Dyson-Schwinger-Gleichungen

Die Dyson-Schwinger-Gleichungen (DSGn), auch Schwinger-Dyson-Gleichungen, sind von Freeman Dyson und Julian S. Schwinger gefundene Relationen zwischen verschiedenen Greenschen Funktionen einer Quantenfeldtheorie. Da sie die Bewegungsgleichungen für die Greenschen Funktionen darstellen, werden sie auch oft die Euler-Lagrange-Gleichungen einer Quantenfeldtheorie genannt. Es sind unendlich viele funktionale Differenzialgleichungen, die alle, direkt oder indirekt, miteinander gekoppelt sind. Deshalb spricht man auch oft vom unendlichen Turm der Dyson-Schwinger-Gleichungen.

Die von Dyson durch Aufsummieren unendlich vieler Feynman-Diagramme hergeleiteten Dyson-Gleichungen wurden von Schwinger in seinem Quantenwirkungsprinzip auf alle Greenschen Funktionen einer beliebigen Quantenfeldtheorie erweitert. Es lassen sich Dyson-Schwinger-Gleichungen für alle n-Punkt-Funktionen finden. Die wichtigsten jedoch sind die Gleichungen für die 2- und 3-Punkt-Funktionen, deren Lösungen Propagatoren und Vertizes darstellen. Die von Schwinger vorgestellte 4-Punkt-Funktion ist eine Verallgemeinerung (inhomogene Form) der Bethe-Salpeter-Gleichung.

Die Idee hinter den DSGn ist, dass sich Wechselwirkungen einer Theorie auch in ihren greenschen Funktionen oder S-Matrixelementen niederschlagen. Diese gekleideten (von engl.: "dressed") oder vollen greenschen Funktionen, also die die Wechselwirkungen enthalten, sollten die dazugehörigen nackten (=wechselwirkungsfreien) greenschen Funktionen im Grenzfall der freien Theorien enthalten und dazu wechselwirkungsabhängige Terme. Die DSGn sind eine Anleitung dazu, wie und welche wechselwirkungsbehafteten Terme in Betracht zu ziehen sind.

Die Dyson-Schwinger-Gleichungen bieten einen Zugang zu Phänomenen, die nicht mit üblicher Störungstheorie zugänglich sind. Im Bereich der Quantenchromodynamik ist dies zum Beispiel der Niederenergiebereich, da hier die Kopplungskonstante groß ${\displaystyle (\alpha >1)}$ wird.

1. ↑ F. Dyson: The S Matrix in Quantum Electrodynamics. In: Phys. Rev. 75. Jahrgang, 1949, S. 1736, doi:10.1103/PhysRev.75.1736 (englisch). 
2. 1 2 J. Schwinger: On Green's functions of quantized fields I + II. In: PNAS. 37. Jahrgang, 1951, S. 452–459, doi:10.1073/pnas.37.7.452 (englisch).  und doi:10.1073/pnas.37.7.455