Maxwell-Boltzmann-Verteilung

Maxwell-Boltzmann-Verteilung

Parameter	${\displaystyle a>0\,}$
Definitionsbereich	${\displaystyle x\in [0;\infty )}$
Wahrscheinlichkeits- dichte	${\textstyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {x^{2}\mathrm {e} ^{-x^{2}/(2a^{2})}}{a^{3}}}}$
Kumulierte Verteilungsfunktion	${\textstyle \operatorname {erf} \left({\frac {x}{{\sqrt {2}}a}}\right)-{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {x\mathrm {e} ^{-x^{2}/(2a^{2})}}{a}}}$
Erwartungswert	${\textstyle \mu =2a{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}}$
Modus	${\displaystyle {\sqrt {2}}a}$
Varianz	${\textstyle \sigma ^{2}={\frac {a^{2}(3\pi -8)}{\pi }}}$
Schiefe	${\textstyle \gamma _{1}={\frac {2{\sqrt {2}}(16-5\pi )}{(3\pi -8)^{3/2}}}\approx 0{,}49}$
Wölbung	${\textstyle \gamma _{2}=-4{\frac {96-40\pi +3\pi ^{2}}{(3\pi -8)^{2}}}\approx 0{,}11}$
Entropie (in nats)	${\textstyle \ln \left(a{\sqrt {2\pi }}\right)+\gamma -{\frac {1}{2}}}$ (${\displaystyle \gamma }$: Euler-Mascheroni-Konstante)

Die Maxwell-Boltzmann-Verteilung oder auch maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsdichte der statistischen Physik, die in der Thermodynamik, speziell der kinetischen Gastheorie, eine wichtige Rolle spielt. Sie beschreibt die statistische Verteilung des Betrags ${\displaystyle v=|{\vec {v}}|}$ der thermischen Teilchengeschwindigkeiten eines physikalischen Systems im thermodynamischen Gleichgewicht. Benannt wird sie nach James Clerk Maxwell und Ludwig Boltzmann, die sie 1860 erstmals hergeleitet haben. Sie ergibt sich aus der Boltzmann-Statistik. Nach der Maxwell-Boltzmann-Verteilung hat die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Teilchengeschwindigkeiten ${\displaystyle v}$ bei absoluter Temperatur ${\displaystyle T}$ die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ${\displaystyle p}$ mit

${\displaystyle p{\left(v\right)}={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\left({\frac {m}{k_{\mathrm {B} }T}}\right)^{3/2}v^{2}\mathrm {e} ^{-{\frac {mv^{2}}{2k_{\mathrm {B} }T}}}}$,

wobei ${\displaystyle m}$ die Masse des Teilchens und ${\displaystyle k_{\mathrm {B} }}$ die Boltzmann-Konstante ist.

Die Maxwell-Boltzmann-Verteilung wird oft für die Geschwindigkeitsverteilung von Gasmolekülen herangezogen. Sie gilt allerdings allgemein für die Geschwindigkeiten statistischer/thermischer Fluktuationen beliebiger Teile eines Gesamtsystems, die sich in drei Dimensionen bewegen können, also insbesondere auch in Flüssigkeiten. Voraussetzung ist, dass das Gesamtsystem keine systematischen nicht-thermischen Bewegungen durchführt, also z. B. nicht rotiert, schwingt, expandiert/kontrahiert oder sich als Ganzes translativ bewegt.