Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer

Die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer, kurz BSD, ist eines der bedeutendsten ungelösten Probleme der modernen Mathematik und macht Aussagen zur Zahlentheorie auf elliptischen Kurven. Benannt wurde sie nach den Mathematikern Bryan Birch und Peter Swinnerton-Dyer, die sie erstmals im Jahr 1965 aufstellten, wobei sie ihre Vermutung auf eine bereits 1958 gestartete Serie von Berechnungen an den EDSAC-Computern stützen. Diese hatten zum Ziel gehabt, eine zur Klassenzahlformel von Dirichlet „analoge Theorie“ für elliptische Kurven zu entdecken. Die Vermutung wurde im Jahr 2000 vom Clay Mathematics Institute in die Liste der sieben Millennium-Probleme der Mathematik aufgenommen. Das Institut in Cambridge (Massachusetts) hat damit ein Preisgeld von einer Million US-Dollar für eine schlüssige Lösung des Problems in Form eines mathematischen Beweises ausgelobt. Hinsichtlich des Auffindens potenzieller Gegenbeispiele existieren in der Preisausschreibung jedoch Sonderregeln, insbesondere dann, wenn diese mit der Rechengeschwindigkeit moderner Computer erlangt wurden, und keinerlei „tiefere Einsicht“ in das Problem geben können.

Die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer ist für Mathematiker von großem Interesse, da sie eine überraschende und sehr tiefe Beziehung zwischen zwei völlig verschiedenen mathematischen Theorien aufbaut. Die Lösung des Problems würde demnach zwingend erfordern, bisher völlig unbekannte und äußerst tiefe Strukturen in der „Architektur der Mathematik“ an die Oberfläche zu fördern. Dabei hilft die Vorstellung, dass die Mathematik ein Gespinst aus zahllosen „Punkten“ (= Aussagen) ist, die durch „Pfeile“ (= logische Schlussfolgerungen) teilweise direkt miteinander verbunden sind. Brücken zwischen zwei vormals völlig verschiedenen Theorien helfen nun zahlreiche „neue Pfeile“ in diesem Graphen zu erhalten, was zur Folge hat, dass viele weitere Probleme gelöst werden können und einige neue Anwendungsmöglichkeiten entstehen. In diesem Kontext ist es nicht verwunderlich, dass gerade das Bauen solcher Brücken eine mathematisch besonders schwierige Aufgabe ist.

Trifft die Vermutung zu, existiert ein enger Zusammenhang zwischen den Lösungsanzahlen bestimmter Gleichungen und dem Nullstellenverhalten gewisser eben diesen Gleichungen zugehöriger mathematischen Funktionen. Die Lehre der Gleichungen ist dabei zentraler Gegenstand der Algebra. Von den Lösungen wird in der Formulierung des Problems jedoch verlangt, dass diese rationale Zahlen sind, also Quotienten ganzer Zahlen. Dies bringt neben der Algebra die mathematische Disziplin der Zahlentheorie mit ins Spiel. Im Gegensatz dazu sind mathematische Funktionen Teil der Analysis, die sich mit Aspekten wie Stetigkeit, Nullstellen und auch Differentialrechnung beschäftigt. Die große Herausforderung besteht also darin, diese völlig verschiedenen mathematischen Gebiete – Algebra, Zahlentheorie und Analysis – im Rahmen einer sehr schweren Fragestellung zu vereinen.

Mathematisch rigoros sagt das Problem: Sei ${\displaystyle E}$ eine elliptische Kurve über den rationalen Zahlen und ${\displaystyle L(E,s)}$ ihre L-Funktion. Nach dem Satz von Mordell bildet die Menge aller rationalen Punkte ${\displaystyle E(\mathbb {Q} )}$ die Struktur einer endlich erzeugten abelschen Gruppe, ist also isomorph zu ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{r}\times E(\mathbb {Q} )_{\text{tors}}}$, wobei ${\displaystyle E(\mathbb {Q} )_{\text{tors}}}$ den Torsionsteil von ${\displaystyle E(\mathbb {Q} )}$ bezeichnet und ${\displaystyle r\geq 0}$ der sog. Rang von ${\displaystyle E}$ ist. Die Vermutung sagt, dass ${\displaystyle r=\mathrm {ord} _{s=1}L(E,s)}$ gelten sollte.

Trotz immenser Anstrengungen ist man bis heute sehr weit von einer Lösung des Problems entfernt. Dennoch konnten im Laufe der Zeit Teilresultate für die Ränge ${\displaystyle r=0}$ und ${\displaystyle r=1}$ erzielt werden. Darüber hinaus existiert starke numerische Evidenz, die die Vermutung stützt und ihre Richtigkeit plausibel macht.