Satz von Cameron-Martin

Der Satz von Cameron-Martin ist ein Resultat aus der Stochastik und Maßtheorie über die absolute Stetigkeit von gaußschen Maßen. Der Satz nennt eine notwendige Bedingung dafür, dass ein durch eine Translation erzeugtes gaußsches Maß absolut stetig zu seinem ursprünglichen gaußschen Maß ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn die Translation durch ein Element aus einem spezifischen Hilbertraum geschieht, welcher heute als Cameron-Martin-Raum bezeichnet wird. Der Cameron-Martin-Raum ist ein kern-reproduzierender Hilbertraum und der reproduzierende Kern ist die Varianz eines gaußschen Maßes. Die Formel für die Radon-Nikodým-Dichte wird Cameron-Martin-Formel genannt.

Die ursprüngliche Version des Satzes wurde 1943 von den amerikanischen Mathematikern Robert Horton Cameron und William Ted Martin bewiesen. Sie befasste sich mit der absoluten Stetigkeit von Translationen in Funktionen unter dem Integral über dem klassischen Wiener-Raum, dem sogenannten Wiener-Integral. Die moderneren Varianten des Satzes werden aber auf allgemeineren topologischen Räumen formuliert.

In der Literatur existieren einige verwandte Sätze, welche manchmal auch als Satz von Cameron-Martin bezeichnet werden. Diese befassen sich im Kern mit nichtlinearen Transformationen von gaußschen Maßen. Es existiert zum Beispiel eine abstrakte Version des Satzes von Girsanow für abstrakte Wiener-Räume, welche sich mit zufälligen Translationen beschäftigt und eine Verallgemeinerung des Satzes in diesem Kontext darstellt.

Der Satz hat eine wichtige Bedeutung in vielen Gebieten der modernen Stochastik, darunter der Malliavin-Kalkül, die White-Noise-Analysis und die Theorie der stochastischen partiellen Differentialgleichungen.