Satz von Descartes

In der Geometrie beschreibt der Satz von Descartes (Vier-Kreise-Satz von Descartes), benannt nach René Descartes, eine Beziehung zwischen vier Kreisen, die einander berühren. Der Satz kann dazu verwendet werden, zu drei sich gegenseitig berührenden Kreisen ein Paar der sogenannten vierten Kreise zu finden, welche ebenfalls die drei Kreise berühren. Nach Definition der vorzeichenbehafteten Krümmung ist der (kleinste) Kreis ${\displaystyle k_{4}}$ umringt von den drei gegebenen Kreisen (im Bild blau), hingegen sind sie vom (größten) Kreis ${\displaystyle k_{4}{'}}$ umschrieben (siehe Abschnitt Satz des Descartes).

Es handelt sich hier um einen Spezialfall des Apollonischen Problems. Berühren sich die gegebenen drei Kreise gegenseitig, sind zwei (ein Paar) apollonische Kreise (rot) möglich. Im Gegensatz dazu gibt es ohne gegenseitiger Berührung bis zu acht (vier Paare) apollonische Kreise.