Euler-Gleichungen (Strömungsmechanik)

Die Euler-Gleichungen (oder auch eulerschen Gleichungen) der Strömungsmechanik sind ein von Leonhard Euler entwickeltes System von partiellen Differentialgleichungen zur Beschreibung der Strömung von viskositätsfreien Fluiden und drücken im engeren Sinn aus, dass Fluidteilchen durch ein Druckgefälle und ein Kraftfeld wie der Schwerkraft beschleunigt werden.^:115

Im engeren Sinne bezeichnet Eulersche Gleichung die Impulsgleichung für viskositätsfreie Strömungen. Im weiteren Sinn wird das Gleichungssystem um die Kontinuitätsgleichung und die Energiebilanz erweitert und bildet dann ein System von fünf gekoppelten nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung.^:270

Die Impulsgleichungen sind in eulerscher Darstellung formuliert und lauten:

${\displaystyle {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {v}}={\vec {k}}-{\frac {1}{\rho }}\nabla p\quad \rightarrow \quad {\frac {\partial v_{i}}{\partial t}}+\sum _{j=1}^{3}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}v_{j}=k_{i}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}\;,\quad i=1,2,3\,.}$

Der Vektor ${\displaystyle {\vec {v}}}$ ist das Geschwindigkeitsfeld im Fluid mit Komponenten ${\displaystyle v_{1,2,3}}$ in Richtung der kartesischen Koordinaten ${\displaystyle x_{1,2,3}}$, ${\displaystyle \rho }$ die Dichte, ${\displaystyle p}$ der Druck und ${\displaystyle {\vec {k}}}$ eine äußere volumenverteilte Beschleunigung (z. B. Schwerebeschleunigung).

Die Richtungsableitung der Geschwindigkeit in Richtung der Geschwindigkeit lässt sich mit dem Nabla-Operator 𝜵 oder dem Geschwindigkeitsgradienten ${\displaystyle \operatorname {grad} }$ ausdrücken: ${\displaystyle ({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {v}}=\operatorname {grad} ({\vec {v}})\cdot {\vec {v}}}$. Der Term stellt einen konvektiven Anteil dar, der physikalisch daraus resultiert, dass ein Partikel auch dadurch beschleunigt werden kann, dass es von einem schneller oder langsamer fließenden Stromfaden mitgenommen wird. Der Gradient des Drucks gibt das Gefälle oder den Anstieg des Drucks an und entspricht ${\displaystyle \nabla p=\operatorname {grad} (p)}$. Alle Variablen in den Euler-Gleichungen sind im Allgemeinen sowohl vom Ort als auch von der Zeit abhängig. Die linke Vektorgleichung ist koordinatenunabhängig während die rechte ein kartesisches Koordinatensystem voraussetzt.