Lokales Martingal

Ein lokales Martingal ist ein adaptierter rechtsstetiger stochastischer Prozess ${\displaystyle (X_{t})_{t\geq 0}}$ auf einem filtrierten Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P,({\mathcal {F}}_{t})_{t\geq 0})}$, so dass eine aufsteigende Folge ${\displaystyle (T_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ von Stoppzeiten mit ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }T_{n}=\infty }$ fast sicher existiert, so dass der gestoppte Prozess

${\displaystyle (X_{\min\{t,T_{n}\}}\mathrm {I} _{\{T_{n}>0\}})_{t\geq 0}}$

für alle ${\displaystyle n}$ ein ${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{t})}$-Martingal ist.

Der Begriff des lokalen Martingals ist eine weitreichende Verallgemeinerung des Martingalbegriffes. Es handelt sich also um eine Lokalisierung des Martingalbegriffs. Lokale Martingale spielen eine Rolle in der Theorie der stochastischen Integration, genauer entspricht die Klasse der möglichen Integratoren den Semimartingalen, Summen von lokalen Martingalen und adaptierten Prozessen von endlicher Variation.