders komplexe (aber auch reichhaltige) Datensituation liegt vor, wenn man zeitabhängige Mikrodaten besitzt, also Personen- oder Haushaltsdaten für verschiedene Zeitpunkte. Hier spricht man allerdings nicht mehr von Zeitreihendaten, sondern von Trend-, Panel- oder Ereignisdaten, je nach ihrer Zeitstruktur.

Zeitreihenanalyse: Überblick

Ziele der Zeitreihenanalyse können sein

• die kürzestmögliche Beschreibung einer historischen Zeitreihe
• die Vorhersage von künftigen Zeitreihenwerten (Prognose) auf der Basis der Kenntnis ihrer bisherigen Werte (Wettervorhersage)
• die Erkennung von Veränderungen in Zeitreihen (EEG oder EKG-Monitoring in der Medizin bei chirurgischen Eingriffen, Veränderung der globalen Vegetationsphänologie durch anthropogene Klimaänderungen)
• die Eliminierung von seriellen oder saisonalen Abhängigkeiten oder Trends in Zeitreihen (Saisonbereinigung), um einfache Parameter wie Mittelwerte verlässlich zu schätzen

Die Vorgehensweise im Rahmen der Zeitreihenanalyse lässt sich in folgende Arbeitsphasen einteilen:

• Identifikationsphase: Identifikation eines geeigneten Modells für die Modellierung der Zeitreihe
• Schätzphase: Schätzung von geeigneten Parametern für das gewählte Modell
• Diagnosephase: Diagnose und Evaluierung des geschätzten Modells
• Einsatzphase: Einsatz des geschätzten und als geeignet befundenen Modells (insbesondere zu Prognosezwecken)

In den einzelnen Phasen ergeben sich Unterschiede, je nachdem ob man lineare Modelle zur Zeitreihenanalyse (Box-Jenkins-Methode, Komponentenmodell) oder nichtlineare Modelle zu Grunde legt. Im Folgenden wird beispielhaft auf die Box-Jenkins-Methode eingegangen.

Methoden der Zeitreihenanalyse

Die Verlaufsmuster von Zeitreihen können in verschiedene Komponenten zerlegt werden (Komponentenzerlegung). So gibt es systematische oder quasi-systematische Komponenten. Dazu gehören die Trendkomponente als allgemeine Grundrichtung der Zeitreihe, die Saisonkomponente als eine zyklische Bewegung innerhalb eines Jahres, die Zykluskomponente (bei ökonomischen Zeitreihen auch Konjunktur genannt) mit einer Periodenlänge von mehr als einem Jahr sowie eine Kalenderkomponente, die auf Kalenderunregelmäßigkeiten zurückzuführen ist. Als weitere Komponente tritt noch eine Rest- oder irreguläre Komponente auf. Hierunter fallen Ausreißer und Strukturbrüche, die durch historische Ereignisse erklärt werden können, sowie Zufallsschwankungen, deren Ursachen im Einzelnen nicht identifiziert werden können.

Die genannten Komponenten sind nicht direkt beobachtbar. Sie entspringen vielmehr der menschlichen Vorstellung. Somit stellt sich die Frage, wie man diese Komponenten modelliert.

Traditionelle Ansätze betrachten Zufallsschwankungen als strukturneutral und fassen die systematischen Komponenten als deterministische Funktionen der Zeit auf,

${\displaystyle Y_{t}=\beta _{0}+\beta _{1}t+Z_{t}}$.

In neueren Ansätzen haben Zufallschwankungen eine dominierende Rolle bei der Modellierung der systematischen Komponente. Damit wird die Zeitreihe durch einen stochastischen Prozess modelliert, wie einen MA(1)-Prozess:

${\displaystyle Y_{t}=\theta _{1}Z_{t-1}+Z_{t}}$.

Dabei ist ${\displaystyle t}$ der Zeitindex und ${\displaystyle Z_{t}}$ eine Zufallsvariable, für die die Eigenschaft weißes Rauschen angenommen werden kann. Einen dazu konträren Ansatz der Zeitreihenmodellierung stellt die Chaostheorie (siehe dazu Dimensionalität) dar.

In der Zeitreihenanalyse stehen einige allgemeine mathematische Instrumente zur Verfügung, wie Transformation (Box-Cox-Transformation), Aggregation, Regression, Filterung und gleitende Durchschnitte. Im Folgenden wird davon ausgegangen, dass die Zeitreihe als stochastischer Prozess modelliert werden kann. Dieser Ansatz wird auch als Box-Jenkins-Methode bezeichnet. Für stochastische Prozesse gibt es weitere spezielle Methoden und Instrumente. Hierzu zählen die:

• Analyse im Frequenzbereich (Fourier-Theorie und Spektralanalyse),
• Autokovarianz- und Autokorrelationsfunktion,
• Partielle Autokorrelationsfunktion,
• MA- und AR-Darstellung.

Siehe auch

• Zeitreihe der Niederschlagssummen in Deutschland seit 1881

Literatur

• Walter Assenmacher: Einführung in die Ökonometrie. 6. Auflage. Oldenbourg, München 2002, ISBN 3-486-25429-4.
• Walter Enders: Applied Economic Time Series. Wiley, Hoboken 2003, ISBN 0-471-23065-0.
• James D. Hamilton: Time Series Analysis. Princeton University Press, Princeton, 1994, ISBN 0-691-04289-6.
• Helmut Lütkepohl: New Introduction to Multiple Time Series Analysis. Springer-Verlag, Berlin, 2005, ISBN 978-3-540-40172-8.
• P. H. Müller (Hrsg.): Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 5. Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1991, ISBN 978-3-05-500608-1, Zeitreihenanalyse, S. 505–506. 
• Klaus Neusser: Zeitreihenanalyse in den Wirtschaftswissenschaften. 3. Auflage. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2011, ISBN 3-8348-1846-1.
• Horst Rinne, Katja Specht: Zeitreihen. Statistische Modellierung, Schätzung und Prognose. Vahlen, München 2002, ISBN 3-8006-2877-5.
• Rainer Schlittgen, Bernd Streitberg: Zeitreihenanalyse. 9. Auflage. Oldenbourg, München 2001, ISBN 3-486-25725-0.
• Elmar Steurer: Prognose von 15 Zeitreihen der DGOR mit Neuronalen Netzen. In: Operations-Research-Spektrum. 18(2), S. 117–125. doi:10.1007/BF01539737
• Helmut Thome: Zeitreihenanalyse. Eine Einführung für Sozialwissenschaftler und Historiker. Oldenbourg, München 2005, ISBN 3-486-57871-5.
• Ruey S. Tsay: Analysis of Financial Time Series. Wiley, Hoboken 2005, ISBN 0-471-69074-0.

Software zur Durchführung von Zeitreihenanalysen

Eine Zeitreihenanalyse kann unter anderem mit den freien Softwarepaketen R, gretl, OpenNN und RapidMiner durchgeführt werden. Zu proprietären Lösungen gehören die Softwarepakete BOARD, Dataplore, EViews, Limdep, RATS, SPSS, Stata, SAS sowie WinRATS.

Weblinks

• Open-Source Buch „A First Course on Time Series Analysis with SAS“ der Universität Würzburg

Einzelnachweise

1. ↑ Hans E. Büschgen, Das kleine Börsen-Lexikon, 2012, S. 1176
2. ↑ Rainer Schlittgen, Bernd Streitberg: Zeitreihenanalyse. Oldenbourg Verlag, 2001., ISBN 978-3-486-71096-0 (abgerufen über De Gruyter Online). S. 1
3. ↑ Dieter Meiller, Christian Schieder: Applied Machine learning: Predicting behaviour of industrial units from climate data In: Abraham A. P., Roth, J. & Peng, G. C. (Hrsg.): Multi Conference on Computer Science and Information Systems 2018, IADIS Press, S. 66–72, ISBN 978-989-8533-80-7