Kubische Gleichung

Eine kubische Gleichung ist eine Bestimmungsgleichung, die sich auf die Form

${\displaystyle A\cdot x^{3}+B\cdot x^{2}+C\cdot x+D=0}$

bringen lässt. ${\displaystyle A,B,C}$ und ${\displaystyle D}$ sind die Koeffizienten der Gleichung, wobei ${\displaystyle A\neq 0}$ vorausgesetzt wird. Die Variable ${\displaystyle x}$ bezeichnet die Unbekannte. Weil die Nullstellen eines Polynoms dritten Grades gesucht sind, spricht man auch von einer algebraischen Gleichung oder Polynomgleichung dritten Grades.

Im Falle reeller Koeffizienten lässt sich eine kubische Gleichung geometrisch deuten, nämlich durch den Funktionsgraphen der kubischen Funktion mit der Gleichung ${\displaystyle f(x)=A\cdot x^{3}+B\cdot x^{2}+C\cdot x+D}$. Die reellen Lösungen der Gleichung entsprechen den Schnittpunkten des Funktionsgraphen mit der ${\displaystyle x}$-Achse. Nach dem Zwischenwertsatz hat eine kubische Gleichung mindestens eine reelle Lösung. Andererseits kann sie höchstens drei reelle Lösungen haben.

Eine kubische Gleichung mit komplexen Koeffizienten hat stets drei komplexe Lösungen ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$, die auch zusammenfallen können. Dies folgt aus dem Fundamentalsatz der Algebra, nach dem sich jedes nicht konstante Polynom mit Koeffizienten aus ${\displaystyle \mathbb {C} }$ in Linearfaktoren zerlegen lässt.

${\displaystyle A\cdot x^{3}+B\cdot x^{2}+C\cdot x+D=A\cdot (x-x_{1})\cdot (x-x_{2})\cdot (x-x_{3})}$

Kubische Gleichungen werden nicht nur mit reellen oder komplexen Koeffizienten betrachtet, sondern allgemeiner mit Koeffizienten aus einem beliebigen Körper oder – noch allgemeiner – mit Koeffizienten aus einem Ring.

Kubische Gleichungen können in Körpern der Charakteristik ungleich 2 und 3 durch Radikale aufgelöst werden. Dies gelingt etwa mit Hilfe der Cardanischen Formeln.