Überabzählbare Menge

Eine Menge heißt überabzählbar, wenn sie nicht abzählbar ist. Dabei heißt eine Menge abzählbar, wenn sie entweder endlich ist oder eine Bijektion zur Menge der natürlichen Zahlen existiert. Eine Menge ist also genau dann überabzählbar, wenn ihre Mächtigkeit (entspricht der Anzahl der Elemente bei endlichen Mengen) größer ist als die der Menge der natürlichen Zahlen.

Anschaulich gesprochen ist eine Menge überabzählbar, wenn jede Liste ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},\ldots }$ von Elementen der Menge unvollständig ist. Die erste überabzählbare Ordinalzahl wird mit ${\displaystyle \omega _{1}}$ bezeichnet. Sie ist die kleinste Ordinalzahl, die nicht mehr abzählbar ist, und zugleich die erste Ordinalzahl, deren Mächtigkeit größer ist als die der natürlichen Zahlen.