Idelegruppe

Die Idelegruppe und die Idelklassengruppe stellen in der Mathematik zentrale Objekte der Klassenkörpertheorie dar.

In der lokalen Klassenkörpertheorie spielt die multiplikative Gruppe des lokalen Körpers eine wichtige Rolle. In der globalen Klassenkörpertheorie wird diese Rolle von der Idelklassengruppe übernommen, welche der Quotient aus den Einheiten des Adelerings und den Einheiten des Körpers ist. Der Begriff des Idels ist eine Abänderung des Idealbegriffs, wobei beide Begriffe in Beziehung zueinander stehen, siehe dazu den Satz über den Zusammenhang zwischen der Ideal- und der Idelklassengruppe. Der Idelbegriff wurde in 1936 und 1941 von dem französischen Mathematiker Claude Chevalley veröffentlichten Arbeiten unter dem Namen „ideal element“ (abgekürzt: id.el.) eingeführt.

Verallgemeinerungen des Artinschen Reziprozitätsgesetzes führen zur Verbindung von automorphen Darstellungen und Galois-Darstellungen von ${\displaystyle K}$ (Langlands-Programm). Genauer operiert die absolute Galoisgruppe auf der algebraischen De-Rham-Kohomologie von Shimura-Varietäten mit Werten in der Idelgruppe. Diese Darstellungen sind Hodge-Tate mit Gewichten (1,2).

Die Idelegruppe, speziell die Idelklassengruppe, findet Anwendung in der Klassenkörpertheorie, welche sich mit abelschen Körpererweiterungen von ${\displaystyle K}$ beschäftigt. Das Produkt der lokalen Reziprozitätskarten in der Klassenkörpertheorie gibt einen Homöomorphismus von der Idelegruppe in die Galoisgruppe der maximalen abelschen Erweiterung über einem algebraischen Zahlkörper. Das Artinsche Reziprozitätsgesetz, welches eine Verallgemeinerung des quadratischen Reziprozitätsgesetzes von Gauß ist, besagt, dass das Produkt in der multiplikativen Gruppe des Zahlkörpers verschwindet. Daher erhalten wir die globale Reziprozitätskarte der Idelklassengruppe von dem abelschen Teil der absoluten Galoisgruppe der Körpererweiterung.

Notation: Im Folgenden ist ${\displaystyle K}$ ein globaler Körper. Das bedeutet, dass ${\displaystyle K}$ entweder ein algebraischer Zahlkörper oder ein algebraischer Funktionenkörper positiver Charakteristik vom Transzendenzgrad 1 ist. Im ersten Fall bedeutet das, dass ${\displaystyle K/\mathbb {Q} }$ eine endliche Körpererweiterung ist, im zweiten Fall, dass ${\displaystyle K/\mathbb {F} _{p^{r}}(t)}$ eine endliche Körpererweiterung ist. Im Folgenden bezeichnet ${\displaystyle v}$ eine Stelle von ${\displaystyle K.}$ Die triviale Bewertung und der dazu korrespondierende triviale Betrag werden im kompletten Artikel ausgeschlossen. Es wird unterschieden zwischen endlichen (nicht-archimedischen) Stellen, welche als ${\displaystyle v<\infty }$ oder ${\displaystyle v\nmid \infty }$ notiert werden und unendlichen (archimedischen) Stellen, welche als ${\displaystyle v\mid \infty }$ notiert werden. Im Folgenden bezeichne ${\displaystyle P_{\infty }}$ die endliche Menge der unendlichen Stellen von ${\displaystyle K.}$ Wir schreiben ${\displaystyle P}$ für eine endliche Teilmenge der Stellenmenge von ${\displaystyle K,}$ welche ${\displaystyle P_{\infty }}$ enthält. Sei ${\displaystyle K_{v}}$ die Vervollständigung von ${\displaystyle K}$ nach einer Stelle ${\displaystyle v.}$ Bei einer diskreten Bewertung ${\displaystyle v}$ bezeichne mit ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{v}}$ den zugehörigen diskreten Bewertungsring von ${\displaystyle K_{v}}$ und mit ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{v}}$ das maximale Ideal von ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{v}.}$ Ist dieses ein Hauptideal, so schreibe ${\displaystyle \pi _{v}}$ für ein uniformisierendes Element. Der Leser sei weiterhin auf die eineindeutige Identifikation von Beträgen und Bewertungen eines Körpers hingewiesen bei Fixierung einer geeigneten Konstante ${\displaystyle C>1:}$ Die Bewertung ${\displaystyle v}$ wird dem Betrag ${\displaystyle |\cdot |_{v}}$ zugeordnet, welcher wie folgt definiert wird:

${\displaystyle |x|_{v}:={\begin{cases}C^{-v(x)}&,{\text{ falls }}x\neq 0\\0&,{\text{ falls }}x=0\end{cases}}\quad \forall x\in K.}$

Umgekehrt wird dem Betrag ${\displaystyle |\cdot |}$ die Bewertung ${\displaystyle v_{|\cdot |}}$ zugeordnet, welche wie folgt definiert ist: ${\displaystyle v_{|\cdot |}(x):=-\log _{C}(|x|)}$ für alle ${\displaystyle x\in K^{\times }.}$ Diese Identifikation wird im Artikel laufend verwendet.