Grenzschichtgleichungen

Die Grenzschichtgleichungen treten in der Grenzschichttheorie als Vereinfachungen der Navier-Stokes-Gleichungen auf. Für eine zweidimensionale stationäre Strömung mit konstanter Dichte ${\displaystyle \rho }$ lauten sie:

${\displaystyle {\begin{aligned}u{\frac {\partial u}{\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}&=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x}}+\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\\{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}&=0\\0&={\frac {\partial p}{\partial y}}\end{aligned}}}$

mit

• ${\displaystyle x}$: Koordinate in Strömungsrichtung
• ${\displaystyle y}$: Koordinate senkrecht zur Strömungsrichtung (Wandabstand)
• ${\displaystyle u={\frac {dx}{dt}}}$: Geschwindigkeitskomponente in Strömungsrichtung (${\displaystyle v_{x}}$ in der Abb.)
• ${\displaystyle v={\frac {dy}{dt}}}$: Geschwindigkeitskomponente senkrecht zur Strömungsrichtung
• ${\displaystyle p}$ der Druck
• ${\displaystyle \nu }$ die kinematische Viskosität
• ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial }}}$ die partielle Ableitung.

Die zweite Gleichung ist die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Strömungen.

Die dritte Gleichung besagt, dass sich der Druck über die betrachtete Höhe nicht ändert, d. h. der Druck an der Körperoberfläche entspricht dem Druck in der reibungsfreien Außenströmung.