Abstrakter Wiener-Raum

Ein abstrakter Wiener-Raum ist eine Konzept aus der Stochastik, welches einerseits den klassischen Wiener-Raum verallgemeinert und andererseits eine Konstruktion ist, um zylindrische gaußsche Maße in separablen Hilberträumen auf Banachräumen als σ-additive Maße fortzusetzen. Die Konstruktion weist den Cameron-Martin-Räumen aus dem Satz von Cameron-Martin ihre zentrale Stellung in der modernen Stochastik zu. Der abstrakte Wiener-Raum wurde 1967 von dem US-amerikanischen Mathematiker Leonard Gross eingeführt und das Konzept hat Parallelen zu dem des Gelfand-Tripels, unterscheidet sich aber dadurch, dass es ein rein maßtheoretisches Konzept ist.

In unendlichdimensionalen topologischen Räumen verwendet man häufig zylindrische Maße, welche keine klassischen Maße im eigentlichen Sinne sind, da sie auf der zylindrischen Algebra per Definition nicht σ-additiv sein müssen. Sie sind aber σ-additiv auf allen endlichdimensionalen Projektionen. Die Idee hinter des abstrakten Wiener-Raumes ist es nun, für ein zylindrisches gaußsches Maß auf einem Hilbertraum ${\displaystyle H}$ eine passende Erweiterung des Raumes ${\displaystyle H\subseteq B}$ zu finden, so dass das gaußsche Maß σ-additiv auf der zylindrischen Algebra ${\displaystyle {\mathcal {Zyl}}(B,B')}$ des Banachraumes wird. Dies geschieht durch Einführung der sogenannten Gross-Messbarkeit oder der messbaren Halbnorm. Der Banachraum ${\displaystyle B}$ wird dann definiert als die Vervollständigung unter dieser messbaren Norm. Das zylindrische gaußsche Maß bleibt dann auch σ-additiv auf der zylindrischen σ-Algebra, was aus dem Maßerweiterungssatz von Carathéodory folgt.

1. ↑ Leonard Gross: Abstract Wiener spaces. In: University of California Press (Hrsg.): Proceedings of the Fifth Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability. Band 2: Contributions to Probability Theory, Part 1, 1967 (projecteuclid.org).