Zentrierte Dreieckszahl

Eine zentrierte Dreieckszahl ist eine Zahl, die sich nach der Formel

${\displaystyle {\frac {3n^{2}-3n+2}{2}}}$

aus einer natürlichen Zahl ${\displaystyle n}$ berechnen lässt. Die ersten zentrierten Dreieckszahlen sind

1, 4, 10, 19, 31, 46, 64, 85, 109, 136, 166, … (Folge A005448 in OEIS)

Die zentrierten Dreieckszahlen gehören wie die zentrierten Quadratzahlen sowie die zentrierten Fünf- und Sechseckszahlen zu den zentrierten Polygonalzahlen, also zu den ebenen figurierten Zahlen.

Die zentrierten Dreieckszahlen beziffern nämlich die Anzahl von Steinchen, um ein Dreieck nach folgender Vorschrift zu legen: Es befindet sich ein Steinchen im Zentrum und um dieses werden in dreiecksförmigen Schichten mit steigender Seitenlänge weitere Steinchen angeordnet. Die Anzahl der Steinchen in einer solchen Anordnung mit ${\displaystyle n}$ Schichten wird als ${\displaystyle (n+1)}$-te zentrierte Dreieckszahl bezeichnet.

Für ${\displaystyle n\geq 3}$ lässt sich jede zentrierte Dreieckszahl als die Summe dreier aufeinanderfolgender normaler Dreieckszahlen ${\displaystyle \Delta _{n-2}+\Delta _{n-1}+\Delta _{n}}$ darstellen. Des Weiteren gilt, dass eine Ganzzahldivision einer beliebigen zentrierten Dreieckszahl ${\displaystyle ZD_{n}}$ durch 3 immer den Rest 1 ergibt und als Quotient die vorhergehende Dreieckszahl ${\displaystyle \Delta _{n-1}}$.

Die Summe der ersten n zentrierten Dreieckszahlen (n ≥ 3) ergibt die magische Konstante (Zeilensumme) eines magischen Quadrates der Zahlen 1 bis n².