Ultrafilter

Ein Ultrafilter ist in der Mathematik ein Mengenfilter auf einer Menge ${\displaystyle X}$, so dass für jede Teilmenge ${\displaystyle A}$ von ${\displaystyle X}$ entweder ${\displaystyle A}$ selbst oder ihr Komplement ${\displaystyle X\setminus A}$ Element des Mengenfilters ist. Ultrafilter sind somit genau diejenigen Mengenfilter, zu denen keine echte Verfeinerung existiert. Diese Definition von Ultrafiltern lässt sich von Mengenfiltern auf allgemeine Filter im Sinne der Verbandstheorie übertragen.

Ultrafilter mit der Eigenschaft, dass die Schnittmenge aller ihrer Elemente nichtleer ist, heißen fixierte Ultrafilter, Punktfilter oder Elementarfilter: Sie bestehen aus allen Teilmengen, die einen bestimmten Punkt enthalten. Alle Ultrafilter auf endlichen Mengen sind fixierte Ultrafilter. Fixierte Filter sind die einzigen explizit konstruierbaren Ultrafilter. Die zweite Art der Ultrafilter sind die freien Ultrafilter, für die die Schnittmenge aller ihrer Elemente die leere Menge ist.

Ultrafilter finden Anwendungen etwa in der Topologie und der Modelltheorie.

Der zum Begriff des Ultrafilters duale Begriff ist der des Primideals.