Born-Landé-Gleichung

Die Born-Landé-Gleichung (benannt nach Max Born und Alfred Landé), auch Madelung-Gleichung (nach Erwin Madelung), ist eine Erweiterung des elektrostatischen Coulomb-Modells auf Ionenkristalle (also Salze) und erlaubt die Berechnung von Gitterenergien.

Das Coulomb-Modell geht von entgegengesetzten Punktladungen in regelmäßiger Anordnung aus, da Ionen gegen außen positiv oder negativ geladen sind. Bei genügend großer Annäherung treffen jedoch die Elektronenschalen der Ionen aufeinander, die sich aufgrund ihrer gleichen „Ladung“ abstoßen. Die Größe der Abstoßung hängt von der Elektronendichte der Ionen ab und wird mit dem Born-Exponenten ${\displaystyle n}$ gemessen. Dieser wird experimentell aus der Kompressibilität der Ionenkristalle ermittelt, zur Berechnung können aber auch Durchschnittswerte verwendet werden.

${\displaystyle U_{0}=-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\cdot {\frac {N_{\mathrm {A} }\cdot A\cdot a\cdot b\cdot e^{2}}{d_{0}}}\cdot {\biggl (}1-{\frac {1}{n}}{\biggr )}}$

Die Madelung-Konstante sollte mit ${\displaystyle A}$ statt mit ${\displaystyle M}$ bezeichnet werden um eine Verwechselung mit der Molaren Masse ${\displaystyle M}$ auszuschließen.

Symbol	Name	Einheit
${\displaystyle U_{0}}$	Gitterenergie	J/mol
${\displaystyle N_{\mathrm {A} }}$	Avogadro-Konstante = 6,022141·1023 mol−1	1/mol
${\displaystyle A}$	Madelungkonstante des Gittertyps	dimensionslos
${\displaystyle a}$	Anzahl Elementarladungen des Kations	dimensionslos
${\displaystyle b}$	Anzahl Elementarladungen des Anions	dimensionslos
${\displaystyle e}$	Elementarladung = 1,602176·10−19 C	C
${\displaystyle \varepsilon _{0}}$	Permittivität des Vakuums = 8,854185·10−12 C2·(J·m)−1	C / (V·m) = C² / (J·m)
${\displaystyle d_{0}}$	Ionenabstand im Gleichgewicht (aus Röntgenbeugungsexperimenten oder genähert als Summe der Ionenradien)	m
${\displaystyle n}$	Born-Exponent (Mittelwertbildung)	dimensionslos

Weitere Verfeinerungen beruhen auf Einbezug der Temperatur:

• Nullpunktenergie
• Umrechnung des Resultats auf Temperaturen oberhalb des absoluten Nullpunkts

Je größer der kovalente Bindungsanteil wird, desto schlechter werden die Resultate mit der Wirklichkeit übereinstimmen. Dies kommt daher, dass das Modell auf der Betrachtung reiner Ionen beruht.