Äquivalenztransformation

Die Äquivalenztransformation oder reguläre Transformation von Matrizen ist in der linearen Algebra die Transformation einer Matrix A in eine Äquivalente Matrix B durch invertierbare Matrizen L und R vermöge^:56

LAR = B

Ist die Matrix A eine hermitesche Matrix und soll auch B es sein, sind R und L hermitesch zueinander zu wählen. Die Äquivalenztransformation geht dann über in den Spezialfall der Kongruenz­transformation^:56

LAL^H = B   oder im Reellen    LAL^⊤ = B

Eine Äquivalenztransformation kann praktisch in einer erweiterten Matrix mit drei Matrizen und bestimmten Grund- oder Elementaroperationen der Spalten- und Zeilen der Matrizen durchgeführt werden.^:56:59

Von zentraler Bedeutung ist die Überführung von Matrizen in eine Pivotmatrix, die in jeder Spalte und Zeile höchstens einen von null verschiedenen Eintrag aufweist. Die Einheits-, Diagonal- und Permutationsmatrizen sind Pivotmatrizen; diese müssen jedoch weder quadratisch noch invertierbar sein. Die Anzahl der von null verschiedenen Einträge in einer Pivotmatrix entspricht ihrem Rang.^:75

Die Äquivalenztransformation ist Grundlage für das Gauß’sche Eliminationsverfahren und den Gauß-Jordan-Algorithmus und sie ist dienlich bei der Ermittlung des Ranges einer Matrix sowie der Eigenspalten und Eigenzeilen einer singulären Matrix.

Sind bei gegebenen A die Matrizen LBR = A mit einer Pivotmatrix B gesucht, dann empfiehlt sich der Algorithmus von Banachiewicz.