Uniformer Raum

Uniforme Räume sind im Teilgebiet Topologie der Mathematik Verallgemeinerungen metrischer Räume. Jeder metrische Raum kann auf natürliche Weise als uniformer Raum betrachtet werden, und jeder uniforme Raum kann auf natürliche Weise als topologischer Raum betrachtet werden.

Ein uniformer Raum ist eine Menge mit einer sogenannten uniformen Struktur, die eine Topologie auf der Menge definiert, zusätzlich aber erlaubt, Umgebungen an verschiedenen Punkten miteinander zu vergleichen und die aus der Theorie der metrischen Räume bekannten Begriffe wie Vollständigkeit, gleichmäßige Stetigkeit und gleichmäßige Konvergenz zu verallgemeinern und zu abstrahieren.

Das Konzept der uniformen Räume gestattet die Formalisierung der Idee, dass „ein Punkt ${\displaystyle x}$ gleich nah bei einem anderen Punkt ${\displaystyle a}$ ist, wie ein dritter Punkt ${\displaystyle y}$ bei einem vierten Punkt ${\displaystyle b}$“, während in topologischen Räumen nur Aussagen der Form „${\displaystyle x}$ ist gleich nah bei ${\displaystyle a}$ wie ${\displaystyle y}$ bei ${\displaystyle a}$ ist“ gemacht werden können. Anders als bei metrischen Räumen wird dieser Vergleich hier nicht durch ein Abstandsmaß vermittelt, sondern durch eine direkte Beziehung zwischen den Umgebungsfiltern von ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$.

Neben metrischen Räumen induzieren auch topologische Gruppen uniforme Strukturen auf der unterliegenden Menge.

Ein topologischer Raum, zu dessen Topologie es eine uniforme Struktur gibt, die jene induziert, heißt uniformisierbarer Raum. Dieser Begriff ist äquivalent zu dem des vollständig regulären Raumes.