Arnoldi-Verfahren

In der numerischen Mathematik ist das Arnoldi-Verfahren wie das Lanczos-Verfahren ein iteratives Verfahren zur Bestimmung einiger Eigenwerte und zugehöriger Eigenvektoren. Es ist nach Walter Edwin Arnoldi benannt. Im Arnoldi-Verfahren wird zu einer gegebenen Matrix ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ und einem gegebenen Startvektor ${\displaystyle q\in \mathbb {C} ^{n}}$ eine orthonormale Basis des zugeordneten Krylowraumes

${\displaystyle {\mathcal {K}}_{m}(A,q)={\mbox{span}}\{q,Aq,A^{2}q,\ldots \,A^{m-1}q\}}$

berechnet. Da die Spalten ${\displaystyle A^{i}q}$ bis auf eine etwaige Skalierung genau den in der Potenzmethode berechneten Vektoren entsprechen, ist es klar, dass der Algorithmus instabil wird, wenn zuerst diese Basis berechnet würde und anschließend, zum Beispiel nach Gram-Schmidt, orthonormalisiert würde.

Der Algorithmus kommt allerdings ohne die vorherige Aufstellung der sogenannten Krylowmatrix ${\displaystyle K_{m}(A,q)=\left(q,Aq,A^{2}q,\ldots ,A^{m-1}q\right)}$ aus.